CH12 第三节 单服务台负指数分布排队系统

1 ≤ n ≤ m −1
解这个方程组得：
1 P0 = m λ m! ( )i ∑ (m − i)! µ i =0 λ m! ( ) n P0 , Pn = (m − n)! µ
U {(t , t + ∆t )内至少有一个顾客到达}I {(t , t + ∆t )内至少有一个顾客离去} I {N (t + ∆t ) = n} = AU B UC U D
由输入是强度为 λ 的泊松流有：
P([t , t + ∆t )内到达1个顾客) = λ∆t + o(t )
由服务时间是参数为 µ 的负指数分布有：
第三节 单服务台负指数分布排队系统
模型（ 3.1 标准的 M / M / 1 模型（ M
/ M /1 / ∞ / ∞
）
标准的 M / M /1 模型是指适合下列条件的排队系统： （1） 输入过程：顾客源是无限的，顾客的到达是强度为 λ 的泊松流； （2） 排队规则：单队，队长无限制，先到先服务； （3） 服务机构：单个服务台，各顾客的服务时间是相互独立的，服从 相同的负指数分布，参数为 µ ； （4） 顾客到达的时间间隔与服务时间是相互独立的。
λ P0 = µP1 λ Pn −1 + µPn +1 − ( λ + µ ) Pn = 0, n ≥ 1 (12 − 17 ) (12 − 18 )
λ
0
λ
1 …… n-1
λ
n n+1
µ
µ
µ
当ρ =
λ < 1 时，解上方程组可得 µ
P0 = 1 − ρ Pn = (1 − ρ ) ρ n ,
表 12-8 到达的病人数 n 出现次数 f n
表 12-9 为病人完成手术时间
v （小时）
出现时间
fv
0 1 2 3 4 5 6 以上 合计
10 28 29 16 10 6 1 100
0.0-0.2 0.2-0.4 0.4-0.6 0.6-0.8 0.8-1.0 1.0-1.2 1.2 以上 合计
ρ <1
n ≥1
（12-19）
由（12-19）可求得系统的平均队长 Ls ，平均队列 长等。
Ls = E ( N ) = ∑ nPn =∑ n(1 − ρ ) ρ =
n n =0 n =1
∞
∞
λ µ −λ
ρλ Lq = ∑ (n − 1) Pn = µ −λ n =1
∞
一个顾客在系统中逗留的时间 w 是参数为 µ − λ 的负指数 分布，即 F ( w) = 1 − e − ( µ −λ ) w w≥0 分布函数 密度函数 f (w) = (µ − λ )e
7
Ls
率。
下表是本例队长为有限和无限两种结果的比较
λ = 3人 / 小时 µ = 4人 / 小时
Ls
Lq Wq
Ws
P0
P7
有限队长 N = 7 无限队长
2.11 3
1.39 2.25
0.73 1
0.48 0.75
0.278 0.25
3.7% 0
顾客源为有限的情形（ 3.3 顾客源为有限的情形（ M / M / 1 / ∞ / m ）
λ
0
n ≤ N −1
（12-23）
λ
1 …… n-1
λ
n n+1
λ
…… N-1
µ
µ
µ
N
µ
12图 12-9
解这个方程组有
1− ρ P0 = 1− ρ N 1− ρ P = n 1− ρ N
N
+1
ρ ≠ 1
（12-24）
ρ
n
+1
,
n ≤ N
( N + 1) ρ N + 1 − 平均队长 L s = ∑ nP n = 1− ρ 1 − ρ N +1 n=0
∴ P( N (t + ∆t ) = n) = P( A) + P(B) + P(C) + P(D) = Pn (t )(1 − λ∆t + o(∆t ))(1 − µ∆t + o(∆t )) + Pn+1 (t )(1 − λ∆t + o(∆t ))(µ∆t + o(∆t )) + Pn−1 (t )(λ∆t + o(∆t ))(1 − µ∆t + o(∆t )) + Pn (t + ∆t )o(∆t ) = Pn (t )(1 − λ∆t − µ∆t ) + Pn+1 (t )µ∆t + Pn−1 (t )λ∆t + o(∆t )
