《2.2.1 综合法与分析法》PPT课件(安徽省市级优课)

课前自主学案
综合法和分析法
综合法
分析法
利用_已__知__条__件_和某 从要证明的_结__论_出__发__，
些数学____定、义____、 逐步寻求使它成立的
_定__理_等，公经理过一系 _充_分__条__件__，直至最后，
定 列的________，最 把要证明的结论归结为 义 后推推理导论出证所要证明 判定一个明显成立的条
分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，
c成等比数列，求证:△ＡＢＣ为等语言就是2B=A+C；
a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac. A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件， 明确表示出来是A+B+C=π. 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步 寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余 弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进 行证明.
【思维总结】 本题证明中，前半部分用的是分 析法，后半部分用的是综合法，两种方法综合使 用，使问题较容易解决．
综合法和分析法
综合法
分析法
利用_已__知__条__件_和某 从要证明的_结__论_出__发__，
些数学____定、义____、 逐步寻求使它成立的
_定__理_等，公经理过一系 _充_分__条__件__，直至最后，
综合法和分析法综合法分析法利用和某些数学等经过一系后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合从要证明的逐步寻求使它成立的直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件等这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理定义公理课前自主学案课前自主学案综合法分析法已知条件定义公理定理所要证明的结论问题探究1
→
示
等，Q 表示
得到一个明显成立的条件
所__要___证__明__的__结__论__
特 点
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
问题探究
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎 推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因 为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推 理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合 情推理中的“猜想”．
2.2.1 综合法与分析法
高二年级 选修2-2
版本：人教2003课标版
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严 格证明的工具.
怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的. 今天，我们就来认识一些基本的证明方法……
例3 已知 0<a≤1,0<b≤1,0<c≤1，求证： 1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1.
【思路点拨】 本题所要证明的不等式看不出与 已知条件有怎样的因果关系，故可先采用分析法 寻找该不等式成立的充分条件是.
证明：∵a>0，b>0，c>0， 要证：1 ab bc ac 1, a b c abc
的结论成立，这种 件(已知条件、_定__义_、 证明方法叫做综合 _定_理__、公__理__等)，这种证
法
明方法叫做分析法
综合法
分析法
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
框 Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
Q⇐P1 → P1⇐P2 →
图 (P 表示_已__知__条___件_、已有
P2⇐P3 →…
表 的_定__义__、_定___理_、_公__理__
a 1 a a 1 a 2
【思维总结】 含有根号的式子，应想到用平方 法去根号，且在平方时应保证两边为正，同时要 有利于再次平方，因此需移项．
综合法和分析法的综合应用
用分析法去思考，寻找解题途径，用综合法进行 书写，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲 知”想“已知”(分析)，双管齐下，两面夹击，找到 沟通已知条件和结论的途径．
图 (P 表示_已__知__条__件__、已
P2⇐P3 →…
表 有的_定__义__、_定__理__、
→
示 _公__理__等，Q 表示 得到一个明显成立的条件
所__要__证__明__的___结__论__
特 点
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
课后作业： 1.设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，
又a≤1，b≤1，c≤1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0， ∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立， 即 1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1 成立．
变式训练 △ABC 的三个内角 A、B、C 成
等差数列，求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明：要证 a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
定 列的________，最 把要证明的结论归结为 义 后推推理导论出证所要证明 判定一个明显成立的条
的结论成立，这种 件(已知条件、_定__义_、 证明方法叫做综合 _定_理__、公__理__等)，这种证
法
明方法叫做分析法
综合法
分析法
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
框 Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
Q⇐P1 → P1⇐P2 →
只要证 1 ab bc ac a b c abc,
只要证 1 ab bc ac (a b c abc) 0,
∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc) ＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a) ＝(1－a)(1－b－c＋bc) ＝(1－a)(1－b)(1－c)，
求证: 1 1 1 a b c. abc
2.已知a，b，c为不相等的正实数，试用分析法 证明: b c a c a b 6
ab c
3. 已知a,b, c表示ABC的 三边长，求证：
ab c am bm cm
谢谢再见！
证明：由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C
①
因为A，B，C为ABC的内角，所以
ABC
②
由①②，得
B
③
3
由a，b，c成等比数列，有 b2 ac ④
由余弦定理及③，可得
b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac
再由④，得
a2 c2 ac ac
即 因此
(a c)2 0
(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab， (a＋2 b)2≥ab，a2＋b2≥a＋2b2. (3)若 a、b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab， 特别地，当 a，b 同号时，有ba＋ab≥2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
分析法的应用
只要证 只要证
abc abc 3 ab bc
c a 1 ab bc
只要证 c(b c) a(a b) (a b)(b c)
只需证c2＋a2＝ac＋b2. ∵A、B、C成等差数列， ∴2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. ∵c2＋a2－b2＝2accosB， ∴c2＋a2－b2＝ac， ∴c2＋a2＝ac＋b2， ∴ a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
a=c
从而有
A=C
⑤
由②③⑤，得
A B C
3
所以ABC为等边三角形.
【提升总结】
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如 把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成 图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含 条件明确表示出来.
【思维总结】 综合法证明不等式所依赖的主要 是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中 常用的有如下几个： (1)a2≥0(a∈R)．
2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理 吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条 件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件．
课堂互动讲练
考点突破
综合法的应用
综合法的思维特点是：从“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要 条件．
例1 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边
分析法是由结论到条件的逆推证法，它的思维特 点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐 步推理实际上是寻求它的充分条件．
例2 当 a≥2 时，求证： a＋1－ a< a－1－ a－2.
【思路点拨】 条件和结论的联系不明确，考虑 用分析法证明．
【证明】要证 a 1 a a 1 a 2 只要证 a 1 a 2 a a 1 只要证 ( a 1 a 2)2 ( a a 1)2 只要证 a 1 a 2 2 (a 1)(a 2) a a 1 2 a(a 1) 只要证 (a 1)(a 2) a(a 1) 只要证 (a 1)(a 2) a(a 1) 只要证 2 0 显然成立