(精校版讲义)高中数学必修五 第14讲 简单的线性规划问题(可直接打印)

第十四讲：简单的线性规划问题
【学习目标】
1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；
2. 掌握线性规划问题的图解法.
3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】
要点一：线性规划的有关概念： 线性约束条件：
如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
线性目标函数：
关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中，
①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域；
③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.
要点二:线性规划的应用
1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.
2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.
3.在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等.
要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三:确定线性规划中的最优解
对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：
① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域；
③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ④作答． 要点诠释：
确定最优解的思维过程：
线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z C
y x B B
-=-+
，这样线性目标函数可看成斜率为A
B
-
，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线A
y x B
=-
，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，
z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来
判断.
对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：
找整点---验证--- 选最优解 【典型例题】
类型一：求目标函数的最大值和最小值.
例1. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组24
120x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．
【解析】(1)作出二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域，如图所示．
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，
解方程组
24
20
x y
x
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得C(－2,3)，
∴u min＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组
24
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
得B(2,1)，
∴u max＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组
24
1
20
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+≥
⎩
表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得11
1 22
y x z
=-+-，得到斜率为
1
2
-，在y轴上的截距为
1
1
2
z-，
随z变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距1
1
2
z-最小，即z最小，
解方程组
1
20
x y
x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
得A(－2，－3)，
∴z min＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线与直线x ＋2y ＝4
重合时，截距1
12
z -最大，即z 最大， ∴z max ＝4＋2＝6.
∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6. 【点评】
1.本题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距；
2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．
举一反三：
【变式1】设变量x 、y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z ＝2x ＋3y 的 最小值
为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23 【答案】B 【解析】约束条件
3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，表示的平面区域如图
易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值． ∴z min ＝2×2＋3×1＝7.
【变式2】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件
53151
53x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≥⎩
. 【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时， 以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小， 以经过点35(,)22
A 的直线所对应的z 最大. 所以min
3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-，
max 35
351722
z =⨯+⨯=.
【变式3】已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02,
2,2x y x y
⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定．若M (x ，
y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r
的最大值为( )．
A ．3
B ．4
C ．32
D ．42 【答案】B
【解析】画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝2z OM OA x y =⋅=+u u u u r u u u r
，
∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距 z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.
类型二：已知目标函数的最值求参数.
例2. 已知点P (x ，y )满足条件,20y x x y k ⎪
≤⎨⎪++≤⎩
(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，求k
的值.
【解析】作出可行域如图所示，
作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为(,)3
3
k k --. ∴83
k
k -
-=，从而k ＝－6. 【点评】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.
举一反三：
【变式1】若,x y 满足约束条件1,
1,22,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取
得最小值，则a 的取值范围（ ）
A.(-1,2)
B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4) 【答案】B
【解析】可行域为△ABC ，如图
当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率12
AC a
k k =->=-，a ＜2.
当a ＜0时，22
AB a
k k =-<=，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.
【变式2】已知实数,x y 满足21,,y x x y m ⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数
m 等于
A.7
B.5
C.4
D.3 【答案】B
例 3.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）
A.（-3,6）
B.（0,6）
C.（0,3）
D.（-3,3）
【答案】C
【解析】 |2x －y ＋m|＜3
等价于
230
230
x y m x y m -++>⎧⎨
-+-<⎩ 由右图可知33
30
m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，
【点评】此例中充分利用了不等式的几何意义，
通过转化为图形语言进而转化为等价的不等式条件解得. 举一反三：
【变式】已知变量x ，y 满足条件230,330,10.x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )．
A.1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.
1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C. 10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线 x ＋2y －3＝0的斜率，即12a -<-，∴12
a >
.
类型三：求非线性目标函数的最值
例4. 设实数y x 、满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤≥+0405--202-y x y x y x ，
则42-+=
y x z 的最大值为 .
【解析】作出可行域（如图）即ABC ∆所围区域(包括边界)，其顶点)3,1(A 、)9,7(B 、
)1,3(C
【方法一】∵可行域内的点都在直线042=-+y x 上
方，∴042>-+y x
则目标函数等价于42-+=y x z
易得当直线42-+=y x z 在点)9,7(B 处，目标函数取得最大值 为21max =z .
