北京市五中2020至2021学年高二上学期期末考试 数学
北京市第五中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学试题
北京市第五中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设函数()f x 1x=，则导函数()f x '等于（ ） A ．﹣xB ．21x- C ．1x -D ．1-2．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（ ）A ．1516B ．316 C ．152 D ．1543．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为 6.517.5y x =+，则t 的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．704．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（ ）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 5．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6．已知随机变量ξ服从二项分布14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==（ ）．A ．3281B ．1681C ．2481D ．8817．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-，则0a =（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．﹣328．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布()110,100N ，则分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+= ， (33)0.9974P X μσμσ-<<+=）A ．1140B ．1075C ．2280D ．21509．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( ) A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的 C ．恰有2个是好的 D ．至多有2个是坏的10．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种二、填空题 11．函数ln ()xf x x=的极大值是_________________. 12．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是________13．一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ=___________．14．若函数()ln f x x kx =-在区间[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是_______ 15．已知函数||()cos x f x e x π-=+，下列命题： ①()f x 为偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在(10,10)-内的零点个数为18； ④()f x 的任何一个极大值都大于1． 其中所有正确命题的序号是_____．三、解答题16．已知函数2()2ln f x x x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)求证：当2x >时，()34f x x >-.17．据中国日报网报道：2021年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单位是MIPS ）设,i i a b 分别表示第i 次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记i i iX a b =-(1,2,,12)i =⋯（Ⅰ）求数据12312,,,,X X X X ⋯的众数；（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （Ⅲ）点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上，若//MN 平面11A ACC ，求11A NA B的值．19．已知椭圆W ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =，其右顶点A （2，0），直线l 过点B （1，0）且与椭圆交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）判断点A 与以CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 20．已知函数()212ln 2f x a x ax x a R ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．21．设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n =1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,nc n>M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.参考答案1．B 【分析】直接利用基本函数的求导公式，即可求出结果． 【详解】 解：函数1()f x x =，则导函数21()f x x'=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查基本函数的求导公式，属于基础题． 2．A 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为123161()2rr r r T C x -+=⋅⋅，令1230r -=，解得：4r =，∴二项式的展开式中的常数项为446115()216C =. 故选：A ． 【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题． 3．C 【解析】分析：由题意，求得这组熟记的样本中心(,)x y ，将样本中心点代入回归直线的方程，即可求解答案.详解：由题意，根据表中的数据可得2456855x ++++==，3040507019055t ty +++++==，把(,)x y 代入回归直线的方程，得190 6.5517.55t+=⨯+，解得60t =，故选C. 点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征——回归直线方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【分析】根据题意可求出成绩优秀的学生数是2105307⨯=，所以成绩非优秀的学生数是1053075-=，即可求出,b c 的值，判断出,A B 的真假，再根据列联表求出K 2，即可由独立性检验的基本思想判断出,C D 的真假． 【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是2105307⨯=，成绩非优秀的学生数是1053075-=，所以c ＝20，b ＝45，选项A ，B 错误；根据列联表中的数据，得到2K＝2105(10302045)55503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题． 5．C 【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断. 详解：根据()()0,0f x f x ''><，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负， 由导函数()y f x '=的图象，可得的函数()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增，其中3x =-的左边负右边正，所以3x =-为函数的一个极小值点，且(3,1)-上函数单调递增，所以①④是正确的；其中1x =的左右两侧都是正数，所以1x =不是函数的极值点，所以②是错误的； 由()10f >可得函数在0x =处的切线的斜率大于零，所以③错误的， 故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力.【解析】14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为13，则31341228(3)4338181P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选D ．7．A 【分析】令5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-中的1x =得0a 值． 【详解】解：因为5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-， 所以令1x =得：50232a ==. 故选：A ． 【点睛】本题考查二项展开式的系数问题，通过赋值法求出系数和是解题的关键． 8．C 【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果. 【详解】由题意得=110=10(1102011020)0.9544P X μσ∴-<<+=，， 因此1(110130)0.95440.47722P X <<=⨯=， 所以(130150)0.50.47720.0228P X <<=-=，即分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为40.02281010=2280⨯⨯，选C. 【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9．C【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.10．B【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 11．1e【分析】求出导函数，然后利用导函数等于0，找到极值点，通过判断得到极大值． 【详解】 由ln ()x f x x= 得()/21ln x f x x -=， 令()/21ln =0xfx x-=，解得x e =， 易当0x e <≤时，()/0f x >，()f x 单调递增，当x e >时，()/0fx <，()f x 单调递减，所以当x e =时，()f x 取极大值，得()ln 1e f e e e==， 所以()f x 的极大值为1e． 【点睛】本题考查极值的求解，首先根据导函数等于零找到极值点，然后利用单调性判断确定为极大值或极小值． 12．47【分析】先计算()P A ， ()P AB ，然后根据条件概率的定义，可得结果. 【详解】由题可知：()()5545=,88714P A P AB ⨯==⨯ 所以()()()47P AB P B A P A ==故答案为：47本题考查条件概率，掌握条件概率公式()()()P AB P B A P A =，审清题意，简单计算，属基础题. 13．1.89 【分析】由题意可知0,1,2ξ=，再分别求对应的概率，根据公式求数学期望. 【详解】由题意可知0,1,2ξ=当1ξ=表示第一次没有击中，第二次射击中靶，()10.10.90.09P ξ==⨯= 当2ξ=表示第一次射击中靶，()20.9P ξ==,当0ξ=表示前两次都没有击中，第三次可中可不中，()00.10.10.01P ξ==⨯= 则00.0110.0920.9 1.89E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1.89 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是弄清楚变量表示的随机事件，并正确写出概率. 14．[)1,+∞ 【分析】首先根据题意得到[)1,x ∈+∞，max1⎛⎫≥ ⎪⎝⎭k x ，再根据1y x =的单调性即可得到答案. 【详解】()1f x k x'=-，因为函数()ln f x x kx =-在区间[)1,+∞上单调递减， 所以[)1,x ∈+∞，10-≤k x 恒成立，即[)1,x ∈+∞，max1⎛⎫≥ ⎪⎝⎭k x .又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1k故答案为：[)1,+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题. 15．①②④ 【分析】由于函数||()cos x f x e x π-=+，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性、最值、对称性和极值，从而可判断命题的真假． 【详解】对于①，函数||()cos x f x e x π-=+，定义域为R ，且满足()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，故①正确；对于②，因为01x e -<≤，1cos 1x π-≤≤，所以()2f x ≤， 又因为()02f =，即当0x =时，()f x 取得最大值为2，故②正确； 对于③，令||||()cos 0,cos x x f x e x x e ππ-=+==-， 设||()cos ,(),(),()x g x x h x e h x g x π==-均为偶函数， 画出(),()g x h x 在()0,10的图象，而()g x 周期为2， 在函数()g x 每个周期中(),()g x h x 有两个零点， 所以(),()g x h x 在()0,10内有10个零点， 而(),()g x h x 交点关于y 轴对称，所以()f x 在(10,10)-内的零点个数为20，所以③错误；对于④，由于()f x 是偶函数，则只需考虑0x >的情况， 此时()cos xf x ex π-=+，则()sin x f x e x ππ-'=--，由xy e -=-和()sin g x x ππ=的图象可知，在每一个区间()22,2k k k N *-∈上，0fx时，有2个解212,k k x x -，且当()212,,k k x x x k N *-∈∈时，0fx ，则()f x 单调递增， 当()221,,k k x x x k N *+∈∈时，0fx，则()f x 单调递减，而2212k k x k x +<<，所以()f x 得极大值为()()22211kk f x f k e ->=+>，所以()f x 的任何一个极大值都大于1，故④正确. 综上知，正确的命题序号是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，涉及函数的奇偶性、最值、对称性、极值和零点，也考查了推理与判断能力，是中档题．16．(1)f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析. 【分析】(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间； (Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可. 【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-，由f ′(x )>0， 得x>1; 由f ′(x )<0， 得0<x<1∴f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)． (2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4， ∴g ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， ∵当x >2时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x >2时， x 2-2lnx>3x-4, 即当x >2时()34f x x >-.. 【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用． 17．（Ⅰ）4 ；（Ⅱ）23；（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 【详解】试题分析：（1）将自变量的取值情况写出来，根据众数的概念可得结果；（2）将题目中满足从满足4i X =的测试中随机抽取两次的事件次数数出来，满足品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的次数数出来，两个数据作比即可；（3）可以从题目中的条件中，从多个角度下结论，只要解释的有道理均可得分． 