数学_2013年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2013年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合A ={0, 1, 2, x}，B ={1, x 2}，A ∪B =A ，则满足条件的实数x 的个数有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2. 若复数z =2−i ，则z ¯
+
10z
等于（ ）
A 2−i
B 2+i
C 4+2i
D 6+3i
3. 设数列{a n }的前n 项和S n =2n −1，则S
4a 3
的值为（ ）
A 154
B 152
C 74
D 7
2
4. 执行如图所示的程序框图，若输入x =2，则输出y 的值为（ ）
A 5
B 9
C 14
D 41
5. 直线y ＝kx +1与曲线y ＝x 3+ax +b 相切于点A(1, 3)，则2a +b 的值等于（ ） A 2 B −1 C −2 D 1
6. 图中阴影部分的面积S 是ℎ的函数(0≤ℎ≤H)，则该函数的大致图象是（ ）
A B C D
7. 一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形内节圆区域有豆4009颗，则他们所没得圆周率为（保留两位有效数字）（ ） A 3.13 B 3.14 C 3.15 D 3.16
8. 已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y =±
√2
2
x B y =±√2x C y =±2x D y =±1
2x
9. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7是较小的两份之和，问
最小一份为( )
A 5
3 B 10
3 C 5
6 D 11
6
10. 过抛物线y 2=8x 的焦点F 作倾斜角为135∘的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ）
A 4
B 8
C 12
D 16
11. 在三棱锥A −BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为√22
、√32
、√62
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A 2π B 4√6π C 6π D 24π
12. 设函数f(x)=sinx +cosx ，把f(x)的图象按向量a →
=(m, 0)(m >0)平移后的图象 恰好为函数y =−f′(x)的图象，则m 的最小值为（ ） A π
4
B π
3
C π
2
D 2π
3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知a →
=(l, 2)，b →
=(x, 6)，且 a →
 // b →
，则|a →
−b →
|=________． 14. 满足约束条件{2x +y ≤2x +2y ≤2
x ≥0y ≥0
的目标函数z =x +y 的最大值为________．
15. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为________m 3．
16. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ={a,a −b ≤1b,a −b >1设函数f(x)=(x 2−2x)⊗(x −
3)(x ∈R)，若函数y =f(x)−k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．
三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2bcosc =2a −c ． (1)求B ；
(2)若b =2，△ABC 的面积为√3，试判断△ABC 的形状．
18. 某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，
成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195, 205)，第二组[205, 215)，…，第八组[265, 275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．
(I)估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；
(II)面试时，每位考生抽取二个问题，若二个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若二个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其它情况下获B 类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为1
2，求恰有一位同学获得该高校B 类资格的概率．
19. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90∘，AC =2a ，D ，E 分
别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，得到如图所示的四棱锥A′−BCDE ． （1）在棱A′B 上找一点F ，使EF // 平面A′CD• （2）求四棱锥A′−BCDF 体积的最大值． 20. 已知椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆C 上，AF 1→
⋅
F 1F 2→
=0，cos∠F 1AF 2=3
5，|F 1F 2→
|=2，过点F 2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）线段OF 2上是否存在点M(m, 0)，使得QP →
⋅MP →
=PQ →
⋅MQ →
，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．
21. 已知函数f(x)=ln(1+x)的导函数是y′=1
1+x ，函数f(x)=ln(1+x)−ax
1−x (a ∈R) （1）当a =1，−1<x <1时，求函数f(x)的最大值； （2）求函数f(x)的单调区间．
22. 如图：AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过
点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H ． (I)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (II)若GH =6，GE =4，求EF 的长．
23. 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθ
y =2sinθ为参数），在极坐标系
（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin(θ+π
4)=2√2．
(I)求曲线C 在极坐标系中的方程； (II)求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24. 选修4−5：不等式选讲
已知函数f(x)=|2x −1|+|x −2a|． （1）当a =1时，求f(x)≤3的解集；
（2）当x ∈[1, 2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a 的取值范围．
2013年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）答案
1. B
2. D
3. A
4. D
5. D
6. B
7. A
8. B
9. A 10. D 11. C 12. C 13. 2√5 14. 4
3
15. 30
16. −1<k ≤0
17. 解：(1)由正弦定理得2sinBcosC =2sinA −sinC ， 在△ABC 中，
sinA =sin(B +C)=sinBcosC +sinCcosB ， ∴ sinC(2cosB −1)=0． 又∵ 0<C <π，sinC >0，
∴ cosB=1
2，注意到0<B<π，∴ B=π
3
.
