北京市第四中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷(理)(答案+解析)

北京市第四中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷（理）一、选择题
1．设函数的定义域为，函数的值域为，则（）A．B．C．D．
2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为（）
A．B．C．D．
3．函数（）的大致图象是（）
A．B．C．D．
4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是（）
A．? B．? C．? D．?
5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为（）
A．B．
C．D．
6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）
A．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题
B．否命题为：若，则，都小于1，为假命题
C．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题
D．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是（）
A．B．
C．D．
8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）
A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6
二、填空题
9．i为虚数单位，计算_______________。

10．.
11．命题“，使得成立”的否定是____________。

12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．
13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；
②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是
_____________。

三、解答题
15．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，
(1)当m＝3时，求A∩ ∁R B)；
(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．
16．已知的三个内角分别为A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若求的面积S.
17．已知函数。

（I）求的最小正周期；
（II）当时，求函数的单调递减区间。

18．已知实数，函数(x∈R).
(1) 求函数的单调区间；
(2) 若函数有极大值32，求实数a的值.
19．已知函数。

（I）当时，证明：当时，；
（II）若当时，恒成立，求a的取值范围。

20．已知函数（，，），是自然对数的底数．（Ⅰ）当，时，求函数的零点个数；
（Ⅱ）若，求在上的最大值．
【参考答案】
1．B
【解析】首先求得集合M和集合P，然后求解其交集即可.
求解函数的定义域可得，
求解函数的值域可得，
则.
本题选择B选项.
2．A
【解析】分别考查函数的奇偶性和函数的单调性即可求得最终结果.
逐一考查所给的函数的性质：
A.，函数为偶函数，在区间上单调递减；
B.，函数为非奇非偶函数，在区间上单调递增；
C.，函数为奇函数，在区间上单调递减；
D.，函数为偶函数，在区间上单调递增；
据此可得满足题意的函数只有A选项.
本题选择A选项.
3．C
【解析】因为时，所以不选A;因为函数为偶函数，所以不选D；因为时，所以选C.
4．C
【解析】第一次循环，，不满足条件，循环。

第二次循环，，不满足条件，循环。

第三次循环，，不满足条件，循环。

第四次循环，
，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是，选C
5．B
【解析】由图象可知，，
∴.
∵，
∴，
∴.
本题选择B选项.
6．D
【解析】原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，
逆命题：“，为两个实数，若，中至少有一个不小于1，则，”
否命题：“，为两个实数，若，则，中都小于1”
逆否命题：“若，都小于1，则，为真命题”.
逆否命题显然为正，故原命题也为真；
当，，则不成立，即逆命题为假命题.
所以“”是“，中至少有一个不小于1”充分不必要条件.
故选D.
7．A
【解析】时，，时，，所以，A正确．故选A．
8. B
【解析】由已知，，令，解得或，则函数在，和，上单调递增，在，上单调递减，极大值，最小值.
综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：
（1）当或时，有唯一实根；
（2）当时，有三个实根；
（3）当或时，有两个实根；
（4）当时，无实根.
令，则由，得，
当时，由，
符号情况（1），此时原方程有1个根，
由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；
当时，由，又，
符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，
由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，
综上得共1个或3个根.
综上所述，的值为1或3.故选B.
9．
【解析】由复数的运算法则计算即可.
由复数的运算法则可得：.
10．
【解析】.
11．都有成立；
【解析】特称命题的否定为全称命题，
则命题“使得成立”的否定是“都有成立”.
12．
【解析】直线方程转化为直角坐标方程即：，
坐标原点到直线的距离：，
即的最小值为.
13．，.
【解析】，若：
，当且仅当时，等号成立；若：
，当且仅当时，等号成立，故可知．14．①②
【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数与至少有两个不同的交点，在交点所构成的区间内具有连续性，在交点所确定的区间之内单调递增或单调递减，
很明显①②满足题意，
函数与相切，
函数与没有交点，
综上可得所有“局部稳定函数”的序号是①②.
15．解：由≥1，得≤0，∴－1<x≤5，
∴A＝{x|－1<x≤5}．
(1)m＝3时，B＝{x|－1<x<3}．
则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，
∴A∩ ∁R B)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，
∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8，
此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8
16．解：（I）∵，
∴，
∴，
又∵为三角形内角，
∴，
∴，而为三角形内角，
∴，
综上所述，的度数为．
（II）由余弦定理，
，，，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
综上所述，的面积为．
17．解：(Ⅰ)333
，的最小正周期为.
(Ⅱ)当时，函数）单调递减,
即的递减区间为：,
由=,
所以的递减区间为：.
18．解：(1)∵f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，
∴f′ x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．
令f′ x)＝0，得x＝或x＝2.
当a>0时，函数f(x)的单调增区间是，(2，＋∞ ；单调减区间是.
当a<0时，函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是，(2，＋∞ .
(2)∵f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，而
∴当x＝时，f(x)取得极大值32，即a2＝32，∴a＝27.
当a＝27时，由(1)知，f（x）在增，在递减，符合题设.
19．解：（1），当a=0时，，
当x≥0时，，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，
又因为f(0)=0，f(x ≥f(0)=0.
（2），记，
①当时，x≥0时，，
∴y=g(x)在x≥0时单调递增，
g(x ≥g(0)=0，即f＇(x ≥f＇(0)，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，f(x ≥f(0)=0.
②当时，令，得，
当时，，
∴在单调递减，∴g(x ≤g(0)=0，即f＇(x ≤f＇(0)=0，
在单调递减，
∴f(x)＜f(0)=0，与题设矛盾．
综上所述，．
20．解：（Ⅰ），∴，∴，
当时，，∴，故是上的增函数，
当时，，∴，故是上的减函数，
，，∴存在是在上的唯一零点；
，，∴存在是在上的唯一零点，
所以的零点个数为2．
（Ⅱ），
当时，由，可知，，∴，
当时，由，可知，，∴，
当时，，
∴是上的减函数，上的增函数，
∴当时，，为和中的较大者．
而，设（），
∵（当且仅当时等号成立），
∴在上单调递增，而，
∴当时，，即时，，∴．
∴在上的最大值为.。