解析：所以i X 等于1有2次，i X =2有3次，i X =4有4次，i X =6有2次，i X =7有1次， 则数据12312,,...X X X X 的众数为4（Ⅱ）设事件D =“品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果”.满足4i X =的测试共有4次，其中品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M ，N 表示.品牌A 的测试结果小于品牌B 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P ，Q 表示.从中随机抽取两次，共有MN ,MP ,MQ ,NP ,NQ ,PQ 六种情况，其中事件D 发生，指的是MP ,MQ ,NP ,NQ 四种情况.故()4263P D ==. （Ⅲ）可能出现的作答情况举例：结论一：，品牌B 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A 的测试有两次打开速度比品牌B 快(数值小），品牌B 有四次比品牌A 快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A 有四次打开速度比品牌B 快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些理由如下：品牌A 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9212，品牌B 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9712，所以品牌A 打开文件速度快一些.（且品牌A 方差较小）18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60°；（Ⅲ）23．（Ⅰ）推导出11BC B C ⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，从而11A B ⊥平面11BCC B ，进而111A B BC ⊥，由此能证明1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒；（Ⅲ）求出平面11ACC A 的法向量，由//MN 平面11A ACC ，利用向量法能求出11A NA B的值．【详解】 解：（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．11BC B C ∴⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，1111BB B C B =，11A B ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ．（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 1(0B ，0，2)，(2C ，0，0)，1(0A ，2，2)，(0B ，0，0)，1(2B C →=，0，2)-，1(0A B →=，2-，2)-，设异面直线1B C 与1A B 所成角为θ， 则1111||1cos 288||||B C A B B C A B θ→→→→===，60θ∴=︒． ∴异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒．（Ⅲ）解：(0A ，2，0)，(2C ，0，0)，1(2C ，0，2)， (0B ，0，0)，1(0B ，0，2)，1(0A ，2，2)，(2CA →=-，2，0)，1(0CC →=，0，2)，设平面11ACC A 的法向量(n x →=，y ，)z ，则1·220·20n CA x y n CC z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n →=，1，0)，点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上， 设(M a ，b ，)c ，(N x ，y ，)z ，11A NA Bλ=， 则113BC B M →→=，11A N A B λ→→=，01λ，即(2，0，2)3(a -=，b ，2)c -，(x ，2y -，2)(0z λ-=，2-，2)-，解得2(3M ，0，4)3，(0N ，22λ-，22)λ-，2(3MN →=-，22λ-，22)3λ-， //MN 平面11A ACC ，∴22203n MN λ→→=-+-=，解得：23λ=． ∴11A N A B 的值为23．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和利用空间向量法求异面直线所成角，以及根据线面平行求两线段的比值，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理证明能力和转化思想．19．（Ⅰ）223144xy +=；（Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上 【解析】 【分析】（Ⅰ）由离心率和,,a b c 的关系解出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设C 坐标为()11,x y ，D 坐标为()22,x y ；分别在l 斜率不存在和斜率存在两种情况下假设直线方程，与椭圆方程联立；只要证明出0AC AD ⋅=即可得出点A 在以CD 为直径的圆上． 【详解】（Ⅰ）由题意可知：2a =，3c e a ==c ∴=，22284433b a c =-=-= ∴椭圆的方程为223144x y += （Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上． 设C 坐标为()11,x y ，D 坐标为()22,x y ①当直线l 斜率不存在时，则l 的方程为1x =由22134x x y =⎧⎨+=⎩得 11x y =⎧⎨=±⎩ 不妨设()1,1C ，()1,1D - ()()1,1,1,1AC AD -∴=-=-0AC AD =∴⋅，即AC AD ⊥∴点A 在以CD 为直径的圆上②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-由()22134y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2222136340k x k x k +-+-= 212221226133413k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩()()11222,,2,AC x y AD x y =-∴=-()()()()()()212121212222211AC AD x x y y x x k x x ⋅=--+---=+-∴ ()()212121212241x x x x k x x x x =-+++-++⎡⎤⎣⎦22222222234634624113131313k k k k k k k k k ⎛⎫--=-⋅++-+ ⎪++++⎝⎭22223301313k k k k-=+=++ 0AC AD =∴⋅．即AC AD ⊥∴点A 在以CD 为直径的圆上综上，点A 在以CD 为直径的圆上． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法，关键是能够利用韦达定理表示出向量的数量积，从而通过整理运算求得结果，属于中档题． 20．（Ⅰ）32y =-；（Ⅱ）分类讨论，详见解析． 【分析】（Ⅰ）先由题设条件求得()f x '，再由导数的几何意义求得()f x 在1x =处的切线的斜率k f ='（1），进而求得切线方程；（Ⅱ）先求导，再对a 分成：①'当12a 时；②'当1(,1)2a ∈时；③'当1a =时；④'当1a >时；进行讨论，得出结果． 【详解】 （Ⅰ）已知函数21()()2,2f x a x ax lnx a R =--+∈，则()f x 的定义域为：()0,∞+， 1()(21)2f x a x a x∴'=--+， 则f '（1）0=，又f （1）32=-， ()f x ∴在1x =处的切线方程为3()02y --=，即32y =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21(21)21[(21)1](1)()(21)2a x ax a x x f x a x a x x x--+---'=--+==，∴①当12a =时，1()xf x x -'=，此时()f x 在(0,1)x ∈时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减；②当1a =时，2(1)()0x f x x-'=，此时()f x 在(0,)x ∈+∞时单调递增； ③当1a >时，令()0f x '=，有121x a =-，或1x =， 此时()f x 在1(0,)21a -与(1,)+∞时单调递增，在1(,1)21x a ∈-单调递减； ④当1(,1)2a ∈时，()f x 在(0,1)与1(21a -，)+∞时单调递增，在[1x ∈，1]21a -时单调递减； ⑤当12a <时，()f x 在(0,1)时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减； 综上可知： 当12a 时，()f x 在(0,1)时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减； 当1(,1)2a ∈时，()f x 在(0,1)与1(21a -，)+∞时单调递增，在[1x ∈，1]21a -时单调递减； 当1a =时，2(1)()0x f x x -'=，此时()f x 在(0,)x ∈+∞时单调递增； 当1a >时，()f x 在1(0,)21a -与(1,)+∞时单调递增，在1(,1)21x a ∈-单调递减． 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程和利用导数研究函数单调性，考查分类讨论思想和计算能力．21． (Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)读懂新定义{c n }的含义,即可求得{c n }的通项公式;(Ⅱ)结合新定义,通过对d 1的分类讨论,进而证明.试题解析：(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=2-.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n <0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n =1-n .所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1, 所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则 b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n=b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n =()()11212111211,,,.b a n n d nd d nd b a n d nd ⎧-+-->⎨-≤⎩当时当时 ①当d 1>0时,取正整数m >21d d ,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n . 此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1). 此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n >21d d 时,有nd 1<d 2. 所以()()11211n b a n n d nd c n n-+--= =n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+12b d n - ≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m >max{121121M b d a d d d +-+---,21d d }, 故当n ≥m 时,n c n >M .。
北京市五中高二 数学上学期期末考试试题(多套)【可下载打印】
北京市五中高二数学上学期期末考试试题文
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2.如图是《推理》知识结构框图，根据该框图可得
(1) “推理”主要包括两部分内容
(2) 知道“推理”概念后，只能进行“合情推理”内容的学习
(3) “归纳”与“类比”都不是演绎推理
(4) 可以先学习“类比”再学习“归纳”
这些命题（）
除（2）外都正确除（3）外都正确
（1）（4）正确全部正确
3.甲乙两名同学在次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲乙两人的平均成绩分别用表示，则
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
答案：
一、选择题
1-8C,A,C ,C,B,B,D,C
二、填空题
三、
四、解答题
15.
16.（1）（2）
18.（1）（2）
19.（1）
（2）①当时，在上是增函数；
（3）①当时，；
②当时，
20.(1),(2)。
2020-2021学年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷(附详解)
2020-2021学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 圆C ：x 2+2x +y 2−1=0的圆心C 的坐标为( )A. (1,0)B. (−1,0)C. (2,0)D. (−2,0)2. 已知直线l 的方向向量为a⃗ ，平面α的法向量为n ⃗ ，若a ⃗ =(−1,0,−1)，n ⃗ =(1,0,1)，则直线l 与平面α( )A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 位置关系无法确定3. 双曲线x 22−y 26=1的焦点到渐近线的距离为( )A. √2B. √6C. 2√2D. 2√64. 如图，已知直线l 与圆O ：x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，若平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( )A. 45°B. 90°C. 120°D. 150°5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的( )A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍6. 过抛物线y 2=4x 上的一点A(3,y 0)(y 0>0)作其准线的垂线，垂足为B ，抛物线的焦点为F ，直线BF 在x 轴下方交抛物线于点E ，则|FE|=( )A. 1B. √3C. 3D. 47. 下列有四个说法：①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点； ②函数f(x)=1x 在定义域上单调递减；③某质点沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式y =5t 2+6，则t =1s 时的瞬时速度是10m/s ；④设x >0，f(x)=lnx ，g(x)=1−1x ，则在(0,+∞)上函数f(x)的图象比g(x)的图象要“陡峭”． 其中正确的序号是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ③④8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 外的任意一点，且满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则椭圆离心率的取值范围是( )A. (0,12]B. (0,√22]C. (12,√22]D. (√22,1]10. 如图，在三棱锥O −ABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c.M 为△ABC 内部及其边界上的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为a 0，b 0，c 0，则a0a +b 0b+c 0c=( )A. 14B. 12C. 1D. 2二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 只知两条直线l 1：x +2y +1=0，l 2：2x +my =0(m ∈R)平行，则m 的值为______． 12. 等差数列{a n }满足a 1+a 2=12，a 3+a 4=4，则a 5+a 6=______． 13. 