人教A版高中数学选修2-1《1.2充分条件与必要条件》课件
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反思与感悟
探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条 件⇒结论”和“结论⇒条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先 寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)2+t(t为常数),试问t=-1 是否为数列{an}是等差数列的充要条件?请说明理由. 解答
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”,“好人”是“有好报”的
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
答案 解析
结合该俗语的文化背景,易得选项A符合人们的认识实际.
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求 例3 求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是什么? 解答
(5)p:ab≠0,q:直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交. 解答
由ab≠0,即a≠0且b≠0,此时直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交;又 当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时,a≠0且b≠0,即ab≠0,故p是q的 充要条件.
反思与感悟
判断充分条件和必要条件的方法:一、定义法;二、等价命题法,原命 题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题,这一点在充要条件的判断 中经常用到;三、集合法,P是Q的充分不必要条件⇔集合P Q,P是Q 的必要不充分条件⇔集合P Q,P是Q的充要条件⇔集合P=Q,P是Q 的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q,且P⊉Q;四、传递法,对于较复 杂的关系,常用⇒,⇐,⇏等符号进行传递,画出它们的综合结构图, 可降低4 已知 A,B 是直线 l 上的任意两点,O 是直线 l 外一点,求证:点 P 在直线 l 上的充要条件是O→P=xO→A+yO→B,其中 x,y∈R,且 x+y=1.
第一章 常用逻辑用语
§1.2 充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 充分条件与必要条件
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
(3)p:x=1 或 x=2,q:x-1= x-1; 解答
∵x=1 或 x=2⇒x-1= x-1; x-1= x-1⇒x=1 或 x=2,∴p 是 q 的充要条件.
(4)p:m<-1,q:x2-x-m=0无实根; 解答
若方程x2-x-m=0无实根,则Δ=1+4m<0, 即 m<-14.∵m<-1⇒m<-14;m<-14⇏m<-1, ∴p是q的充分不必要条件.
跟踪训练1 指出下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:ax2+ax+1>0的解集是R,q:0<a<4; 解答
当a=0时,1>0满足题意; 当 a≠0 时,由Δa>=0,a2-4a<0, 可得 0<a<4. 故p是q的必要不充分条件.
(2)p:|x-2|<3,q:x-6 5<-1; 解答 易知p:-1<x<5,q:-1<x<5, 所以p是q的充要条件. (3)p:A∪B=A,q:A∩B=B; 解答 因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件.
知识点二 充要条件
思考
在△ABC中,角A、B、C为它的三个内角,则“A、B、C成等 差数列”是“B=60°”的什么条件? 答案
因为A、B、C成等差数列,故2B=A+C,又因为A+B+C= 180°,故B=60°,反之,亦成立,故“A、B、C成等差数列” 是“B=60°”的充分必要条件.
梳理
(1)一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p 是q的 充分必要 条件,简称充要条件. (2)充要条件的实质是原命题“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”均为 真命题,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p⇔q, 那么p与q互为充要条件.
(4)p:αβ>>22,,
α+β>4, q:
αβ>4.
解答
由αβ>>22,, 根据同向不等式相加、相乘的性质,
有ααβ+>β4>,4,
α+β>4, 即 p⇒q.但
αβ>4
⇏αβ>>22,,
比如,当 α=1,β=5 时,αα+ β=β= 5>64>,4, 而 α<2,
所以q⇏p,所以p是q的充分不必要条件.
题型探究
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断 例1 下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:a+b=0,q:a2+b2=0; 解答
∵a+b=0⇏a2+b2=0; a2+b2=0⇒a+b=0, ∴p是q的必要不充分条件.
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形; 解答 ∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形; 四边形是矩形⇒四边形的对角线相等, ∴p是q的必要不充分条件.
命题角度2 在实际问题中的判断 例2 如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件?
解答
反思与感悟
“充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”.用 日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系,更容易理解 和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象,更加明 白、透彻.
思考
用恰当的语言表述下列语句的意义. ①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后; 答案 如果不骄傲自满,那就可能不落后,也可能落后,骄傲自满是 落后的充分条件. ②只有同心协力,才能把事情办好. 答案 同心协力是办好事情的必要条件.
梳理
(1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时, 我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的 充分 条件,q是p的_必__要__ 条件. (2)若p⇒q,但q⇏p,称p是q的充分而不必要条件,若q⇒p,但p⇏q,称p是 q的 必要而不充分条件.