2019太原市二模理科数学参考答案

太原市2019年高三年级数学（理）模拟试题（二）参考答案
一.选择题：D A C D B C B A A B D B 二.填空题: 13.25
14.61
4-π 15.)12(3+ 16.1
三.解答题:
17解：（Ⅰ）当1=n 时，11112(1)(2)2S a a a =-+=，
10a >，12a ∴=，………2分
当2≥n 时，11122()(1)(2)(1)(2)n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+--+，
11()(1)0n n n n a a a a --∴+--=，0n a >，110n n a a -∴--=，11n n a a -∴-=，………4分
{}n a ∴是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列，*1()n a n n N ∴=+∈；………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1n a n =+，3(21)(1)n n n b n n -∴=
+131n n +=+3n
n
-， …………8分 ∴121n n n T b b b b -=++
++232113333333(3)()()()23211n n n n n n n n -+=-+-++-
+--+1
331
n n +=-+， 2111333(21)
021(1)(2)
n n n n n n T T n n n n +++++-=-=>++++，{}n T ∴是递增数列，
193
322
n T T ∴≥=
-=. …………12分 18.(Ⅰ)证明: 设F 是PD 的中点，连接EF 、CF ，
E 是PA 的中点，//E
F AD ∴，1
2
EF AD =
， //AD BC ，2AD BC =，//EF BC ∴，EF BC =，
BCFE ∴是平行四边形，//BE CF ∴
，…………2分 //AD BC ，AB AD ⊥，90ABC BAD ∴∠=∠=︒， AB BC =，45CAD ∴∠=︒，AC =
由余弦定理得222
2cos 2CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=，
2224AC CD AD ∴+==，AC CD ∴⊥，
PD AC ⊥，
AC ∴⊥平面PCD ，AC CF ∴⊥，…………5分
AC BE ∴⊥；…………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得AC ⊥平面PCD ，CD =
∴平面ABCD ⊥平面PCD ，
过点P 作PO CD ⊥，垂足为O ，OP ∴⊥平面ABCD ，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，
D
则2
P
，(2D -
，2B -，)46
,22,42(-E )2
6
,22,
2(-=∴BP ,………8分 设),,(z y x m =是平面BDE 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BD m ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+-=+-∴,
0464
23,022223z x y x 令1x =，则⎩⎨
⎧==,
3,3z
y m ∴=， ………10分
1326
|
|||,cos =>=
<∴BP m BP m , ∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为
13
26
.………12分 19.解：（1）由题意得ξ的所有取值为a 9.0,a ,a 5.1,a 5.2,a 4，其分布列为
η的所有取值为0,
…………6分
（2）由（1）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为
a a a a a a E 035.101.0403.05.206.05.12.07.09.0)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ，
该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为
a a a a a E 945.001.05.503.0506.042.05.27.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=η，…………10分
∴该公司此险种的总收益为a a a 9)945.0035.1(100=-⨯，
9009≥∴a ，100≥∴a ，∴基本保费为a 的最小值为100元. …………12分
20解：（Ⅰ）由题意可得(0,)2
p
F ,
①当0k ≠时，设直线:2
p
l y kx =+
,点B A ,的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ， 由2,22p y kx x py
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
得2220x pkx p --=，122
122,,x x pk x x p +=⎧∴⎨=-⎩ …………1分
过点A 的切线方程为111()x y y x x p -=-，即2
112x x y x p p
=-，
过点B 的切线方程为2222x x y x p p
=-， 由2
11222
,22x x y x p p
x x y x p p ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得1212,2,22x x x pk x x p y p +⎧
==⎪⎪⎨⎪==-⎪
⎩ (,)2p M pk ∴-， …………4分 221FM AB p p
k k k pk
-
-
⋅=
⋅=-，FM AB ∴⊥； …………5分 ②当0k
=时，则直线:2p l y =，(0,)2
p
M -，FM AB ∴⊥；…………6分
（Ⅱ）①当0k
≠时，设直线:l y kx m =+,点B A ,的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ，
由2,2y kx m x py =+⎧⎨=⎩
得2