已知函数f(x)=sinx +ax(a ∈R)，且f′(π2)=1，则a 的值为______．14. 如图，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.CD =CC 1=1.则A 1C 与平面C 1BD ______(填“垂直”或“不垂直”)；A 1C 的长为______．15. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心F 为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行(如图所示)，三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为a i ，c i ，e i (i =1,2,3)，探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期(环绕轨道一周的时间)分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值． 现有以下命题：①a 1−c 1=a 2−c 2=a 3−c 3； ②a 2<√23a 1； ③a 3=√93a 1； ④e 1<e 2<e 3．则以上命题为真命题的是______ .(写出所有真命题的序号)16. 把正奇数列按如下规律分组(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，(19,21,23,25,27,29,31)，…，则在第n(n ∈N ∗)组里有______个数，第9组的所有数之和为______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=xlnx ．(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(e,f(e))的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间．18.已知圆C：x2+y2=r2(r>0)，若直线l1：x−y+2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2√2．(Ⅰ)求圆C的方程．(Ⅱ)请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直线l2的方程．①(2,−3)；②(1,√3).19.已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a3−a1=60，a2=16，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}的通项b n满足2b n+9=a n，求{b n}的前n项和S n的最小值及取得最小值时n的值．20.在如图所示的多面体中，AD//BC且πAD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2，M，N分别为棱FC，EG的中点．(1)求点F到直线EC的距离；(2)求平面BED与平面EDC的夹角的余弦值；(3)在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．21.在平面直角坐标系xOy中，点D，E的坐标分别为(−√3,0)，(√3,0)，P是动点，且．直线DP与EP的斜率之积等于−13(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设F是曲线C的左焦点，过点F的直线l与曲线C相交于A，B两点，过A，B分别作直线l的垂线与x轴相交于M，N两点．若|MN|=√6，求此时直线l的斜率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，圆C：x2+2x+y2−1=0，即(x+1)2+y2=2，其圆心为(−1,0)，故选：B．根据题意，将圆C的方程变形为标准方程，分析可得答案．本题考查圆的一般方程，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：若a⃗=(−1,0,−1)，n⃗=(1,0,1)，则a⃗=−n⃗，a⃗//n⃗，则直线l与平面α垂直，故选：A．求出a⃗//n⃗，得到直线l与平面α垂直．本题考查了平面的法向量，直线的方向向量以及共线向量问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x22−y26=1的焦点(±2√2,0)到渐近线√3x±y=0，所以双曲线x22−y26=1的焦点到渐近线的距离为：√2×√3|√(√3)2+(±1)2=√6．故选：B．利用双曲线的标准方程，求解焦点坐标，渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 已知直线l 与圆O ：x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 又由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，则cosθ=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12， 又由0°≤θ≤180°，则θ=120°， 故选：C ．根据题意，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，易得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，由向量夹角公式求出cosθ的值，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意，可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列{a n }， 则F4对应单位时间内的进光量为a 5，F1.4对应单位时间内的进光量为a 2，则由光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量原来的a2a 5=23=8倍．故选：C ．由题意，可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列，即可求出． 本题考查了等比数列的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为点A(3,y 0)(y 0>0)在抛物线y 2=4x 上， 所以y 0=2√3，抛物线y 2=4x 的准线为x =−1，焦点F(1,0)， 所以B(−1,2√3)， 直线BF 的方程为y =2√3−2(x −1)，即y =−√3(x −1)， 联立{y =−√3(x −1)y 2=4x，得x E =3，由抛物线的定义可得|EF|=x E −(−1)=x E +1=4， 故选：D ．由点A(3,y0)(y0>0)在抛物线y2=4x上，得y0=2√3，写出直线BF的方程，联立抛物线的方程得E点的横坐标，再由抛物线的定义，即可得出答案．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点，正确；②根据反比例函数性质可知，函数f(x)=1x在(0,+∞)，(−∞,0)上单调递减，但在定义域上不单调，错误；③由y=5t2+6得y′=10t，则t=1s时的瞬时速度是10m/s，正确；④f′(x)=1x ，g′(x)=1x2，由1x >1x2且x>0得x>1，故当x>1时，f(x)的图象更陡峭，当0<x<1时，g(x)的图象更陡峭，错误．故选：A．结合直线与抛物线位置关系可判断①，结合反比例函数单调性可判断②；结合导数的定义可判断③；结合函数的变化率与函数图象的变化关系可判断④．本题主要考查了直线与抛物线位置的判断，基本初等函数单调性的判断，导数的几何意义及变化率的大小与函数图象变化的关系，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，作出正四棱柱的还原图，如图，取AA1的中点G，连接KG，则有KG//LM，∠AKG为锐角，则∠AKG为异面直线AK和LM所成角，而AG=2，AK=KG=√1+1=√2，则有AK2+KG2=AG2，则∠AKG=90°，即异面直线AK和LM所成角为90°；故选：D．根据题意，作出正四棱柱的还原图，取AA1的中点G，连接KG，分析可得∠AKG 为异面直线AK 和LM 所成角，由此计算可得答案． 本题考查异面直线所成角的计算，涉及棱柱的结合结构，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：F 1(−c,0)，F 2(c,0)，设P(x 0,y 0)， 则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −x 0,−y 0)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 0,−y 0)， 因为PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，所以(−c −x 0,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)>0，所以−c 2+x 02+y 02>0， 所以x 02+y 02>c 2，因为点P 为椭圆上的任意一点，所以x 02+y 02表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以(x 02+y 0)min =b 2≥c 2，所以a 2−c 2≥c 2， 所以c 2a 2≤12， 所以e =ca ∈(0,√22].故选：B ．设P(x 0,y 0)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，推出x 02+y 02>c 2，又x 02+y 02表示椭圆上的点到原点的距离的平方，则(x 02+y 0)min =b 2≥c 2，即可得出答案．本题考查向量与椭圆问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：在四面体OABC 中，由于OA ，OB ，OC 两两垂直，故OA ，OB ，OC 分别是面OBC ，OAC ，OBA 对应的高， 即V O−ABC =a3S △OBC =b3S △OAC =c3S △OAB ， 又S △OAB =12ab ，S △OAC =12ac ，S △OBC =12bc ， 故V O−ABC =a3S △OBC =16abc ，对于任意点M，连结MA，MB，MO，MC，将四面体OABC分别为四个部分，V O−ABC=V O−MBC+V O−AMC+V O−ABM+V M−ABC，因为本题中点M在△ABC平面上，故M，A，B，C四点共面，所以V M−ABC=0，所以V O−ABC=13a0S△OBC+13b0S△OAC+13c0S△OAB=16a0bc+16ab0c+16abc0，又因为V O−ABC=16abc，则有16a0bc+16ab0c+16abc0=16abc，将等式两边同时除以16abc，可得a0a+b0b+c0c=1．故选：C．由题意可得OA，OB，OC分别是面OBC，OAC，OBA对应的高，然后利用三棱锥的体积公式可得V O−ABC=16abc，对于任意点M，连结MA，MB，MO，MC，将四面体OABC分别为四个部分，V O−ABC=V O−MBC+V O−AMC+V O−ABM+V M−ABC，因为点M在平面ABC内，故V O−ABC=13a0S△OBC+13b0S△OAC+13c0S△OAB，利用体积相等，列出等式关系，化简变形即可得到答案．本题考查了棱锥体积的理解和应用，解题的关键是利用等体积法构建等式关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．11.【答案】4【解析】解：根据题意，两条直线l1：x+2y+1=0，l2：2x+my=0(m∈R)平行，则有m×1=2×2，解可得m=4，故答案为：4．根据题意，由直线的一般式方程与直线平行的判断方法可得关于m的方程，解可得答案．本题考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．12.【答案】−4【解析】解：因为等差数列{a n}满足a1+a2=12，a3+a4=4，所以a3+a4−(a1+a2)=4d=−8，所以d=−2，则a 5+a 6=(a 3+a 4)+4d =4−8=−4． 故答案为：−4．由已知结合等差数列的性质先求出公差d ，进而可求． 本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．13.【答案】1【解析】解：f′(x)=(sinx +ax)′=cosx +a ， 所以f′(π2)=cos π2+a =1，解得a =1， 故答案为：1．利用导数的计算公式求解即可求得． 本题考查了导数的运算，属于基础题．14.【答案】垂直 √6【解析】解：设CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， 由题意可得CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，则CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )⋅(b ⃗ −a ⃗ )=b ⃗ 2−a ⃗ 2+c ⃗ ⋅b ⃗ −c ⃗ ⋅a ⃗=|c ⃗ |⋅|b ⃗ |cos60°−|c ⃗ |⋅|a ⃗ |cos60°=0， ∴CA 1⊥BD ，同理可证CA 1⊥BC 1， ∵BD ∩BC 1=B ， 故CA 1⊥平面C 1BD ．∵∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.CD =CC 1=1， ∴CD =CB =CC 1=1， ∴CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2(a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ )=1+1+1+2(12+12+12) =√6，即A 1C 的长为√6． 故答案为：垂直 √6由向量的运算得出面面垂直，再由向量表示出所求向量进行计算即可．本题考查空间向量的运算，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：由图可知，三个椭圆轨道的左顶点重合，焦点重合，所以a1−c1=a2−c2=a3−c3，故①正确；由题意可知(T2T1)2=a23a13，又T2T1=2416=32，所以a2a1=(94)13>213，所以a2>√23a1，故②错误；a33 a13=(T3T1)2=(4816)2=9，所以a3a1=√93，即a3=√93a1，故③正确；e i=c ia i =a i−(a i−c i)a i=1−a i−c ia i，由①知a i−c i为定值，a1<a2<a3，所以e1<e2<e3，故④正确，故命题为真命题的是①③④．故答案为：①③④．由图象可知三个椭圆轨道的左顶点重合，焦点重合，从而可判断①；由已知可得(T2T1)2=a23 a13，计算可判断②；由a33a13=(T3T1)2，计算可判断③；离心率e i=c ia i=1−a i−c ia i，由a i−c i为定值，a1<a2<a3，利用不等式的性质即可判断④．本题考查了简易逻辑的判定方法，椭圆的简单性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2n−12465【解析】解：把正奇数列按如下规律分组：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，(19,21,23,25,27,29,31)，…，第1组有1个正奇数，1=2×1−1，第2组有3个正奇数，3=2×2−1，第3组有5个正奇数，5=2×3−1，第4组有7个正奇数，7=2×4−1，⋅⋅⋅∴在第n(n∈N∗)组里有a n=2n−1个数．∴第9组有a9=2×9−1=17个正奇数，∴第8组一共包含的正奇数个数为：82(1+2×8−1)=64个， ∴第9组的第一个数为：1+(65−1)×2=129． ∴第9组的所有数之和为：17×129+17×162×2=2465．故答案为：2n −1，2465．第1组有1个正奇数，第2组有3个正奇数，第3组有5个正奇数，第4组有7个正奇数，7=2×4−1，⋅⋅⋅，推导出在第n(n ∈N ∗)组里有a n =2n −1个数，从而第9组有a 9=2×9−1=17个正奇数，第8组一共包含的正奇数个数为：82(1+2×8−1)=64个，从而求出第9组的第一个数，由此能求出第9组的所有数之和．本题考查等差数列的性质及应用，考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=xlnx ，得f′(x)=lnx +1，∴f′(e)=2，又f(e)=e ，∴曲线y =f(x)在点(e,f(e))的切线方程为y −e =2(x −e)， 即y =2x −e ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f′(x)=lnx +1，由f′(x)>0，得x >1e ，由f′(x)<0，得0<x <1e ， ∴f(x)的单调减区间为(0,1e )，单调增区间为(1e ,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得f′(e)=2，又f(e)=e ，再由直线方程的点斜式得答案；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f′(x)=lnx +1，由f′(x)>0，求解函数的增区间，由f′(x)<0，求解函数的减区间．