2018-2019湖北省天门市潜江市高一12月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省天门市、潜江市高一12月月考数学试
题
一、单选题
1．已知集合，，
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于集合Q，求得函数的定义域，然后求得Q的补集，再和集合P取交集得到结果.
【详解】
对于集合，依题意有，解得，故，所以.【点睛】
本小题主要考查集合的研究对象，考查集合的补集和交集，以及函数的定义域的求法，属于基础题.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.
2．下列角的终边位于第四象限的是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将角化为的形式，由此判断出角的终边所在象限.
【详解】
位于第一象限；位于第二象限；
位于第四象限；位于轴负半轴.综上所述，选C.
【点睛】
本小题考查任意角，考查角的终边所在的象限.要将角化为，由此判断出角终边所在象限.
3．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用函数的三要素即可判断出．
【详解】
A．y=1，x∈R；y=x0，x∈R，且x≠0，定义域不同，不表示同一函数；
B．y=x﹣1，x∈R；y=，x≠﹣1，定义域不同，不表示同一函数；
C．y=x，=x，定义域与对应法则都相同，表示同一函数；
D．y=|x|，x∈R；，x≥0，定义域不同，不表示同一函数．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
【点睛】
本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
4．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先排除不是偶函数的选项.然后判断剩余选项在上的单调性，由此得出正确选项.
【详解】
对于选项，由于函数定义域是，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，排除A
选项.当时，，为减函数，排除B、C选项.符合题目要求，故选D.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性.判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 5．若
，且
，则角的终边位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限. 【详解】 由于
，故角为第一、第四象限角.由于
，故角为第二、第四象限角.所
以角为第四象限角.故选D. 【点睛】
本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项. 6．方程
的根所在的一个区间是
A ．（3，4）
B ．（4，5）
C ．（5，6）
D ．（2，3） 【答案】B 【解析】构造函数
，利用零点存在性定理判断函数零点零点所在的区间，
也即是方程的根所在的区间. 【详解】 构造函数
，
，根据零点的存在
性定理可知，函数的零点即对应方程的根在区间，故选B.
【点睛】
本小题主要考查方程的根和函数零点的对应关系，考查零点的存在性定理的应用，属于基础题.
7．将函数 ()sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6
π
个单位后，所得的图像对应的解析
式为（ ）
A ．y =sin 2x
B ．y =cos 2x
C ．y =sin(2)6x π-
D ．y =2sin(2)3
x π+ 【答案】C
【解析】试题分析：根据三角函数图像变换规律：左正右负，因此图像向右平移6π
个
单位，所以
)
62sin(]6
)6
(2sin[π
π
π
-
=+
-
=x x y ，选C.
【考点】三角函数图像变换
8．函数的图像关于（ ）对称
A ．原点
B ．轴
C ．直线
D ．轴
【答案】A 【解析】通过计算可知函数图像关于原点对称.由此得出正确选项.
【详解】
由，解得或.，故函数为奇函数，图
像关于原点对称.故选A. 【点睛】
本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数奇偶性的判断.要验证一个函数是奇函数，还是偶函数，首先要求得函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，.然后通过计算，化简后看是等于
还是
，由此来判断出函数的奇偶
性. 9．如果
，那么
的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】先利用已知条件求得的值，然后对所求的式子除以，再分子
分母同时除以，变为
的式子，来求得表达式的值.
【详解】
由得.
.故选B.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数关系式，考查齐次方程的计算.同角三角函数关系包括平
方关系和商数关系.形如、此类的式子，都可以通过化简为齐次方程的方法，变两弦为正切，来求解出表达式的值.属于基础题.
10．设，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先找到小于零的，然后找到之间的，再找到的，由此确定三个数的大小关系.
【详解】
依题意，另外两个数是正数，故是最小的.由于，，
，故，所以选D.
【点睛】
本小题主要考查根据指数函数和对数函数的性质比较大小，利用的是“分段法”，属于基础题.
11．已知是上的增函数，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于函数是上的递增函数，故分段函数的每一段都是增函数，且第一段的最高点，不高于第二段的最低点，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于函数是上的递增函数，故，解得.故选C.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数的单调性和对数函数单调性的判断.对于一次函数来说，当时，函数为单调递增函数，当时，函数为单调递减函数.对于指数函数来说，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数.
12．函数是幂函数，对任意，且，满足
，若，且的值为负值，则下列结论可能成立的是
A．B．
C．D．以上都可能
【答案】C
【解析】首先根据函数是幂函数，求得的两个值，然后根据函数在上是增函数，确定的具体值.再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】
由于函数为幂函数，故，解得.当时，，当
时，.由于“对任意，且，满足”故函数在上为增函数，故.由于，故函数值单调递增的奇函数.由于，所以且，故选C.
【点睛】
本小题主要考查求解幂函数的解析式，考查幂函数的单调性以及奇偶性.属于中档题.二、填空题
13．已知，则______
【答案】
【解析】先计算的值，将此值再代入对于的函数解析式内，求得最终的函数值.【详解】
依题意，.
【点睛】
本小题考查分段函数求值，考查指数运算，考查根式的运算，考查运算求解能力，属于基础题.
14．若函数是定义在上的偶函数，则______
【答案】
【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，求得的值.根据二次函数为偶函数，一次项系数为零，求得的值，由此求得的值.