【方法二】55
4
242⋅-+=
-+=y x y x z
令),(y x P 为可行域内一动点、定直线042=-+y x ，
则||5PH z =，其中||PH 为),(
y x P 到直线042=-+y x 的距离
由图可知5
215
|
4927|||||max =
-⨯+==BH PH
∴21max =z .
【点评】求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．
举一反三：
【变式】已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+1
02-0
1-x y x y x ，则y x y x z ++=22的取值范围为 .
【答案】⎥⎦
⎤⎢⎣⎡5
7,1
【解析】作出可行域（如图）即ABC ∆所围区域(包括边界)，其顶点)1,1(A 、)2
3,21(B 、
)2,1(C
∵00>>y x ，，∴x
y y
x y
x z +
-=++=
23222，
令x
y
k =
，),(y x P 为可行域内一动点、 则k
z +-=23
2，OP k k =
∵OB OP OA k k k ≤≤，∴31≤≤k ，
∴571≤
≤z ，即y x y x z ++=22的取值范围为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡57,1.
类型四：实际问题中的线性规划.
例5. 某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤（吨）
电（千瓦）
A 产品 3 9 4
B 产品
10
4
5
已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
【解析】设生产A 、B 两种产品各x 、y 吨，利润为z 万元
则310300
94360452000,0
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨+≤⎪
≥≥⎩，目标函数712z x y =+
作出可行域，如图所示，
作出在一组平行直线7x+12y=t （t 为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线， 此直线经过点M （20，24）
故z 的最优解为（20，24），z 的最大值为7×20+12×24=428（万元）.
【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 举一反三：
【变式1】某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p
＝100＋3(5－y)＋2(8－x)元，那么v、w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．
【答案】依题意
50
420
300
30100
914
0,0
x
y
x y
x y
⎧
≤≤
⎪
⎪
⎪≤≤
⎨
⎪
≤+≤
⎪
⎪>>
⎩
，考查z＝2x＋3y的最大值，作出可行域，平移直线
2x＋3y＝0，当直线经过点(4,10)时，z取得最大值38.
故当v＝12.5、w＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元．
【变式2】某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【答案】设搭载产品A x件，产品B y件，
预计总收益z＝80x＋60y.
则
2030300
105110
,
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪∈∈
⎩N N
，作出可行域，如图．
作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，
2330
222x y x y +=⎧⎨
+=⎩
， 解得94x y =⎧⎨=⎩
，即M (9,4)．
所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．
答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元． 【巩固练习】 一、选择题
1．若变量x ，y 满足约束条件1
020y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，则z ＝x －2y 的最大值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域212x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，上的一个
动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2]
3. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+a y(a>0)取得最小
值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）
A ．-3 B.3 C ．-1
D.1
4.在ABC V 中，三个顶点(2,4),(1,2)(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC V 内部及边界上运
动，则z x y =-的最大值是（ ）
A.1
B.-3
C.-1
D.3 5.如图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB （含边界），
若24
(,)35
C 是该目标函数z ax y =-的最优解，则a 的取值范围是
（ ）
A.105(,)312-
- B .123
(,)510
-- C.312
(,)105
D. 123(,)510-
6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料
3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )
A ．1吨
B ．2吨
C ．3吨 D.
113
吨 二、填空题
7. 已知实数对(x ，y )满足210x y x y ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≥⎩
，则2x ＋y 取最小值时的最优解是__________．
8.已知x ，y 满足约束条件04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+≤⎩
则25z x y =+的最大值为 .
9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 .
10.线性目标函数z x y =+，在线性约束条件30,20,.x y x y y a +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
下取得最大值时的最优解只
有一个，则实数a 的取值范围
11. 若实数x ，y 满足不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ＋3y 的最小值是________．
12. 设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值
为8，则a ＋b 的最小值为________．
三、解答题
13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.