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设圆心到直线l 1的距离为d ，则r²−d²=(|AB|2)²，即d²=r²−2，又d =√1+1=√2，所以r²=4， 故圆C 的方程为x²+y²=4；(Ⅱ)选①：当直线l 2斜率不存在时，x =2，恰好与圆相切，满足题意；当直线l 2斜率存在时，设l 2的方程为y +3=k(x −2)，即kx −y −2k −3=0， 则圆心到直线l 2的距离为√1+k 2=2，解得k =−512，此时l 2的方程为y +3=−512(x −2)，即5x +12+26=0，综上：直线l 2的方程为5x +12+26=0或x =2；选②：由于(1,√3)在圆上，故(1,√3)为切点，则切点与圆心连线的斜率为√31=√3，则切线的斜率为−√33，所以直线l 2的方程为y −√3=−√33(x −1)，即x +√3y −4=0．【解析】(Ⅰ)设圆心到直线l 1的距离为d ，进而根据r²−d²=(|AB|2)²，计算即可得到答案；(Ⅱ)选①：当直线l 2斜率不存在时，x =2恰好与圆相切，满足题意，当直线l 2斜率存在时，设l 2的方程为y +3=k(x −2)，进而根据直线与圆的位置关系即可求得答案； 选②：由于(1,√3)在圆上，故(1,√3)为切点，进而根据圆的性质求得切线的斜率，进而的方程．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程求解，属于中档题．19.【答案】解：(I)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，由{a 3−a 1=60a 2=16可得{a 1q 2−a 1=60a 1q =16，解得{a 1=4q =4，∴a n =4n ；(II)∵2b n +9=a n =4n =22n ， ∴b n +9=2n ， 即b n =2n −9， ∴S n =n(−7+2n−9)2=n 2−8n =(n −4)2−16，则当n =4时，S n 取得最小值为−16．【解析】(I)设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可； (II)求得b n =2n −9，得出S n ，利用二次函数性质可求．本题考查了求等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和的最值，利用二次函数的性质即可求最值，属于基础题．20.【答案】解：(1)由DG ⊥平面ABCD 知，DG ⊥DC ，DG ⊥DA ，又AD ⊥CD ，则建立以D 点为原点的空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，G(0,0,2)，E(2,0,2)，F(0,1,2)，B(1,2,0)， 则M(0,32,1)，N(1,1,2)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,2)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)， 所以点F 到直线EC 的距离为√|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=√4+1−(√4+4+4)2=√2，(2)由(1)知，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 设平面BED 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，令y =1，则m⃗⃗⃗ =(−2,1,2)， 设平面EDC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，令x =1，则n⃗ =(1,0,−1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√2=−2√23， 故平面BED 与平面EDC 的夹角的余弦值为2√23．(3)设GF 上存在一点Q ，设Q(0,λ,2)，λ∈[0,1]， 则MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ−32,−1),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−12,1)， 设平面MNQ 的法向量为p⃗ =(x,y,z)， 则{p ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −12y +z =0p ⃗ ⋅MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−32)y −z =0，令y =1，则p ⃗ =(2−λ,1,λ−32)， ∵平面MNQ//平面EDC ， ∴n ⃗ //p ⃗ ，即2−λ1=λ−32−1，无解，故λ不存在，即不存在点Q 使得平面MNQ//平面EDC ．【解析】(1)由题知，DG ⊥DC ，DG ⊥DA ，又AD ⊥CD ，建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，则点F 到直线EC 的距离为√|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ |CE⃗⃗⃗⃗⃗ |)2； (2)求得平面BED 和平面EDC 的法向量，利用向量的夹角求得平面与平面夹角的余弦值； (3)假设GF 上存在点Q 使得平面MNQ//平面EDC ，设出坐标，求得平面MNQ 的法向量，与平面EDC 的法向量应共线，验证是否存在即可．本题主要考查点面距离的计算，面面角的求解，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)设P(x,y)，则直线DP 的斜率k DP =x+√3， 直线EP 的斜率为k EP =x−√3， 因为k DP ⋅k EP =−13， 所以x+√3x−√3=−13， 所以y 2x 2−3=−13，所以动点P 的轨迹方程为x 23+y 2=1(y ≠0)．(2)由(1)可知a 2=3，b 2=1， 解得c 2=a 2−b 2=2， 所以c =√2， 所以F(−√2,0)，设直线l 方程为y =k(x +√2)(k >0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AM 的方程为y =−1k (x −x 1)+y 1， 因为点M 在x 轴上， 所以M(ky 1+x 1,0)，因为直线BN 的方程为y =−1k (x −x 2)+y 2且N 位于x 轴上， 所以N(ky 2+x 2,0)，所以|MN|=|ky1+x1|+|ky2+x2|=|ky1+x1−ky2−x2|=|k2(x1+√2)+x1−k2(x2+√2)−x2| =|(k2+1)(x1−x2)|=(k2+1)√(x1+x2)2−4x1x2，联立{y=k(x+√2)x23+y2=1，得(1+3k2)x2+6√2k2x+6k2−3=0，所以Δ=(6√2k2)2−4(3k2+1)(6k2−3)=4(3k2+3)>0，所以x1+x2=−6√2k21+3k2，x1x2=6k2−31+3k2，所以|MN|=(1+k2)(−6√2k21+3k2)4(6k2−3)1+3k2=2(1+k2)1+3k2√3k2+3=√6，即(k 2+1)3⋅12(1+3k2)2=6，解得k2=1，因为k>0，所以k=1．【解析】(1)设P(x,y)，写出直线DP的斜率k DP，直线EP的斜率为k EP，由k DP⋅k EP=−13，化简即可得出答案．(2)由(1)可知F(−√2,0)，设直线l方程为y=k(x+√2)(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，进而可得直线AM的方程为y=−1k(x−x1)+y1，推出M点坐标，写出直线BN的方程，推出点N的坐标，再计算|MN|=√6，解得k．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
2020-2021学年北京市西城区高二数学上学期期末考试数学试题含解析
〖详 解〗在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项 项的二项式系数最大，即 ，解得：
故选：C．
〖点 睛〗结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在 的展开式中，若n是偶数时，中间项 项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项 与 项的二项式系数相等且最大．
同理可知 ，
又 平面 ， 平面 ， 平面
又 ， 平面
平面 平面
是底面 上一点．且 平面 ，
在等腰 中， 的长度最大时为
的长度最小时， 为 中点， ， ，即
故答案为： ，
〖点 睛〗方法点睛：证明面面平行常用的方法：
（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
求出 的值，结合双曲线的定义可求得 的值.
〖详 解〗在双曲线 中， ， ，
因为双曲线 的离心率为 ， ， ，
由双曲线的性质可知 ，由双曲线的定义可得 ，
解得 或 .
故选：A.
〖点 睛〗关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
（1）双曲线定义的集合语言： 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
（2）利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
8.在正三棱锥 中， ， ，则直线 与平面 所成角的大小为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
根据正三棱锥的特点可知，点 在底面的投影为底面的中心 ，所以 与 的夹角即为 与平面 的夹角，然后通过题目所给的棱长，解三角形求解即可.
2020-2021学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数z =（）A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i2.（单选题，5分）在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=（）A.4B.5C.6D.73.（单选题，5分）椭圆x217+y28=1的焦点坐标为（）A.（5，0），（-5，0）B.（3，0），（-3，0）C.（0，5），（0，-5）D.（0，3），（0，-3）4.（单选题，5分）已知直线l1：ax-y-1=0，l2：ax+（a+2）y+1=0．若l1⊥l2，则实数a=（）A.-1或1B.0或1C.-1或2D.-3或25.（单选题，5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l．下列结论中正确的是（）A.若直线m⊥平面α，则m || βB.若平面γ⊥平面α，则γ || βC.若直线m⊥直线l，则m⊥βD.若平面γ⊥直线l，则γ⊥β6.（单选题，5分）将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A.24B.18C.12D.67.（单选题，5分）已知双曲线C：x2a2−y216=1的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为53，且|PF1|=10，则|PF2|=（）A.4或16B.7或13C.7或16D.4或138.（单选题，5分）在正三棱锥P-ABC中，AB=3，PA=2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.75°9.（单选题，5分）已知圆O1的方程为（x-a）2+（y-b）2=4，圆O2的方程为x2+（y-b+1）2=1，其中a，b∈R．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A.外离B.外切C.内含D.内切10.（单选题，5分）点M在直线l：x=2上，若椭圆C：x2+y24=1上存在两点A，B，使得△MAB是等腰三角形，则称椭圆C具有性质P．下列结论中正确的是（）A.对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质PB.直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质PC.直线l上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质PD.对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P11.（填空题，4分）已知复数z=i•（1+i），则|z|=___ ．12.（填空题，4分）若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的焦距为2√5，则b=___ ；C的渐近线方程为 ___ ．13.（填空题，4分）设（x-2）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4=___ ．14.（填空题，4分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C （0，0，2），D（0，0，1），则直线AD与BC所成角的大小是___ ．15.（填空题，4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是___ ．16.（填空题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP || 平面BEF，则AP长度的最小值是___ ；最大值是___ ．17.（问答题，10分）生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名．现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛．（Ⅰ）如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？（Ⅱ）如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？18.（问答题，12分）已知圆C过原点O和点A（1，3），圆心在直线y=1上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19.（问答题，13分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D，E，F分别是BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：CF || 平面ADE；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面ADE．20.（问答题，13分）如图，设点A，B在x轴上，且关于原点O对称．点P满足tan∠PAB=2，tan∠PBA= 12，且△PAB的面积为20．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且-1＜x0＜3，求y0的取值范围．21.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P-BE-C的余弦值为√66．（Ⅰ）求PD的长；（Ⅱ）求点C到平面PEB的距离．22.（问答题，14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（-1，0），A1（-a，0），A2（a，0），且|A2F|=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于点M，N．记△A1MN和△A2MN的面积分别为S1和S2．当S2-时，求直线MN的方程．S1= 12√27。
北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
ab
2m(1)
2(2)
bac
列,其和为6，所以
，由（3）（4）得3c6,c2
，所以
b
22(2)
a
2cbd(3)
4bd(3)
bcd6(4)
ab
2m(1)
b2
4
d
2
42，
dm
a
(2)
即
，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得
2
2
4d(3)
b
1
33
d
52
整理得m
.