【详解】
由于函数为偶函数，故定义域关于原点对称，故.根据二次函数为偶函数，一次项系数为零，即，故，所以.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，奇函数或者偶函数的定义域要关于原点对称，属于基础题.
15．将函数的图像右移个单位所得图像关于原点对称，则的最小值为______
【答案】
【解析】先求得函数右移个单位之后的解析式，再根据新的函数图像关于原点对称，求得的表达式，由此求得的最小值.
【详解】
函数图像向右移个单位后得到，由于新的函数图像关于
原点对称，故，故，由于，所以当时，取
得最小为.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式以及三角函数的对称性，属于基础题.
16．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】先求得函数在上的值域，使两个值域的交集不为空集的的范围即是所求.
【详解】
函数和函数都是上的增函数，故值域为，要使两个值域有交集，则，或者，解得，或者，即.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，考查函数的值域，考查存在性问题的求解.属于中档题.题目所给的函数一个含有指数，一个含有幂函数.指数函数的单调性要看底数，底数大于，则为增函数，底数在和之间，则为减函数.幂函数的指数大于零时，在第一象限是增函数.
三、解答题
17．（Ⅰ）计算（其中为自然对数的底数）；（Ⅱ）化简．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由于，故，，其它的将小数化为分数，利用指数运算的公式化简.然后求这几个式子的和.（II）
，，
，最后一个式子中的正切转化为两弦来化简.【详解】
（Ⅰ）原式=
（Ⅱ）原式=
=
【点睛】
本小题主要考查利用根式、指数和对数的运算公式化简式子，考查利用三角函数诱导公式化简求值，属于基础题.
18．已知函数，求的解析式．
【答案】,
【解析】求时，将的表达式代入函数解析式，直接替换即可.求时，先令求得，代入第一段，令，代入的第二段，由此求得函数的解析式.
【详解】
由题意，
即
【点睛】
本小题主要考查符合函数的解析式的求法，在求解过程中，特别是分段函数，要注意求定义域.属于基础题.
19．已知函数，（其中且）．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性,并予以证明．
【答案】（I）；（II）偶函数，证明见解析.
【解析】（I）取函数和定义域的交集，得到函数的交集.（II）通过化简，可证得函数为偶函数.
【详解】
（Ⅰ）使函数有意义,必须有
解得
所以函数的定义域是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的定义域关于原点对称.
且
所以函数是偶函数
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数的奇偶性的判断.判断一个函数的奇偶性，首先要求得函数的定义域，然后根据奇函数和偶函数的定义，通过定义来判断函数的奇偶性.
20．根据市场调查，某型号的空气净化器有如下的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足
，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（Ⅰ）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（Ⅱ）假定你是工厂老板，你该如何决定该产品生产的数量？
【答案】（I）；（II）应该决定生产百台，因为这样可使利润最大.
【解析】（I）收件计算得总的成本，用销售收入减去总成本得到销售利润的解析式.（2）利用二次函数的单调性和一次函数的单调性，对销售利润的两段解析式，分别求得最大值，比较后可得到利润的最大值.
【详解】
（I）由题意得故
（II）当时，函数递减，∴万元
当时，函数
当时，有最大值308万元
所以应该决定生产16百台，因为这样可使利润最大.
【点睛】
本小题主要考查利用函数来解决实际问题，求出函数表达式后，利用一次函数和二次函数的单调性来求得最大值.属于基础题.
21．已知函数的部分图像如图，其中
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求函数的单调增区间
（Ⅲ）解不等式．
【答案】（I）；（II）；（III）
.
【解析】（I）根据直线过的两个点的坐标，求得的值.利用三角函数图像部分的零点和最小值点间的距离，求得的值，利用，求得的值.（II）先利用三角函数的单调性，求得当时函数的递增区间，结合函数图像可求得函数函数的递增区间.（III）根据图像可知函数在时符合题意.当时，，解三角不等式求得的取值范围.两个取值范围合并求得不等式的解集.
【详解】
（Ⅰ）由题知
由的图像知，
得
由
故
（Ⅱ）当时。

令得
.
所以函数的增区间为
（Ⅲ）由图像知当时恒成立
当时，解得
综上，不等式的解集是
【点睛】
本小题主要考查利用函数的图像求函数的解析式，考查三角函数的单调区间以及解三角不等式，属于中档题.
22．已知函数是定义在上的奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断在定义域上的单调性并加以证明；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式恒成立, 求的取值范围．
【答案】（I）；（II）减函数，证明见解析；（III）.
【解析】（I）根据函数是上的奇函数，利用求得的值，再利用一个特殊点，求得的值.（II）任取，通过计算证得函数在上递减.（III）利用函数的奇偶性和单调性，化简不等式，将函数符号去掉，然后对分离常数，利用的取值范围求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）∵ 为R上的奇函数,
∴. 又,得.
经检验符合题意
（Ⅱ）任取且＜，
=
由函数的单调性可知，
而，
故＞0，
所以函数在(-∞,+∞)上为减函数
（Ⅲ）∵,不等式＜0恒成立,
∴＜. ∵为奇函数,
∴＜,
∵为减函数,
∴＞
即＜恒成立
而=∴＜
【点睛】
本小题主要考查利用函数奇偶性求函数的解析式，考查利用定义法求函数的单调性，考查抽象函数不等式恒成立问题.在利用奇函数来求函数解析式时，要注意函数在处有没有定义，如果没有定义，是不能够使用这个条件的.恒成立问题一般可采用分离常数的方法来解决.。