2018高考数学文科异构异模复习考案撬分法习题 第八章 立体几何 8-1-3 含答案 精品

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
点击观看解答视频
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
答案 B
解析 设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×
13πR 2
×5＝3203π(立方尺)，因此堆放的米约有3203×1.62π
≈22(斛)．故选B.
2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A ．8 cm 3
B ．12 cm 3
C.
323
cm 3
D.403
cm 3
答案 C
解析 该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2，高为2的正四棱锥组合而成的几何体．故其体积为V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323
cm 3
.
3.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π
2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直
线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
点击观看解答视频
A.2π3
B.4π3
C.5π3
D ．2π
答案 C
解析 如图，过点D 作BC 的垂线，垂足为H .则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R ＝AB ＝1，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 2
h 1＝π×12
×2＝2π；圆锥的底面半径r ＝DH
＝1，高h 2＝1，其体积V 2＝13πr 2h 2＝13π×12
×1＝π3
.
故所求几何体的体积为V ＝V 1－V 2＝2π－π3＝5π
3
.故选C.
4．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.17
27 B.59 C.1027
D.13
答案 C
解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为 3 cm ，高为 2 cm.则零件的体积V 1＝π×22
×4＋π×32
×2＝34π(cm 3
)．而毛坯的体积V ＝π×32
×6＝54π (cm 3
)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3
)，所以V 2V ＝
20π54π＝10
27
.故选C.
5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8－2π
B ．8－π
C ．8－π2
D ．8－π4
答案 B
解析 由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8－2×π×2×1
4
＝8－π.故选B.
6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2
h .
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2
h 相当于将圆
锥体积公式中的π近似取为( )
A.227
B.258
C.15750
D.355113 答案 B
解析 由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫L 2π2
h ＝
112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈25
8
，故选B. 7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的
体积为( )
A.32π
3
B ．4π
C ．2π D.4π3
答案 D
解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径R ，则2R ＝12
＋12
＋
2
2
＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R 3＝4π
3
.
8．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 B
解析 由三视图可得原石材为如下图所示的直三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，且AB ＝8，BC ＝6，
BB 1＝12，AC ＝82＋62＝10.
若要得到半径最大的球，则此球与平面A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与
△ABC 内切圆的半径相等，故半径r ＝6＋8－10
2
＝2.故选B.
9.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3
.
点击观看解答视频
答案
8π3
解析 由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，圆柱的底面圆的半径为1 m ，高为2 m ，圆锥的底面圆的半径和高都是1 m ，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合，故该组合体的体积为2π＋2×13π＝8π3
(m 3
)．
10．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
答案
7
解析 底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52
×4
＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π×r 2×4＋π×r 2
×8＝28π3r
2＝196π
3
，解得r ＝7.
11．三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2
＝________.
答案 14
解析 由题意知，V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1，
V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.
因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以S △BDE S △PBC ＝1
4
. 设点A 到平面PBC 的距离为d ， 则V 1V 2＝1
3S △BDE ·d 13
S △PBC ·d ＝S △BDE S △PBC ＝14
. 12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的侧面积相
等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2
的值是________．
答案 32
解析 设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r 1，h 1，r 2，h 2，则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，h 1h 2
＝
r 2r 1.又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32，则V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21
r 22·h 1h 2＝r 1r 2＝32
. 13．已知三棱锥P －ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，AC
BC
＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．
答案
3∶8π
解析 如图，依题意，AB ＝2R ，又AC
BC
＝3，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝30°，因此AC ＝3
R ，BC ＝R ，V P －ABC ＝1
3PO ·S △ABC ＝13×R ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
×3R ×R ＝
36R 3.而V 球＝4π
3
R 3，因此V P －ABC ∶V 球
＝
36R 3∶4π3
R 3
＝3∶8π.。