2
22
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
8．D
【分析】
f(x)f(x)x
,，由此判断出正确选项.
求得x
,
【详解】
31，
，所以xfx
31.732
fx
x1.73212.7322
由于
，所以
313124
31,2,31.而3131234，
即三个数为
，所
f(x)f(x)x
,不是等差数列,也不是等比数列
nn1
Snn4
n平均费用为
2100n23100.
2
100
100
100
Sn
n
n
32n
323
,n10
时，等号成立，也即
，当且仅当n
n
n
n
n10时，该渔船年平均花费最低.
10
(2).
故答案为：(1).
2020-2021学年北京某校高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京某校高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）1. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, y)，且a → // b →，那么|b →|＝（ ）A.3√6B.6C.9D.18 【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据题意，设b →=ka →，即(3, x, y)＝k(−1, 2, 1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, y)，且a → // b →，则设b →=ka →，即(3, x, y)＝k(−1, 2, 1)，则有k ＝−3，则x ＝−6，y ＝−3，则b →=(3, −6, −3)，故|b →|=√9+36+9=3√6；2. 点(2, 1)到直线3x −4y +2=0的距离是( )A.45B.54C.425D.254 【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点(2, 1)到直线3x −4y +2=0的距离：d =√32+(−4)2=45． 故选A ．3. 圆心在直线x −y ＝0上且与y 轴相切于点(0, 1)的圆的方程是（ ）A.(x −1)2+(y −1)2＝1B.(x +1)2+(y +1)2＝1C.(x −1)2+(y −1)2＝2D.(x +1)2+(y +1)2＝2【答案】A【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4. 设椭圆的标准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）A.k>3B.3<k<5C.4<k<5D.3<k<4【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 直线y＝2x为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是（）A.√5B.√52C.√3 D.√32【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】求出双曲线的渐近线方程，可得b＝2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=±bax，则ba=2，即b＝2a，则c=2+b2=√5a，即有e=ca=√5．6. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（）A.12条B.15条C.18条D.72条【答案】C【考点】计数原理的应用【解析】先分类，再分步，即可求出答案．【解答】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6种，第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12种，根据分类计数原理可得，共有6+12＝18种，故从甲地到丁地共有18条不同的路线．7. 在(x−2)5的展开式中，x2的系数是（）A.−80B.−10C.5D.40【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A.1 25B.340C.18D.35【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】利用椭圆的性质列出方程组，求出a ，c 然后求解椭圆的离心率即可．【解答】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，月球半径为R ，则a +c ＝400+1738 且a −c ＝1738+100，解得a ＝1988，c ＝150，所以e =1501988≈340，9. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1, m)(m >0)，则斜率k 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.[1, +∞) 【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，设直线l 的方程为：y ＝kx +b ，与抛物线方程联立，由△>0得kb <1，利用韦达定理结合已知条件得b =2−k 2k ，m =2k ，代入上式即可求出k 的取值范围．【解答】设直线l 的方程为：y ＝kx +b ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程{y =kx +b y 2=4x，消去y 得：k 2x 2+(2kb −4)x +b 2＝0， ∴ △＝(2kb −4)2−4k 2b 2>0，∴ kb <1，且x 1+x 2=4−2kbk 2，x 1x 2=b 2k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2b =4k， ∵ 线段AB 的中点为M(1, m)(m >0)，∴ x 1+x 2=4−2kb k 2=2，y 1+y 2=4k =2m ， ∴ b =2−k 2k ，m =2k ，∵ m >0，∴ k >0，把b =2−k 2k 代入kb <1，得2−k 2<1，∴ k 2>1，∴ k >1，10. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱DD 1的中点，AA 1＝2，AB ＝1，若点Q 在侧面BCC 1B 1（包括其边界）上运动，且总保持AQ ⊥BP ，则动点Q 的轨迹是（ ）A. B. C. D.【答案】D【考点】棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本大题共7小题，每题5分，共35分）已知直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直，那么l1与l2的交点坐标是________．【答案】(15, −35)【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系两条直线的交点坐标【解析】由两条直线垂直，建立关于a的方程并解之，得a=−2，直线l2方程为4x−2y−2= 0．再将直线l1的方程和l2的方程联解，即可得到所求交点的坐标．【解答】解：∵直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直∴1×4+2a=0，解之得a=−2，直线l2方程为4x−2y−2=0由{x+2y+1=04x−2y−2=0，联解得x=15，y=−35，得交点坐标为(15, −35)故答案为：(15, −35)直线x−√3y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为________．【答案】2√3【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心(0, 0)，r=2，∵圆心(0, 0)到直线x−√3y+2=0的距离d=22=1，∴直线被圆截得的弦长为2√r2−d2=2√3．故答案为：2√3已知点M(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，则点M到抛物线C焦点的距离是________．【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p＝2，求得焦点F(1, 0)，利用直线的两点式，即可求点M到抛物线C焦点的距离．【解答】由点M(1, 2)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上，可得4＝2p，p＝2，抛物线C:y2＝4x，焦点坐标F(1, 0)，则点M到抛物线C焦点的距离是：2，由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有________个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有________个．【答案】60,36【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知圆C的方程是x2+y2−4x+F=0，且圆C与直线y=x+1相切，那么F=________．【答案】−1 2【考点】圆的切线方程【解析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，然后由圆心到直线的距离等于半径求得F的值．【解答】解：由x2+y2−4x+F=0，得(x−2)2+y2=4−F，∴圆心为(2, 0)，半径为√4−F，又圆C与直线y=x+1相切，则√12+(−1)2=√4−F，解得：F=−12．故答案为：−12．已知F1，F2为椭圆M：＝1和双曲线N：＝1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为________．【答案】1【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1, 0, 1)，动点P(x, y, 0)在xOy平面上运动，P到直线OA的距离为4，则点P坐标中x，y满足的方程为________．【答案】【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共5小题，共65分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB，点E，F，G分别为PC，PA，BC的中点．（1）求证：PB⊥EF；（2）求证：FG // 平面PCD；（3）求平面EFG与平面PAD所成二面角的余弦值；（4）求直线DE与平面EFG所成角的大小．【答案】证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，且底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD．以D为原点，DC、y轴，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，设DC＝1，则D(0, 3, 0)，0，7)，1，0)，，），F（，3，），1，4)．，1，−1)，，-，0)，•＝-．所以PB⊥EF．证明：由（1）知，PD⊥AD，且PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PCD．所以＝(−5，0．＝(0，6，-），因为•＝4，所以FG // 平面PCD．设平面EFG的法向量为＝(x，y，则，即，令x＝8，得，1，2)．平面PAD的法向量为＝(2, 0)．设平面EFG与平面PAD所成二面角（锐角）为α，则cosα＝＝．所以平面EFG与平面PAD所成二面D−FG−E角（锐角）的余弦值为．如图，连接DE，3＝(0，1，cos<，6＝＝．设直线DE与平面EFG所成角的大小为θ，则0≤θ≤，因此θ＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答直线l与抛物线C:y2＝4x有且仅有一个公共点A(1, 2)，与A处切线垂直的直线m称为抛物线C:y2＝4x在点A处的法线．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与x轴交于点B，求证：AF＝BF；（3）若直线l与x轴交于点B，设法线m交x轴于M点，求线段BM的中点坐标；（4）若经过点B(−1, 0)的直线n与抛物线C:y2＝4x相交于P、Q两个不同的点，是否存在直线n使得|BP|⋅|BQ|＝20，又是否存在直线n使得|BP|⋅|BQ|＝6，请说明理由．【答案】①当直线l⊥x轴时，此时直线l的方程为：x＝1，联立方程，解得，不符合题意，②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为：y＝2，此时直线l与抛物线只有一个公共点，③当直线l的斜率存在且不为3时，设直线l的方程为：y−2＝k(x−1)，联立方程，消去x整理可得：ky2−4y+5−4k＝0，由题意可得△＝16−3k(8−4k)＝2，解得k＝1，此时直线l的方程为：y−2＝x−6，即x−y+1＝0，综上，满足题意的直线l的方程为y＝2或x−y+1＝0；证明：由直线l与x轴交于点B，则直线l的方程为：y＝x+4，令y＝0，解得x＝−1，2)，0)，而抛物线的准线方程为：x＝−1，由抛物线的定义可得：AF＝8+1＝2，又BF＝|−6−1|＝2，因此AF＝BF；由（2）可知，直线l的方程为y＝x+2，所以直线m的斜率为−1，则直线m的方程为：y−2＝−(x−3)，令y＝0，解得x＝3，4)，因此，线段BM的中点坐标为(1；若直线n与x轴重合时，直线n与抛物线只有一个公共点，所以可设直线n的方程为：x＝ty−1，P(x2, y1)，Q(x2, y7)，联立方程，消去x整理可得：y2−4ty+6＝0，则△＝16t2−16>6，所以t2>1，且y3+y2＝4t，y7y2＝4，所以|BP||BQ|＝＝(4+t2)|y1y5|＝4(1+t2)，因为t2>1，所以|BP||BQ|>2，因此存在直线n使得|BP||BQ|＝20，不存在直线n使得|BP||BQ|＝6．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A(−2, 0)，离心率e＝，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两个不同的点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当|PQ|＝时，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设线段PQ的中点在直线x+y＝0上，求直线PQ的方程．【答案】（1）由已知得，解得c＝1，b2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由(Ⅰ)知，椭圆的右焦点F(2，设直线PQ的方程为x＝my+1，P(x1, y2)，Q(x2, y2)，联立得(5m2+4)y6+6my−9＝7，所以y1+y2＝-，y1y2＝-，所以|PQ|＝＝＝12＝12×，因为|PQ|＝，所以12×＝，解得m＝±1，所以直线PQ的方程为x＝±y+7，即x+y−1＝0或x−y−3＝0．(Ⅲ)设PQ中点为(x0, y7)，所以x0＝＝＝＝，y0＝＝，又因为线段PQ的中点在直线x+y＝2上，所以x0+y0＝7，即+＝5，所以直线PQ的方程为x＝y+1．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知抛物线C:y2＝2px过点M(2, 2)，A，B是抛物线C上不同两点，且AB // OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．