第一章：有理数 知识点详解

第一章：有理数
知识点一：正负数
一、理解具有相反意义的量。

1、用正、负表示具有相反意义的量，必须是同类量，把一个量记作正数，另一个量记作负数，如果有单位，不要漏单位。

2、用正、负表示具有相反意义的量时，通常规定某一数值为标准.例如超出记为正，则不足就记为负。

二、误区警示：判断正、负数时，不要以前面是否带有“+”“-”号为标准，有些正数前面省略了“+”号.我们要注重数的实质。

三、规律总结：正数在书写时，前面的“+”号可省略不写，负数前面的“-”号不能省略.0既不是正数也不是负数。

四、关于相反意义的量常从下列两个方面入手判断：一是意义相反，二是要具有数量。

也要注意有些事物就不存在相反意义的量。

知识点二：有理数
一、把数分类：
（1）正整数、0、负整数统称整数；
（2）正分数和负分数统称分数；
（3）整数和分数统称有理数。

(整数可以看成是分母为1的分数)
特别强调：π不是有理数，判断一个数是否为有理数，就要看它是否是正整数、负整数、0、正分数、负分数这五类数中的数。

注意：只有能化成分数的小数才是有理数。

知识点三：数轴
三、所有的有理数都可以用数轴上的点表示。

正有理数可以用数轴右边的点表示，负有理数可以用数轴左边的点表示。

四、运用：
1、读数；
2、标数；
3、读取数据信息；
4、很多实际问题，我们可以把具体的事物抽象成点或者线，用数轴描述出来，形象生动。

知识点四：相反数
知识点五：绝对值
二、绝对值的代数意义:
一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，
0的绝对值等于0。

切记：绝对值具有非负性。

注意误区：
（1）有时候没分清数的性质符号,就比较绝对值；
（2）出现绝对值大的负数大的错误；
（3）含有绝对值符号的数的化简常与含括号的数的化简混淆.
规律总结：在比较两个数的大小时，应先分清数的性质符号，遇到比较复杂的数比较大小时，应先化简，再比较大小。

知识点六:有理数的混合运算
（一）有理数的加法：
1、有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相乘；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两个数相加，和为0；
（4）一个数同0相加，仍得这个数。

注意：进行加法运算时，先确定和的符号，再确定和的绝对值。

2、运算律:
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；
用字母表示为：a＋b＝b＋a
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；
用字母表示为：a＋b＋c＝﹙a＋b﹚＋c＝a＋﹙b＋c﹚＝﹙a＋c﹚＋b
误区警示：（1）忘记确定符号，只是计算了绝对值；
（2）混淆了同号两数绝对值求和，异号两数绝对值求差的不同情况。

规律总结：有理数加法运算的一般步骤是：
（1）首先观察是同号相加还是异号相加，有没有0；
（2）确定用哪条法则；
（3）求出结果。

小技巧：在运用运算律时，一般要根据需要灵活运用，已达到简化的目的，通常有以下规律：（1）、互为相反数的两数先相加——“相反数结合法”
（2）、符号相同的数先相加——“同号结合法”
（3）、分母相同的先先相加——“同分母结合法”
（4）、几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”
（5）、整数与整数，小数与小数相加——“同形结合法”
(二)、有理数的减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。

a-b=a+(-b)
符号初判断：小－大＜0 大－小＞0
0减去一个数，等于这个数的相反数。

(三)、有理数的乘法
1、有理数的乘法法则：
（1）两个数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；
（2）积的符号由负因数的个数绝定。

（2）几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
（3）互为倒数的两数相乘，积为1；
（4）任何数与0相乘，都得0。

运用乘法法则时，先确定积的符号，再把绝对值相乘。

2、运算律:
（1）乘法交换律（用字母表示）：a×b×c＝a×c×b；
（2）乘法结合律（用字母表示）：a×b×c＝a×(b×c)；
（3）乘法分配律（用字母表示）：a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。

误区警示：
（1）在进行有理数乘法运算时，常出现符号问题；
（2）错把带分数整数部分与分数部分看成相乘关系。

规律总结：有理数乘法运算的一般步骤：在计算时先看乘数中是否有0，再确定符号，最后确定绝对值。

(四)、有理数的除法
1、有理数的除法法则：
（1）两个数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除（对于能直接整除的）。

（2）除以一个数，等于乘以这个数的倒数（不能整除和小数、分数）。

（3）0除以任何数的0（0不能做除数）。

2、分数的化简:
(五)、有理数的乘方
1、理数乘方的符号规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。

2、注意事项：
（1）、有理数乘方运算的步骤：①确定幂的符号;②确定幂的绝对值.
（2）、应注意：①分清底数；②分数、负数为底数时应加括号;③计算准确。

3、总结的规律:“一看底数，二看指数”
（1）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）底数绝对值为10的幂的特点：1后面0的个数与指数相同。

（3）底数绝对值为0.1的幂的特点：1前面0的个数与指数相同（包括小数点前的1个零)。

（六）、混合运算
（1）先算乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

无论进行何种运算，我们都应该先定符号，再计算结果。

知识点七：科学记数法
1、概念：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。

①、1≤|a|＜10n，a的整数位只有一位。

②、负数也可以用科学计数法表示，“—”照写，其余与正数一样。

把一个数（绝对值大于10的数）写成科学记数法形式的思路为:
③、通常确定n有两种方法：
方法一：对于整数，利用整数的位数来求n，n等于原数的整数位减1。

方法二：看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n就等于几（注意小数点的位置）。

2、将形如a×10n形式的数转化为一般的数？
①、还原思想：
将用科学记数法表示的a×10n形式的数写成原数时，10n=1 000…0 （1后接n个0）
即：a×10n =a×1 000…0 （即为计算一个数乘以乘方的思想）
n个0
②、还原的技巧
（1）、根据10的指数n来确定，n是几，就是把小数点向右移动几位。

（若向右移动的位数不够，用0补上）
（2）、把科学记数法ax10n中的指数n加上1，就得到了原数的整数位数。

知识点八：近似数
1、相关概念：
准确数——与实际完全符合的数
近似数——与实际非常接近的数
误差=近似值-准确值
精确度－－表示一个近似数近似的程度
近似数与准确数的接近程度，就用精确度来表示。

2、有效数字：从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

3、对于求a×10n形式数的有效数字，相当于求a的有效数字，但精确到哪位，必须将其还原成原数，看有效数字最左边的数是哪位，就精确到哪位。

4、解题思路:
确定有效数字一定要先弄清该数字的起始位置和终止位置。

对于用科学记数法表示（或者含有单位）的数，它的有效数字就是乘号（或者单位）前面的数字。