14．某运输公司有7辆载重量为6 t 的A 型卡车与4辆载重量为10 t 的B 型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t 沥青的任务，已知每辆
卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型卡车160元，B 型卡车252元，每天派出A 型车与B 型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？
15．已知x 、y 满足条件：7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
，
①求43x y -的最大值和最小值； ②求2
2
x y +的最大值和最小值. 【答案与解析】 1．【答案】B
【解析】线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z ＝x －2y 得22
x z y =-，当直线22
x z
y =
-在y 轴上的截距最小时，z 取得最大值，由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的截距最小，由0
20x y x y +=⎧⎨--=⎩
解得A (1，－1)．所以z max ＝1－2×(－1)＝3.
2. 【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，
又OA OM x y ⋅=-+u u u r u u u u r
，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，
图1－2
当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.
∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA OM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围是[0,2]，故选C.
3.【答案】D
【解析】如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数
z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D
4．【答案】A
【解析】解决本题的关键是应明确ABC V 的区域即为可行域，z x y =-为目标函数；
5．【答案】B
【解析】∵C 点是目标函数的最优解，∴AC BC k a k <<，解得123
510
a -<<-
6.【答案】A
【解析】设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条
件为313
231812
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域：
作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点16
(1,)3
A 时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨
7. 【答案】(1,1)
【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作直
线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.
8.【答案】19
【解析】易作出
04,
03,
28,
x
y
x y
≤≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪+≤
⎩
对应的可行域，当当直线
2
55
z
y x
=-+经过（2，3）时，z
取得最大值
max 19
z=
9. 【答案】2200
【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约
束条件
2010100
04
08
x y
x
y
+≥
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．
解得当
4
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
时，z min＝2 200.
10.【答案】(],2
-∞；
【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定满足的条件.
11.【答案】4
【解析】 方法一：不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
，所表示的平面区域为三角形区域，
令z ＝2x ＋3y ，则将其视为一组平行线，
3
z
为直线在y 轴上的截距． 于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝2与直线2x －y ＝4的交点(2,0)时，
3
z
最小，即z 最小，此时z ＝4.故填4.
12. 【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，
∴4a b +≥=.
13．【解析】 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：
则有：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+>>18
3213300
y x y x y x ，目标函数y x z 35+=
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.
14．【解析】
设派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，所花成本费为z=160x+252y ，且x 、y 满足给条件如：
9681063600704x y x y x x N y y N +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎨≤≤∈⎪≤≤∈⎩且且，即94530
0704x y x y x x N y y N
+≤⎧⎪+≥⎨≤≤∈⎪≤≤∈⎩且且
如图所示，作出不等式表示的区域，
作直线:1602520l x y +=，即40
63
y x =-， 作直线l 的平行线'l ：40
63
y x b =-
+ 当直线'l 经过可行域内A 点时，'l 纵截距最小，
可得A 点坐标为2
(7,)5
.
∵z=160x+252y ，∴4063252z y x =-+
，式中252
z
代表该直线的纵截距b ， 而直线'l 的纵截距b 取最小值时，z 也取得最小值，
即'l 过2(7,)5A 时，min 2
16025216072521220.85z x y =+=⨯+⨯=，
但此时2
5
y N =∉，
∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x 、y 的值，
（3，4）
（0，6）
O
（
3
13，0） y
x 9
13
当x=5，y=2时，点'(5,2)A 在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x 、y 要求. ∴派5辆A 型车，2辆B 型车时，成本费用最低， 即z min =160×5+2×252=1304（元）
15．【解析】①75230
71104100x y x y x y --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
，表示的共公区域如图所示：
其中A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）
设z=43x y -，以直线l ：430x y -=为基础进行平移， 当l 过C 点时，z 值最小，当l 过B 点时，z 值最大. max min 14,18z z ∴==-
②设22
u x y =+u x,y ）到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，
不难知道：点B 到原点距离最大，而当（x,y ）在原点时，距离为0.
()()22
max min 1637,0u u ∴=-+-==
故43x y -的最大值为14，最小值为-18， 2
2
x y +的最大值为37，最小值为0.。