(Ⅰ)求抛物线C的准线方程；(Ⅱ)求证：直线PQ与x轴平行．【答案】（1）抛物线C:y2＝2px过点M(2, 2)，∴4＝6p，即p＝1，∴抛物线C的准线方程x＝-＝-，证明(Ⅱ)∵M(2, 3)，∴k AB＝k OM＝1，设直线AB的方程为y＝x+m，设A(x1, y5)，B(x2, y2)，由，消x可得y2−4y+2m＝0，∴△＝3−8m>0，即m<，∴y1+y2＝2，y1y7＝2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q＝(y1+y2)＝3，∵直线OA的方程为y＝•x＝，①直线BM的方程为y−2＝(x−2)＝(x−2)，②，由①②解得y＝＝＝1，∴y p＝8∴直线PQ的方程为y＝1，故直线PQ与x轴平行【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得 −4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件. 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 平面向量在解析几何中的应用 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 椭圆的定义数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】（1）由题意知a =2，b =c ，b 2=2，由此可知椭圆方程为x 24+y 22=1．（2）设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)，直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0，然后利用根与系数的关系能够推导出OM →⋅OP →为定值．（3）设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ．MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)，再由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，由此可知存在Q(0, 0)满足条件．【解答】解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)，则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0)直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0， 从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件.。
北京第一零第五中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析
北京第一零第五中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线的右支上一点P（,b）到直线的距离为+b的值（）A．B．C．－2 D．2参考答案：B略2. 三点（3,10），(7,20)，(11,24)线性的回归方程是A. B.C. D.参考答案：B略3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形参考答案：C【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．【专题】计算题．【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，所以b=c，三角形ABC为等腰三角形．故选C【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力．掌握用全等来证明线段相等的方法．4. 已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2D．2+参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PQ丨=丨PF2丨，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，由OA是△F2F1Q的中位线，丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，a=，c=a，双曲线的离心率e==．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴丨PQ丨=丨PF2丨，∵P在双曲线上，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，∴丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是△F2F1Q的中位线，∴丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，∴a=，c==a，∴双曲线的离心率e==．故选A．5. 已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是（）A．为真B．为真C．为真D．为假参考答案：C6. 阅读下面程序框图，则输出的数据．．．．参考答案：．，，，，，，，，，此时，；故选．7. 已知,由不等式可以推广为A. B.C. D.参考答案：B略8. i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，把要求的式子化简求得结果．【解答】解：复数===i﹣i2=1+i，故选D．9. 5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为( )A.72B.48C.24D.60参考答案：C略10. 在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线是曲线的一条切线，则实数 .参考答案：12. （5分）已知复数乘法（x+yi ）（cosθ+isin θ）（x ，y∈R，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x ，y ）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为．参考答案：复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的对应的复数为：（6+4i）（cos+isin）=（6+4i）（+i）=．∴得到的点的坐标为．故答案为：．根据复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，即可得所求点的坐标．13. 从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则。
2020-2021学年北京怀柔县第五中学高二数学文期末试题含解析
2020-2021学年北京怀柔县第五中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（）A．3 B．C．2D．6参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的半焦距为2，离心率e=，可得c=2，a=3，求出b，从而求出答案．【解答】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，∴c=2，a=3，∴b=∴2b=2．故选：C．2. 已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( )A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项参考答案：C【考点】等差数列的前n项和；数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．【解答】解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．【点评】本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a7＞0，a7＜0，属中档题．3. 在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A. B. C. ≥ D. 不能确定参考答案：A4. 下列函数中，即是偶数又在单调递增的函数是A. B. C. D.参考答案：B5. 已知函数在处取得极值，对任意恒成立，则A．4032 B．4034 C．4035 D．4036参考答案：C已知函数在处取得极值，故，解得。
对任意恒成立，则，对任意恒成立，则所以.所以函数表达式为，，，令，解得，由此，由三次函数的性质，为三次函数的拐点，即为三次函数的对称中心,，所以，.故选C。
6. f（x）在x0处可导，a为常数，则=( )A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．0参考答案：B【考点】变化的快慢与变化率．【专题】导数的概念及应用．【分析】利用导数的定义即可得出．【解答】解：=2a=2af′（x0）．故选：B．【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题．7. 已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α⊥β，则k=（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5参考答案：D【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据题意⊥，得出?=0，列出方程求出k的值．【解答】解：∵平面α的法向量为，平面β的法向量为，且α⊥β，∴⊥，∴?=1×（﹣2）+2×（﹣4）﹣2k=0，解得k=﹣5．故选：D．【点评】本题考查了平面的法向量与向量垂直的应用问题，是基础题目．8. 已知函数的导函数的图像如下，则（）A．函数有1个极大值点，1个极小值点B．函数有2个极大值点，2个极小值点C．函数有3个极大值点，1个极小值点D．函数有1个极大值点，3个极小值点参考答案：A略9. 如果圆至少覆盖函数的一个最大点和一个最小点，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B 提示：因为为奇函数，图象关于原点对称，所以圆只要覆盖的一个最值点即可，令，解得距原点最近的一个最大点，由题意得正整数的最小值为210. 已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=（）A． B.2 C. D. 3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是：．参考答案：m≥1，且m≠2010【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线恒过定点（0，1），由直线与椭圆恒有公共点，可得（0，1）在椭圆上或在椭圆内．代入椭圆方程，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：直线y=kx+1即为y﹣1=k（x﹣0），则直线恒过定点（0，1），由直线与椭圆恒有公共点，可得（0，1）在椭圆上或在椭圆内．即有+≤1，解得m≥1，又m＞0，且m≠2010，即有m≥1，且m≠2010，故答案为：m≥1，且m≠2010．【点评】本题考查椭圆和直线的位置关系，注意运用直线恒过定点，定点在椭圆上或椭圆内，是解题的关键．12. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是。
北京怀柔县第五中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析
北京怀柔县第五中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式“≤≤”是“≤≤”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B． C. D．参考答案：D根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即即又0°即解得由此可得双曲线C的渐近线方程为.3. 设，则的大小关系是（）A． B．C． D．参考答案：B4. 5名学生A、B、C、D、E和2位老师甲、乙站成一排合影，其中A、B、C要站在一起，且甲、乙不相邻的排法种数为（）A．432 B．216 C．144 D．72参考答案：A略5. 已知数列{a n}为等差数列，满足，则数列{a n}前21项的和等于（）A. B. 21 C. 42 D. 84参考答案：B【分析】先由，根据等差数列的性质，求出，再由等差数列求和公式，即可得出结果. 【详解】因为数列为等差数列，满足，所以，即；所以数列前21项的和等于.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的前项和，熟记等差数列的性质、以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.6. 将的展开式中x﹣4的系数记为a n，则等于（）A．B．C．2015 D．2016参考答案：B【考点】二项式定理的应用；数列的求和．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a n，再利用裂项法进行求和，可得要求式子的值．【解答】解：将的展开式中x﹣4的系数记为a n，∴a n==，∴则=+++??+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2?=，故选：B．【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，用裂项法进行求和，属于中档题．7. “”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A8. 复数对应的点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D9. 已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （sinA）＞f（cosB）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，由△ABC为锐角三角形，得A+B，0﹣B＜A，再根据正弦函数，f（x）单调性判断．【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1f（sinA）＞f（sin（﹣B）），即f（sinA）＞f（cosB）故选；D10. 已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为，则命题是命题的（）A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C当时，过不同两点的直线方程为，即，又当时，直线为，也满足上式，当时，直线为，也满足上式，所以，过不同两点的直线方程为.反过来，直线的方程为，则当时，，所以直线过点同理，当时，，所以直线过点即直线过不同两点.所以命题是命题的充要条件.本题选择C选项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题：①极坐标为的点所对应的复数是；②与曲线无公共点；③圆的圆心到直线的距离是；④与曲线（为参数）相交于点,则点的直角坐标是.其中真命题的序号是．参考答案：①②12. 函数的定义域为A，若，则实数的取值范围是参考答案：略13. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 的长为3，则线段FQ的长为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设P（x1，y1），根据线段PF的长为3，利用抛物线的定义得出x1+=3，从而得出P点的坐标，又F（1，0），得出直线PQ的方程，再代入抛物线方程求出Q点的坐标，最后利用两点间的距离即可求出线段FQ的长．【解答】解：设P（x1，y1），∵线段PF的长为3，∴x1+=3，即x1+1=3，∴x1=2，∴P（2，2），又F（1，0），∴直线PQ的方程为：y=2（x﹣1），代入抛物线方程，得（2（x﹣1））2=4x，即2x2﹣5x+2=0，解得x=2或x=，∴Q（，﹣）．∴则线段FQ的长为=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．14. 抛物线焦点为，过作弦，是坐标原点，若三角形面积是，则弦的中点坐标是_______________ .参考答案：或略15. 设，，，….. n= 。
