十年高考理科数学真题 专题十六 不等式选 四十二不等式选及答案

专题十六 不等式选讲
第四十二讲 不等式选讲
答案部分 2019年
1.解析（1）因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++.
所以
222111
a b c a b c
++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有
333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥⨯⨯⨯
=24.
所以333
()()()24a b b c c a +++++≥.
2．解析（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2
()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.
当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.
3．解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-
222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，
故由已知得222
4
(1)(1)(1)3
x y z -++++≥
，
当且仅当x =
53，y =–13，1
3
z =-时等号成立． 所以222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43
.
（2）由于2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-
222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--
222
3(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦„，
故由已知2
2
2
2
(2)(2)(1)()3
a x y z a +-+-+-…，
当且仅当43a x -=
，13a y -=，22
3
a z -=时等号成立． 因此2
2
2
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2
(2)3a +．
由题设知2(2)1
33
a +…，解得3a -„或1a -…．
2010-2018年
1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,
()2,11,2, 1.--⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
≤≥x f x x x x
故不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >．
(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为2
0x a <<，所以21≥a
，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．
2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,
()2,12,26, 2.+-⎧⎪
=-<⎨⎪-+>⎩
≤≤x x f x x x x
可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．
(2)(
)1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．
而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ． 3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+-<⎨⎪
⎪⎪⎩
≤≥
()y f x =的图像如图所示．
(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．
4．D ．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．
因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当
122x y z ==时，不等式取等号，此时244
333
x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．
5．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于
2|1||1|40x x x x -+++--≤．①
当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤
，从而1x < 所以()()f x g x ≥
的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．
所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．
6．【解析】（1）5
5
6
5
5
6
()()a b a b a ab a b b ++=+++
3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-
4≥
（2）∵3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b +=+++
23()ab a b =++ 2
3()2()4a b a b +++≤
3
3()24
a b +=+，
所以3
()8a b +≤，因此2a b +≤．
7．【解析】（1）3,
1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪
=--⎨⎪>⎩
≤≤，
当1x <-时，()f x 1≥无解；
当x -12≤≤时，由()f x 1
≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}
x x 1≥．
（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而
x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤
x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭2
355=--+244≤
且当32x =
时，2
512=4
x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛
⎤∞ ⎥⎝
⎦
．
8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222
()()()ac bd a b c d +++≤，
因为2222
4,16,a b c d +=+= 所以2
()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：
(2)
()4133212342x x f x x x x x ⎧
⎪--⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．
当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<
，321x ->，解得1x >或13
x <， 113x -<<∴或3
12
x <<，
当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，3
32x <∴≤或5x >，
综上，1
3
x <或13x <<或5x >，
()1f x >∴，解集为()()11353⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
U U ，，
，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若1
12
x -<<-；
当1122x -≤≤时，()11
1222
f x x x =-++=<恒成立；
当1
2
x >
时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．
综上可得，{}|11M x x =-<<．
（Ⅱ）当()11a b ∈-，，
时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，
则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()2
2
1ab a b +>+， 即1a b ab +<+，
证毕．
11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+„，得13x -剟.
因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x
-剟.
（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-
|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当1
2
x =
时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a „时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.
12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，
当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得
2
13
x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤． 所以()1f x >的解集为2
{|
2}3
x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪
=+--⎨⎪-++>⎩
≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成
的三角形的三个顶点分别为21
(
,0),(21,0),(,1)3
a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22
(1)63
a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】
（Ⅰ）∵2a b =++
2
c d =++
由题设a b c d +=+，ab cd >
得22
>．
>
（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则2
2
()()a b c d -<-， 即2
2
()4()4a b ab c d cd +-<+-．
因为a b c d +=+，所以ab cd >
>
>
则22>，
即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，
于是2
2
2
2
()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，
>
||||a b c d -<-的充要条件．
14．【解析】（I
11a b =
+≥，得2ab ≥
，且当a b ==时取等号．
故3
3a
b
+≥
a b ==时取等号．
所以3
3a
b +
的最小值为
（II ）由（I
）知，23a b +≥≥
．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．
15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111
()2x x a x x a a a a a
=+
+-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1
(3)33f a a
=+
+-. 当时a ＞3时，(3)f =1
a a
+
，由(3)f ＜5得3＜a
．
当0＜a ≤3时，(3)f =1
6a a
-+
，由(3)f ＜5
＜a ≤3．
综上，a
的取值范围是（
12
，52
+）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，
设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
--≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，
∴原不等式解集是{|02}x x <<．
（Ⅱ）当x ∈[2a -
，1
2
)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2
a
-≥2a -，即a ≤43，
∴a 的取值范围为(-1，4
3
]．
17．【解析】（Ⅰ）2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得
222a b c ab bc ca ++≥++
由题设得()2
1a b c ++=，即2
2
2
2221a b c ab bc ca +++++=．
所以()31ab bc ca ++≤，即1
3
ab bc ca ++≤
（Ⅱ）∵222
2,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++ 即222
a b c a b c b c a
++≥++ ∴222
1a b c b c a
++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()332
3f x x x ⇔-+-厖
2323x x x ⎧⇔⎨
-+-⎩„…或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧
⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔„或4x …．
(2)原命题()4f x x ⇔-„在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++--„在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔---剟在[1,2]上恒成立
30a
⇔-剟．
19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．
由此可得 3x ≥或1x ≤-．
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，
此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a
a x x ≤⎧⎨-+≤⎩
，
即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2
x a
a x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，
因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a
x x ≤-，
由题设可得2
a
-
=1-，故2a =．
专题十六 不等式选讲 第四十二讲 不等式选讲
2019年
1.（2019全国I 理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）333
()()()24a b b c c a +++≥++．
2. （2019全国II 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
3.（2019全国III 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.
（1）求222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.
2010-2018年
解答题
1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知()|1||1|f x x ax =+--．
(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．
2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．
(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；
(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．
3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数()|21||1|f x x x =++-．
(1)画出()y f x =的图像；
(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．
4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222
x y z ++的最小值．
5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．
(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．
6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，33
2a b +=，证明：
(1)55()()4a b a b ++≥；
(2)2a b +≤．
7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．
(1)求不等式()1f x ≥的解集；
(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．
8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，
证明8ac bd +≤．
9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．
（I ）在图中画出()y f x =的图像；
（II ）求不等式|()|1f x >的解集．
10．（2016年全国II ）已知函数()1122
f x x x =-
++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；
（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．
11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+
（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．
12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：
（Ⅰ）若ab >cd >
>||||a b c d -<- 的充要条件．
14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且
11a b
+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值； （Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．
15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a
++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；
（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．
16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；
（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12
)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13
ab bc ca ++≤ （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．
（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；
（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．
19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1
x x ≤- ，求a 的值．。