南阳市年高二下期中质量评估数学试题(理)有答案

2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案
一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230
2322
2
m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=2
1221m m m m 且或， 即2
1
-
=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，
28i 8i(34i)3224
i 52i 34i 252525
z z ---===--+++ ………（10分）
18. 解：(Ⅰ)由()22(x f x e x x R =-+∈）得()2x
f x e '=-，………（2分）
令()20x
f x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）
当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22x
g x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22x
g x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分） 而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即2
21x
e x x >-+.………（12分）
19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）
（2
00,x x ， 22
1PQ
a x k a x --=
-，又0
02PQ x x k y x ='==，所以22
00
12a x x a x --=-
解得01x a =+或01x a =-.
所求切线方程为2
2(1)(1)y a x a =---或2
2(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝
2
2
12(1)(1)a
a x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+1
22
22(+1)(+1)=3
a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝2
3，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）
20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得
()()12311n n a a a a g n a -+++
+=-对2n ≥的一切自然数都成立，则
当n=2时有，()()1221a g a =-，又
()121
1,1,222
a a g ==+∴=即22k
b +=……①.
当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又
123111
1,1,1,223
a a a ==+=++
()33g ∴=，即33k b +=……②，
由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得
()()12311k k a a a a g k a -+++
+=-对2k ≥的一切自然数都成立，则
当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -+++
+=+++
+
()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）
又
111
111123
11k k a a k k k +=+
+++
+=+++，111
k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛
⎫∴+++
+=+--=+- ⎪+⎝⎭
，
∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）
由（1）（2）知，对一切n ，（2,
n n N *≥∈）有()g n n =，使得
()()12311n n a a a a g n a -+++
+=-都成立.…………………………（12分）
21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，
假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a
而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分） （Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033
123=---c x x x ，∴3
2133
c x x x =
--， 设c x G x x x x F =--=)(,33
1
)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：
.
当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=3
5
；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=3
20
-
. ………………………（10分） 如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以3
5
320<<-
c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，
所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+， 所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1
x x x k x +<-对任意2
x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x x
g x x +=
-，则()()
2
ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()
2
ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x
-=-
=>， 所以函数()h x 在()
2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）
所以()()2
2
40h x h e e >=->，可得()'0g x >
故函数()ln 1
x x x
g x x +=
-在()2,e +∞上单调递增.
所以()()()22
2
233
33,411
e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤
故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。