2020-2021学年北京市房山区高二(上)期末数学测试卷
2020-2021学年北京市房山区高二（上）期末数学测试卷第I 卷（选择题）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 椭圆16x 2+25y 2=400的离心率为( )A. 35B. 45C. 34D. 16252. 设P 表示平面内的动点，A ，B 是该平面内两个定点．已知集合M ={P|PA =PB}，则属于集合M 的所有点P 组成的图形是( )A. 任意△PABB. 等腰△PABC. 线段AB 的垂直平分线D. 以线段AB 为直径的圆3. 双曲线y 216−x 29=1的渐近线方程是( )A. y =±34x B. y =±43xC. y =±45xD. y =±35x4. 已知向量a ⃗ =(−3,2，5)，b ⃗ =(1,x ，−1)，且a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则x 的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 65. 双曲线x 225−y 29=1上一点P ，点P 到一个焦点的距离为12，则点P 到另一个焦点的距离是( )A. 22或2B. 7C. 22D. 26. 设P(2,3，4)在三个坐标平面上的射影分别为P 1，P 2，P 3，则向量a⃗ =(6,−3,−4)，b ⃗ =(4,−3,−4)，c ⃗ =(0,−3,4)，d⃗ =(2,−6,4)中，与平面P 1P 2P 3平行的向量有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5,−1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为( )A. √2626B. √2612C. 3√2626D. 2√26138. 设抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 49.若方程x2k−3+y2k−5=1(k∈Z)表示双曲线，则该双曲线的离心率为()A. 1B. √2C. √22D. 210.已知抛物线y2=8x上，定点A(3,2)，F抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为()A. 5B. 6C. 7D. 811.“”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件12.如图所示几何体中，AB//CD//EG，∠ABC=90°，CD=EG=12AB，平面BCEF⊥平面ABCD，点M为侧面BCEF内的一个动点，若点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，则点M在侧面BCEF内的轨迹是()A. 一条线段B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.已知α//β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A，与β相交于B，若AB=2√33d，则直线a与α所成的角等于_________．14.双曲线x22−y2=1的实轴长为______ ．15.抛物线y2=−8x的焦点坐标为______ ；准线方程为______ ．16.方程x24−t +y2t−2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2<t<4；②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t>4；以上命题正确的是______ (填上所有正确命题的序号)．17.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=√2，AA1=√3，则直线C1D与直线BD1夹角的余弦值为______．18.右焦点坐标是(2,0)，且经过点(−2,−)的椭圆的标准方程为__________．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，∠ACB=90∘，M是A1B1的中点．(1)求证C1M⊥平面ABB1A1；(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．20.设A点是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且∠AF1F2=15°，∠AF2F1=75°，且|F1F2|=2√6．(1)求椭圆E的方程；(2)若点M(32,32)是椭圆E上一点，N是M关于原点O的对称点，过M的任意直线(但该直线不过原点O)与椭圆E交于另一点Q，求△MQN的面积的最大值．21.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，且过点M(1,2)．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)若倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点，且OA，OB斜率之积为−2，求直线l的方程．22.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．(1)求证：SC⊥平面AMN；(2)求二面角D−AC−M的余弦值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：把椭圆方程化为标准方程得：x225+y216=1，得到a=5，b=4，则c=3，所以椭圆的离心率e=ca =35．故选A．把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=ca，把a与c的值代入即可求出值．此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵M={P|PA=PB}，即集合M是到A，B的距离相等的点构成得集合，故P在线段AB的垂直平分线上，故选：C．由已知可得，P到A，B的距离相等，故P在线段AB的垂直平分线上．本题考查轨迹方程，考查的知识点是性质描述法表示一个集合，正确理解垂直平分线的定义是解答的关键，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的性质及其渐近线方程的求解，属于基础题．根据双曲线的渐近线方程的定义即可得出结果．【解答】解：∵双曲线的方程为y216−x29=1，∴其渐近线方程为y=±43x．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查空间向量数量积运算，考查计算能力，属于基础题． 利用空间向量坐标运算a ⃗ ⋅b ⃗ =−3+2x −5=2，建立方程求解即可．【解答】解：因为a ⃗ =(−3,2，5)，b ⃗ =(1,x ，−1)， 所以a ⃗ ⋅b ⃗ =−3+2x −5=2，解得x =5． 故选C ．5.【答案】A【解析】解：设双曲线x 225−y 29=1的左右焦点分别为F 1，F 2，则a =5，b =3，c =√34，不妨令|PF 1|=12(12>a +c =5+√34)， ∴点P 可能在左支，也可能在右支， 由||PF 1|−|PF 2||=2a =10得： |12−|PF 2||=10， ∴|PF 2|=22或2．∴点P 到另一个焦点的距离是22或2． 故选：A ． 设双曲线x 225−y 29=1的左右焦点分别为F 1，F 2，利用双曲线的定义||PF 1|−|PF 2||=2a =10，即可求得答案．本题考查双曲线的简单性质，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量中的数量积和坐标运算，平面的法向量，以及利用空间向量判定线面平行，属于一般题．由题意求得P 1，P 2，P 3的坐标，再根据法向量的求法求得平面P 1P 2P 3的法向量，进而根据向量数量积的运算判断a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d⃗ 与该法向量的关系即可． 【解答】解：由题意可令P 1，P 2，P 3的坐标分别为(2,3，0)，(2,0，4)，(0,3，4)， 所以P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,4)，P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3，0)，P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，4)，可以求得平面P 1P 2P 3的一个法向量为n⃗ =(6,4，3)． 因为a ⃗ ⋅n ⃗ ≠0，b ⃗ ⋅n ⃗ =0，c ⃗ ⋅n ⃗ =0，d ⃗ ⋅n ⃗ =0，所以b ⃗ ⊥n ⃗ ，c ⃗ ⊥n ⃗ ，d ⃗ ⊥n ⃗ ，即向量b ⃗ ，c ⃗ ，d⃗ 与平面P 1P 2P 3平行，故选C ． 7.【答案】C【解析】解：设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，∵已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5,−1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0，0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4，−1)， ∴cosθ=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3⋅√9+16+1=3√26=3√2626， 故选：C ．先求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式，求得向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值． 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】由于抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是2，故点P 的横坐标为2，再由抛物线y 2=4x 的准线为x =−1，以及抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离是等于点P 到准线的距离，故点P 到该抛物线焦点的距离是2−(−1)=3．9.【答案】B【解析】解：根据题意，方程x 2k−3+y 2k−5=1(k ∈Z)表示双曲线， 则有(k −3)(k −5)<0， 解可得3<k <5， 又由k ∈Z ，则k =4，则双曲线的方程为y 2−x 2=1， 其中a =1，b =1，则c =√1+1=√2， 则双曲线的离心率e =ca =√2， 故选：B ．根据题意，由双曲线的标准方程的形式分析可得(k −3)(k −5)<0，解可得3<k <5，结合k 的范围分析可得k 的值，即可得双曲线的方程为y 2−x 2=1，分析可得a 、b 、c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质以及双曲线的标准方程，注意由k的范围求出k的值．10.【答案】A【解析】解：设点A在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PF|+|PA|的最小值，即求|PD|+|PA|的最小值，只有当D，P，A三点共线时|PD|+|PA|最小，且最小值为3−(−2)=5(准线方程为x=−2)故选A设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PD|+|PA|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PD|+|PA|最小，答案可得．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及与之有关的最值问题，属中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．【解答】解：若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则{5−m>0 m+3>05−m≠m+3，所以{m<5m>−3m≠1,即−3<m<5且m≠1，所以“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确运用抛物线的定义是关键，属于中档题．先证明EG⊥平面BCEF，可得ME为点M到直线EG的距离，由点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，可得M到定点E的距离等于M到直线BC的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：∵∠ABC=90°，平面BCEF⊥平面ABCD，∴AB⊥BC，平面BCEF∩平面ABCD=BC，∴AB⊥平面BCEF，∵AB//EG，∴EG⊥平面BCEF，∵EM⊂平面BCEF，∴EG⊥EM，即ME为点M到直线EG的距离，∵点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，∴M到定点E的距离等于M到直线BC的距离，∴点M在侧面BCEF内的轨迹是抛物线的一部分．故选：C．13.【答案】60°【解析】【分析】本题考查直线与平面所成的角，属基础题．【解答】解：根据题意，作图如下：AD=d，AB=2√33d，因此，sinB=ADAB =√32因此，B=60°，因此，直线a与平面α所成的角等于60°．故答案为60°．14.【答案】2√2【解析】解：由双曲线x 22−y 2=1的方程可知，a =√2，b =1，∴实轴长2a =2√2， 故答案为：2√2．由由双曲线x 22−y 2=1的标准方程可知，a =√2，b =1，故得实轴长2a ．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于容易题． 15.