（12-15）
当 n = 0 时，情况 C 不会出现，即有：
dP0 (t ) = − λ P0 (t ) + µ P1 (t ) dt
′ ′ Pn (t ) = Pn = 0 ，由（12-15）（12-16）有 、
（12-16）
当系统稳定时， N (t ) = N , Pn (t ) = P( N (t ) = n) = P( N = n)与t 无关，因此
ρ
ρ ≠1
平均队列长 L q =
∑
N
n =1
( n − 1 ) P n = L s − (1 − P 0 )
一个顾客到达系统时能进入系统的概率= P(ξ < N ) = 1 − P(ξ = N ) = 1 − PN 单位时间内到达系统能进入系统的顾客平均数= λ (1 − PN ) = λe ，称为有效到达率。 因此到达率为 λ 的排队系统 M / M / 1 / N / ∞ 相当于到达率为 λe 的 M / M / 1 / ∞ / ∞ 。则 由公式（12-22）有
排队系统 服务台 N 被拒绝 队列 3 2 1
顾客
12图 12-18
当 N = 1 时为即时制的情形；当 N = +∞ 即为 3.1 的情形。 在稳态情况下，系统中的顾客数 ξ 的分布列为：
ξ
P
0 1
LL nLL N
P0
P1
LL Pn LL PN
类似于 3.1 的讨论有下方程组
λ P0 = µ P1 λ Pn −1 + µ Pn +1 = ( λ + µ ) Pn µP = λ P N −1 N
Ls Ls Ws = = = (可证1 − P0 = λe / µ ) λe λ (1 − PN ) µ (1 − P0 ) Wq = W s − 1 Ls
^
µ
例 4（P319）这是一个 M / M / 1 / 7 / ∞ ，
λ ρ = = 0.75 N = 7, λ = 3人 / 小时，µ = 4人 / 小时 ， µ
λe = λ (m − Ls ) 。
设在平稳状态时，系统中的顾客数为 ξ ，则 ξ 的分布列为：
ξ
P
0 1
LL n LL m
P0
P 1
LLPn LLPm
类似于 3.1 的讨论有：
mλ
0
(m − 1)λ
1
(m − n + 1)λ
…… n-1
( m − n) µ
n n+1
λ
…… m-1
µ
µ
2
µ
µ
µ
m
m λ P0 = µ P1 ( m − n + 1) λ Pn −1 + µ Pn +1 = [( m − n ) λ + µ ] Pn µP = λ P m −1 m
λ 1 =λ µ µ
= [单位时间内到达的顾客 平均数 ] × [一个顾客需要的平均时 间] = [单位时间内手术室平均 忙的时间] = 0.84
即手术室有 84%的时间在忙，16%的时间在闲。λ
= 2 .1 = 5 . 25 人 2 .5 − 2 .1
− ( µ −λ ) w
w≥0
（12-20）
一个顾客在系统中逗留的时间和等待时间的期望值分别 为：
W W
s
q
1 = E [W ] = µ − λ 1 ρ = Ws − = µ µ − λ
λ µ −λ
, Lq =
Ls =
ρλ µ −λ
,W s =
1 ρ ,W q = µ −λ µ −λ
（12-21） （12-22）
（1）求一个顾客一到达就能理发的概率，即 P0 = ？
P0 1 − ρ = 1 − ρ N
+1
1 − 0 . 75 = = 0 . 2778 8 1 − 0 . 75
（2）求需要等待的顾客的期望值 Lq
( N + 1) ρ N +1 Ls = − = 2.11人 N +1 1− ρ 1− ρ
ρ
Lq = Ls − (1 − P0 ) = 2.11 − (1 − 0.2778) = 1.39人
38 25 17 9 6 5 0 100
∑ nf （1）每小时病人平均到达率=
100
n
= 2.1(人 / 小时)
每次手术平均时间= ∑
υf v
100
= 0.4(小时 / 人)
1 = 2.（人 / 小时） 5 0.4
每小时完成手术人数（平均服务率） =