220x pkx pm --=，12122,2,x x pk x x pm +=⎧∴⎨=-⎩ …………8分
过点A 的切线方程为1
11()x y y x x p -=-，即2112x x y x p p =-， 过点B 的切线方程为2
222x x y x p p
=-， 由2
11222
,2
2
x x y x p x x y x p ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得12122,22,2x x x pk x x y m p p +⎧
===⎪⎪⎨⎪==-=-⎪⎩2,2,pk m p =⎧∴⎨=⎩222
4160p k p ∆=+>, …10分
12||||AB x x ∴=-=
=
== 1p ∴=或2p =，∴抛物线C 的方程为22x y =或24x y =.…………12分
21.(Ⅰ) 解: 由题意得a x e x f x
-++='1
1
)(，1->x ， 令a x e x f x g x
-++
='=11)()(，1->x ，则2
)
1(1
)(+-='x e x g x ，
令2)1(1)()(+-
='=x e x g x h x ，1->x ，则0)1(2)(3
>++='x e x h x
，
)(x h ∴在),1(+∞-上递增，且0)0(=h ，
当)01(，-∈x 时，0)()(<='x h x g ，)(x g 递减； 当),0(+∞∈x 时，0)()(>='x h x g ，)(x g 递增，
()(0)2g x g a ∴≥=-，…………2分
①当2≤a 时，02)0()()(≥-=>='a g x g x f ，)(x f 在),1(+∞-递增，此时无极值； ②当2>a 时，
1
11(1)0a
g e a --=>，(0)20g a =-<，11(1,0)x a
∴∃∈-，1()0g x =，
当1(1,)x x ∈-时，()()0g x f x '=>，()f x 递增；当1(,0)x x ∈时，()()0g x f x '=<，)(x g 递减，1x x ∴=是()f x 的极大值；
1
(ln )01ln g a a
=
>+，(0)20g a =-<，2(0,ln )x a ∴∃∈，2()0g x =，
当2(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()f x 递减；当2(,)x x ∈+∞时，()()0g x f x '=>，()f x 递增，2x x ∴=是()f x 的极小值； 综上所述，(2,)a ∈+∞；…………6分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)得(2,)a ∈+∞，
121
10ln x x a a
-<<<<，且1()g x 2()0g x ==， 210x x ∴->，
11
11x a <+<，2111ln x a <+<+，212112(1)(1)
x x x x e e x x --=
++， 121
0(1)(1)
a x x ∴
-<++，22111(1ln )1x a a a x +<<+<+，…………10分
21()()f x f x ∴-2122111
ln
()1
x x
x e e a x x x +=-+--+ 21()x x =-121
[]
(1)(1)
a x x -++211ln 1x x +++2ln 2ln a a <=. …………12分 22解：（Ⅰ）设(,)P x y ，(,)M x y ''，
2OP OM =，1
,21,2
x x y y ⎧'=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩…………2分
点M 在曲线1C 上，2cos ,
1sin ,x y ϕϕ'=+⎧∴⎨'=+⎩
∴曲线1C 的普通方程为22(2)(1)1x y ''-+-=，
∴曲线2C 的普通方程为22(4)(2)4x y -+-=；…………5分
（Ⅱ）由cos ,
sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩得曲线1C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ--+=，
曲线2C 的极坐标方程为28cos 4sin 160ρρθρθ--+=， …………7分
由24cos 2sin 40,4ρρθρθπθ⎧--+=⎪
⎨=
⎪⎩
得4ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或,4
ρπ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
(4A π∴
或(,4
π
， 由28cos 4sin 160,4ρρθρθπθ⎧--+=⎪
⎨=
⎪⎩
得4ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或,4
ρπ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
(,4B π∴
或(,4
π
， ||AB ∴
的最大值为……………10分
23解：（Ⅰ）当12a =
时，原不等式为1
|2||1|12
x x --+≥， 1,1
211,2x x x <-⎧⎪∴⎨-+++≥⎪⎩或11,41211,2
x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-+--≥⎪⎩或1,41211,2x x x ⎧
>⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩…………3分 1x ∴<-或112x -≤≤-或5
2
x ≥，
∴原不等式的解集为15
(,][,)22
-∞-+∞，…………5分
（Ⅱ）由题意得min min ()(|3||2|)f x k k ≤+--，…………7分
3,2,()3,2,23,,2
x a x a a f x x a a x a x a x ⎧
⎪-+<-⎪
⎪
=---≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩min 5()()22a f x f a ∴==-，
5|(3)(2)|k k -=-+--|3||2|k k ≤+--, min (|3||2|)5k k ∴+--=-， 5
52
a ∴-≤-，2a ∴≥，∴a 的取值范围[2,)+∞. …………10分。