【答案】(−2,0)；x =2【解析】解：根据抛物线的性质可知抛物线y 2=−8x ，p =4，则准线方程为x =p 2=2，焦点坐标为(−2,0)，准线方程为：x =2故答案为(−2,0)；x =2根据抛物线方程求得p ，进而根据抛物线的性质可求得其准线方程和焦点坐标． 本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题． 16.【答案】②④【解析】解：①若C 为椭圆应该满足{(4−t)(t −2)>04−t ≠t −2即2<t <4且t ≠3，故①错； ②若C 为双曲线应该满足(4−t)(t −2)<0即t >4或t <2故②对；③当4−t =t −2即t =3表示圆，故③错；④若C 表示双曲线，且焦点在y 轴上应该满足t −2>0，t −4>0则t >4，故④对 综上知②④正确故答案为②④．据椭圆方程的特点列出不等式求出t 的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t 的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t 的值，判断出③错；据双曲线方程的特点列出不等式求出t 的范围，判断出④对．椭圆方程的形式：焦点在x 轴时x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点在y 轴时x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)；双曲线的方程形式：焦点在x 轴时x 2a 2−y 2b 2=1；焦点在y 轴时y 2b 2−x 2a 2=1 17.【答案】√66【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线C 1D 与BD 1所成角的余弦值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，D(0,0，0)，D 1(0,0，√3)，B(√2,1，0)，C 1(0,1，√3)， C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,√3)，设异面直线C 1D 与BD 1所成角为θ，则cosθ=|C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√66. ∴异面直线C 1D 与BD 1所成角的余弦值为√66. 故答案为√66．18.【答案】x 28+y 24=1【解析】【分析】本题考查椭圆的概念及标准方程．设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，则a 2−b 2=4，将点(−2,−√2)代入求解． 【解答】解：椭圆的右焦点坐标是(2,0)，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1，则a 2−b 2=4， 将点(−2,−√2)代入可得4a 2+2b 2=1，所以{a 2=8b 2=4所以椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．故答案为x 28+y 24=1．19.【答案】解：(1)∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴AA 1⊥面A 1B 1C 1，C 1M ⊂面A 1B 1C 1，∴C 1M ⊥AA 1，∵AC =BC =1，M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1 ，又AA 1∩A 1B 1=A 1，AA 1,A 1B 1⊂平面ABB 1A 1,∴ C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ， 连接MN ，∴MN//A 1B ，连接RN ，∴RN//B 1C ，∴∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角；设点P 是AB 的中点，连接MP 、MR ，PR ，在Rt △MPR 中，MR =√22+(12)2=√172， 在△MNR 中，MN =12A 1B =√62，RN =12B 1C =√52， ∴cos∠MNR =MN 2+RN 2−MR 22·MN ·RN=(√62)2+(√52)2−(√172)22×√62×√52=−√3010， ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为√3010.【解析】本题主要考查线面垂直、异面直线所成角的知识，属于中档题．(1)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AA 1⊥面A 1B 1C 1，C 1M ⊂面A 1B 1C 1，C 1M ⊥AA 1，又M 是A 1B 1的中点，故C 1M ⊥A 1B 1 ，即可求证C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ，连接MN ，MN//A 1B ，连接RN ，RN//B 1C ，∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角，利用余弦定理即可求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．20.【答案】解：(1)由题c =√6，Rt △F 1AF 2中，则|AF 2|=2√6sin15°=3−√3，|AF 1|=2√6sin75°=3+√3，∴|AF 1|+|AF 2|=2a =6，则a =3，b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆方程为：x 29+y 23=1；(2)设椭圆上动点Q(3cosθ,√3sinθ)到直线MN ：y =x 的距离为d =√3sinθ|√2=√6sin(θ−π3)，∴d max =√6，∴△MQN 的面积的最大值S △MQN =12×|MN|×d =3√3，∴△MQN 的面积的最大值3√3．【解析】(1)根据几何关系求得|AF 1|+|AF 2|=2a =6，即可求得a ，c =√6，即可求得b 的值，即可求得椭圆方程；(2)方法一：设切线方程，代入椭圆方程，利用△=0，即可求得m 的值，即可求得d max =√6，即可求得△MQN 的面积的最大值；方法二：设Q 点坐标，根据点到直线的距离公式及辅助角公式，根据正弦函数的性质，即可求得d max =√6，即可求得△MQN 的面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及定义，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题． 21.【答案】解：(Ⅰ)由题意设抛物线C 的方程为：y 2=2px(p >0)，∵抛物线C 过点M(1,2)，∴2p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =x +b ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =x +b,y 2=4x, 得y 2−4y +4b =0，因为Δ=16−16b >0，所以b <1，y 1+y 2=4，y 1y 2=4b ，因为OA ，OB 斜率之积为−2，所以y 1y 2x 1x 2=16y 1y 2=4b =−2， 解得b =−2，所以直线l 的方程为y =x −2．【解析】本题考查了抛物线的概念及标准方程，直线与抛物线的位置关系，属于基础题． (Ⅰ)由题意设抛物线C 的方程，把点M(1,2)代入方程，得到p 的值，即可求出抛物线C 的方程；(Ⅱ)先设直线l 的方程，再联立抛物线的方程，利用OA ，OB 斜率之积为−2列式，得到b 的值，即可求出直线l 的方程．22.【答案】证明：(1)∵在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ∴以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由SA =AB ，设AB =AD =AS =1，则A(0,0，0)，B(0,1，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，S(0,0，1)，M(12,0，12)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =−12+12=0，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CS ⃗⃗⃗⃗ ， ∴SC ⊥⊥AM ，又SC ⊥AN ，且AN ∩AM =A ，∴SC ⊥平面AMN ．解：(2)∵SA ⊥底面ABCD ，∴AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量，且AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面ACM 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +y =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12x +12z =0，取x =−1，得n ⃗ =(−1,1，1)， cos <AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， 由图形知二面角D −AC −M 为锐二面角，∴二面角D−AC−M的余弦值为√3．3【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．(2)求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D−AC−M的余弦值．。
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北京市五中2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.复数
2
2
i
i
-
=
+
（）
.A i.B i-.C i
5
4
5
3
+
-.D
43
55
i
-+
2.如图是《推理》知识结构框图，根据该框图可得
(1) “推理”主要包括两部分内容
(2) 知道“推理”概念后，只能进行“合情推理”内容的学习
(3) “归纳”与“类比”都不是演绎推理
(4) 可以先学习“类比”再学习“归纳”
这些命题（）.A除（2）外都正确.B除（3）外都正确
.C（1）（4）正确.D全部正确
3.甲乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲乙两人的平均成绩分
别用x x
乙
甲
、表示，则（）.A x x
>
乙
甲
，且甲比乙稳定
.B x x
>
乙
甲
，且乙比甲稳定
.C x x
<
乙
甲
，且甲比乙稳定
.D x x
<
乙
甲
，且乙比甲稳定
4.函数)
(x
f
y=的图象在))
1(
,1(f
M处的切线方程为2
2
1
+
=x
y，则=
+)1(
)1('f
f
甲乙
9 8 8 3 8 9 9
2 1 0 9 1
（ ）
.A 1 .
B 2
3
.C 3 .
D 2
5 5.抛掷两枚骰子，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率为 （ ）
.
A 4
1
.
B 6
1
.
C 8
1
.
D 12
1 6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是 （ ）
.A 求数列}1
{n 的前10项和()n *∈N
.B 求数列}21
{n 的前10项和()n *∈N
.C 求数列}1
{n 的前11项和()n *∈N
.D 求数列}21
{n
的前11项和()n *∈N
7．已知
{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，
{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上
随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 （ ） .
A 13 .
B 23 .
C 19 .
D 29
8．已知)1()()()()(2
'
'
x x x g x f x g x f -=-，则函数
)
()
(x g x f （ ） .A 有极大值点1，极小值点0
.B 有极大值点0，极小值点1
.C 有极大值点1，无极小值点
.D 有极小值点0，无极大值点
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数 为 .
10．若复数i z 21-=，则=+⋅z z z ______________.
11．函数)12()(2
++=x x e x f x
的单调增区间为 .
12．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是_ _ .
13．函数3
2
4)(ax x x f -=在]2,0(上是增函数,则a 的取值范围是 . 14．阅读程序框图， （1）(1)f = ，
(3)f = ；
（2）若()81f n =，则n = .
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15.我校高二年级的某次数学测试，抽调100份样本试卷的成绩，其频数分布表如下 （1）画出频率分布直方图；
（2）估计这次测试年级的平均成绩.
16.已知椭圆C 与椭圆1C ：15
92
2=+y x 有相同的焦点，且椭圆过点)3,32(，右焦点 为F ，
（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线x y 2
1
=与椭圆C 交于M 、N 两点，求FMN ∆的面积.
成绩 频数
)75,70[ 10 )80,75[
15
)85,80[ 20 )90,85[ 30 )95,90[
15
)100,95[ 10
17.函数x
x x x f 6ln 5)(-
-= （1）求函数在)5,1(-处的切线方程； （2）求函数)(x f 的极值.
18.在一次购物活动中，假设6张奖券中有一等奖1张，可获得50元奖金；有二等奖2张，每张可获20元奖金，其余3张没有奖，某顾客从中任取2张，求： （1）该顾客获奖的概率；
（2）该顾客获得奖金不低于50元的概率.
19.已知函数)(1)1(32)(2
3
R x x k x x f ∈++-= （1）若该函数在1-=x 处取得极值，求实数k 的值； （2）求)(x f 的单调区间； （3）求)(x f 在]1,0[上的最小值.
20.已知椭圆)0( 1:22n m n
y m x C <<=+的长轴长为22，离心率为22，点)0,2(-M ，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点M 的直线l 与椭圆C 交于B A 、两点（A 在B 的左边）若MB MA λ=，求λ 的
取值范围.
答案： 一、选择题
1-8 C,A,C ,C,B,B,D,C 二、填空题
三、
四、解答题 15.
16. （1）
112
162
2=+y x （2）32
18.（1）54)(=
A P （2）3
1)(=B P 19.（1）2-=k
（2）①当1-=k 时，)(x f 在R 上是增函数；
（3）①当1-=k 时，1)0()(min ==f x f ；
②当1-<k 时，1)0()(min ==f x f
20.(1)22
12y x +=,(2)1,13λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。