(2)∵ S△ABC=1
2
acsinB=√3，∴ ac=4，
由余弦定理得：
b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac
=(a+c)2−3ac，
∴ (a+c)2=b2+3ac=16，
∴ a+c=4，
又ac=4，所以a=c=2，
故△ABC是等边三角形．
18. 解：(1)设第i(i=1, 2,…,8)组的频率为f i，
则由频率分布直方图知f7=1−(0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008)×10=0.12．
所以成绩在260分以上的同学的概率p≈f7
2
+f8=0.14，
故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人；
(2)不妨设两位同学为M，N，且M的成绩在270分以上，
则对于M，答题的可能有M11，M10，M01，M00，对于N，答题的可能有N11，N10，N01，N00，
其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N10表示N同学第一题正确，第二题错误，
将两位同学的答题情况列表如下：
有一位同学获该高校B类资格的概率为8
16=1
2
．
19. 解：（1）F为棱A′B的中点．理由如下：取A′C的中点G，连结DG，EF，GF，
则由中位线定理得DE // BC,DE=1
2BC，且GF // BC,GF=1
2
BC．
所以DE // GF，DE=GF，从而四边形DEFG是平行四边形，EF // DG．
又EF⊄平面A′CD，DG⊂平面A′CD，
故F为棱A′B的中点时，
EF // 平面A′CD．----
（2）在平面A′CD内作A′H⊥CD于点H，
DE⊥A′D DE⊥CD
A′D∩CD=D
}⇒DE⊥平面A′CD⇒A′H⊥DE，又DE∩CD=D，
∴ A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′−BCDE 的高．
由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′−BCDE 的体积取最大值．---- 此时V 四棱锥A′−BCDE =1
3S 梯形BCDE ⋅AD =1
3×1
2(a +2a)a ⋅a =1
2a 3， 故四棱锥A ′−BCDE 体积的最大值为1
2a 3．----- 20. 解：（1）由题意∠AF 1F 2=90∘，cos∠F 1AF 2=3
5，
又|F 1F 2→
|=2，
所以|AF 1→
|=3
2，|AF 2→
|=5
2，2a =|AF 1→
|+|AF 2→
|=4， 所以a =2，c =1，b 2=a 2−c 2=3，即所求椭圆方程为x 2
4+
y 23
=1．
（2）存在这样的点M 符合题意．
设线段PQ 的中点为N ，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，N(x 0, y 0)，直线PQ 的斜率为k(k ≠0)， 又F 2(1, 0)，则直线PQ 的方程为y =k(x −1)，
由{x 2
4+
y 2
3=1y =k(x −1)消y 得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，
由韦达定理得x 1+x 2=8k 2
4k 2+3，故x 0=x 1+x 22
=4k 2
4k 2+3，
又点N 在直线PQ 上，所以N(
4k 2
4k 2+3
，−3k
4k 2+3)． 由QP →
⋅MP →
=PQ →
⋅MQ →
，可得PQ →
⋅(MQ →
+MP →
)=2PQ →
⋅MN →
=0，即PQ ⊥MN ， 所以k MN =
0+
3k 4k 2+3m−4k 24k 2
+3
=−1
k
，整理得m =
k 24k 2+3
=
1
4+3k
2
∈(0,1
4)，
所以在线段OF 2上存在点M(m, 0)符合题意，其中m ∈(0,14