（2）取 λ = 2.1，µ = 2.5 ，通过统计检验可以认为病人到达是参数为 2.1 的泊松流，手术时间 v 服从参数为 2.5 的负指数分布。 （3） ρ =
忙期 闲期
（2）单个忙期的平均长度 E (T忙 ) =
1 ； µ −λ
（3）单个忙期内服务完的顾客平均数 N (T忙 ) =
µ µ −λ
例 3（P317）某医院手术室根据病人来诊和完成手 术时间的记录，任意抽查了 100 个工作小时，每小 时就诊的病人数 n 的出现次数。如表 12-8 所示，又 任意抽查了 100 个完成手术的病历， 所用时间 v（小 时）出现的次数如表 12-9 所示。
排队等待病人数的期望值 L q = ρ L s = 0 . 84 × 5 .25 = 4 .41人 病人在病房中逗留的平均时间 W s = 病人排队等待的平均时间 W q =
Lq =
Ls
λ
=
5 . 25 = 2 . 5小时 2 .1
λ
4 . 41 = 2 . 1小时 2 .1
系统的容量有限制的情况（ 3.2 系统的容量有限制的情况（ M / M / 1 / N / ∞ ）
P([t , t + ∆t )内没有顾客离去) = 1 − µ∆t + o(∆t ) P([t , t + ∆t )内有1个顾客离去) = µ∆t + o(∆t )
P([t , t + ∆t )内没有顾客到达) = 1 − λ∆t + o(∆t )
) P([t , t + ∆t )内至少有一个顾客到来 P([t , t + ∆t )内至少有 个顾客离去) = o(∆t ) 1
排队系统
队列 顾客源 ………… 服务台 离去
12图 12-10
一个修理员看管 m 台机器，当机器坏了就是顾客的到达，服务员就是修理员， 这就是 M / M / 1/ ∞ / m 系统。 由于顾客源有限，平均到达率必须按每个顾客来考虑，设每个顾客的到达率 是相同的 λ ，这时在系统外的顾客平均数为 m − Ls ，则系统的有效到达率为
λ Ls = λWs , Lq = λWq ,Ws = Wq + , Ls = Lq + µ µ
1
定理 在 M / M / 1 系统中，设 ρ < 1 ，当系统达到平衡状态后，长度为 d 的时间区 间内（ d 相当大） （1）忙期（即服务台正在服务）的总长度及平均个数分别为
d 忙 = ρd
Z (d 忙 ) = λd (1 − ρ ) ；
t 时刻，队长 N (t ) 的分布列为
N (t )
P(t )
0 1
LL n LL
P0 (t ) P1 (t )
LL Pn (t ) LL
下求 Pn (t ) 的表达式，为此先求 Pn (t + ∆t )
{N (t + ∆t ) = n} = {N (t ) = n}I {(t , t + ∆t )内没有顾客到达}I {(t , t + ∆t )内没有顾客离去} U {N (t ) = n + 1}I {(t , t + ∆t )内没有顾客到达}I {(t , t + ∆t )内有一个顾客离去} U {N (t ) = n − 1}I {(t , t + ∆t )内到达了一个顾客}I {(t , t + ∆t )内没有顾客离去}
（3）求有效到达率
λ e = µ (1 − P0 ) = 4(1 − 0.2778 ) = 2.89(人 / 小时 )
（4）求一个顾客在理发店内逗留的平均时间
2.11 Ws = = = 0.73 （小时） 43.（分钟） = 8 λe 2.89
（5）求一个顾客到达而不能进入系统的概率 P 7
1− ρ 7 1 − 0.75 P7 = ρ = 0.75 ≈ 3.7% ，这是理发店的流失 8 8 1− ρ 1 − 0.75
Pn (t + ∆t ) − Pn (t ) o(∆t ) = λPn−1 (t ) + µPn +1 (t ) − (λ + µ ) Pn (t ) + ∆t ∆t
令 ∆t → 0 ，得下微分方程：
dPn (t ) = λPn −1 (t ) + µPn +1 (t ) − (λ + µ ) Pn (t ) dt n = 1,2, L