)． 21. 解：（1）当a =1时，f(x)=ln(1+x)−
x 1−x
，f′(x)=
11+x
−
1(1−x)2
=
x(x−3)(1+x)(1−x)2
，
当−1<x <0时，f ′(x)>0，当0<x <1时，f ′(x)<0， 所以函数f(x)在(−1, 0)上为增函数，在(0, 1)上为减函数， 所以f max (x)=f(0)=0，
所以当且仅当x =0时，函数f(x)的最大值为0．
（2）由题意，函数的定义域为(−1, 1)∪(1, +∞)，f′(x)=1
1+x −a
(1−x)2， ①当a ≤0时，1
1+x >0，a
(1−x)2≤0，所以f ′(x)>0， 则函数f(x)的增区间为(−1, 1)，(1, +∞)，无减区间； ②当a >0时，f′(x)=1
1+x −a
(1−x)2=
x 2−(2+a)x+1−a (1+x)(1−x)2
，
由f ′(x)=0，得x 2−(2+a)x +1−a =0，
此方程的两根x 1=
a+2−√a 2+8a
2
，x 2=
a+2+√a 2+8a
2
，
其中−1<x 1<1<x 2，注意到(1+x)(1−x)2>0，
所以f ′(x)>0⇔−1<x <x 1或x >x 2，f ′(x)<0⇔x 1<x <1或1<x <x 2， 即函数f(x)的增区间为(−1, x 1)，(x 2, +∞)，减区间为(x 1, 1)，(1, x 2)， 综上，当a ≤0时，函数f(x)的增区间为(−1, 1)，(1, +∞)，无减区间；
当a >0时，函数f(x)的增区间为(−1, x 1)，(x 2, +∞)，减区间为(x 1, 1)，(1, x 2)， 其中x 1=
a+2−√a 2+8a
2
，x 2=
a+2+√a 2+8a
2
．
22. 证明：(1)连接DB ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =90∘， 在Rt △ABD 和Rt △AFG 中，∠ABD =∠AFE ，
又∵ ∠ABD =∠ACD ，∴ ∠ACD =∠AFE ．
∴ C ，D ，E ，F 四点共圆；
(2)∵ C ，D ，E ，F 四点共圆，∴ GE ⋅GF =GC ⋅GD ．
∵ GH 是⊙O 的切线，∴ GH 2=GC ⋅GD ，∴ GH 2=GE ⋅GF ． 又因为GH =6，GE =4，所以GF =9． ∴ EF =GF −GE =9−4=5．
23. 解：(1)把曲线C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为(x −2)2+y 2=4，
再化为极坐标方程是 ρ=4cosθ．----
(2)∵ 直线l 的直角坐标方程为 x +y −4=0，
由 {(x −2)2+y 2=4
x +y −4=0 求得 {x =2y =2，或 {x =4y =0，可得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2, 2)(4, 0)，
所以弦长为 √(4−2)2+(0−2)2=2√2．----
24. 解：（1）当a =1时，f(x)=|2x −1|+|x −2|={
3x −3，当x ≥2时
x +1，当1
2<x <2时−3x +3，当x ≤12时
，
①当x >2时，f(x)>3； ②当1
2
≤x ≤2时，3
2
≤f(x)≤3；
③当x <12
时，f(x)=−3x +3，由−3x +3≤3，解得x ≥0，∴ 0≤x <1
2
．
综上可知：0≤x ≤2．
故f(x)≤3的解集为{x|0≤x ≤2}；
（2）∵ x ∈[1, 2]，∴ |2x −1|=2x −1，
由f(x)≤3，可得2x −1+|x −2a|≤3，即|x −2a|≤4−2x ， ∵ x ∈[1, 2]，∴ 4−2x ≥0．
∴ 当x ∈[1, 2]时，f(x)≤3恒成立⇔|x −2a|≤4−2x 恒成立，x ∈[1, 2]． ⇔2x −4≤2a −x ≤4−2x 恒成立，x ∈[1, 2]，
⇔3
2x−2≤a≤2−1
2
x恒成立，x∈[1, 2]．
解得a=1．
故实数a的取值范围是a=1．。