拉普拉斯变换

s +1− j s +1+ j s +3 2+ j C1 = lim (s +1− j) = s→−1+ j (s +1− j)(s +1+ j) 2 j s +3 2− j C2 = lim (s +1+ j) =− s→−1− j 2j (s +1− j)(s +1+ j) 故原函数为 2 + j (−1+ j)t 2 − j (−1− j)t 1 −t f (t) = e − e = e [(2 + j)e jt − (2 − j)e− jt ] 2j 2j 2j 1 −t = e [2cost + 4sint] j = e−t (cost + 2sint) 2j
• 上式中Cm+1、Cm+2、…、Cn为单根部分分式待定系数， 可按照相应公式计算。而重根待定系数C1、C2、…、 Cm则按下式计算：
m C m = lim s − s i） F ( s ) （ s → s1
d C m −1 = lim [( s − s i ) m F ( s )] s → s1 ds 1 d ( m −1 ) C1 = lim [( s − s i ) m F ( s )] ( m − 1)! s → s1 ds ( m −1 )
• 将这些待定系数求出后代入F(s)式,取反变换即可 求f(t):
Cm Cm−1 C 1 f（） L [ t = + +⋯+ m m−1 （ −s1） （ −s1） s s s −s1
−1
Cm+1 Cn + +⋯+ ] s −sm+1 s −sn Cm m−1 Cm−1 m−2 sit s1t =[ t + t +⋯+C2t +C ]e + ∑Cie 1 （ −1 m ）！ （ −2 m ）！ i=m+1
s+2 F （ s） 1 + 2 = s + 4s + 3
−1 −1 −1
• 后一项为例1的示例，故原函数为
s+2 f (t ) = L [F (s)] = L [1] + L [ 2 ] s + 4s + 3 1 −t 1 −3t = δ (t ) + e 解1：求分母多项式的根为s1=-1+j，s2=-1-j • 于是 F(s) = C1 + C2
第二讲 拉普拉斯变换
拉氏变换简介
• 拉普拉斯变换简称拉氏变换，是求解线性 微分方程的简捷方法。由于采用这一方法， 能把系统的动态数学模型很方便地转换为 系统的传递函数，由此发展出用传递函数 的零点和极点分布、频率特性等间接分析 方法和设计系统的工程方法。
一、拉氏变换的定义
• 函数f（t），t为实变量，如果线性积分 ∞ f （ t ） − st dt （ｓ=σ+ｊω为复变量）存在, e ∫0 则称其为函数f（t）的拉氏变换。变换后的函数 是复变量s的函数，记作F（s）或L[f（t）]，即
m −1 1 0 = mn A（s） s + an −1s n −1 + ⋯ + a1s + a0
• (1)A(s)=0无重根。 • 这时可将F(s)换写为n个部分分式之和，每个分式的 分母都是A(s)的一个因式,即
n C1 C2 Cn Ci F（s） = + +⋯+ =∑ s − s1 s − s2 s − sn i =1 s − si
L [ f （ t ） = F （ s ）= ]
∫
∞
• 称F（s）为f（t）的变换函数或像函数，而f（t） 为F（s）的原函数。 1 σ + j∞ −1 L [ F （ s ） = f（ t） = F （ s ） e st ds ] • 其逆运算 2πj ∫σ − j∞ • 称为F（s）的拉氏反变换
• 式中f(-1)(0)、f(-2)(0)、…f(-n)(0)为函数f(t)的各 重积分在t=0时的值。如果f(-1）(0)=f(-2）(0)=…f(n)(0)=0时,则有
F (s) L[ ∫ ... ∫ f ( t ) dt ] = n s
n
• (4)终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s),且F(s) 在s右半平面及除原点外的虚抽上解析,则有终值 f（ ∞ ） lim f（ t） lim sF （ s ） = = • 应用终值定理时，要留意上述条件是否满足。例 如f（t）=sinωt时，在jω轴上有±jω两个极点，且 lim f（t） 不存在，因此终值定理不能使用。 t →∞ • (5)初值定理：如果f(t)及其一阶导数是可以拉氏变 换的,并且 lim sF（s） 存在,则 s →∞
−1
则
= e −t cos t + 2e −t sin t = e −t (cos t + 2 sin t )
• （2）A(s)=0有重根。 • 设S1为m阶重根，sm+1、sm+2、…、sn为单根。则 F(s)可展开成如下部分分式之和:
Cm Cm−1 Cm+1 Cn C1 F ( s) = + +⋯+ + +⋯+ m m −1 1 (s − s1 ) (s − s1 ) (s − s1 ) s − sm+1 s − sn
t→∞ s→0
f（0） lim f（ t） lim sF （ s） = =
t→0 s→∞
• • • •
(6)迟延定理：设F(s)=L[f(t)],则有 L[f(t-a) ︱(t-a)]=e-asF(s) a≥0 L[e-atf(t)]=F(s+a) 上式说明实函数f(t)向右平移一个迟延时间ζ后,相 当于复域中F(s)乘以e-ζs的因子。实数域函数f(t)乘 以e-as所得到的衰减函数e-asf(t)，相当于复数域向 左平移的F(s+a)。 • (7)时标变换：用模拟和对实际系统进行仿真时， 常需要将时间的标尺扩展或缩小为(t/a),以使得曲 线清晰或节省观察时间。这里a是一个正数。可得 到：
1/[s-（1/T）ｌｎa] z/(z-a)
(b-a)/[(s+a)(s+b)] z/(z-e-aT)- z/(z-e-bT)
三 拉普拉斯变换的性质和定理
• (1)线性性质：拉氏变换也像一般线性函数那样具有齐次 性和叠加性.若f1(t)和f2(t)的拉氏变换分别为F1(s)和F2(s), 则有 L[af1(t)±bf2(t)]=aF1(s) ±bF2(s) • (2)微分定理：设F (s)=L[f (t)],则有
• 代入F(s)：
1 1 3 1 21 1 1 F (s) = − − + + 2 2 ( s + 1) 4 s + 1 3 s 12 s + 3 进行反变换： 1 − t 3 − t 2 1 − 3t f ( t ) = − te − e + + e 2 4 3 12 化简 , 则有： 2 1 − 3t 1 3 −t f (t ) = + e − (t + ) e 3 12 2 2
• 如果确定了每个部分分式中的待定常数Ci，则由拉 氏变换表即可查得F(s)的反变换。
L [ F （ s ） = f （ t ）= L [ ∑ ]
−1 −1 n i =1
Ci ]= s − si
∑
n
i =1
C i e sit
• Ci可按下式求得，即 • 或
C
i
=
B （ s） A ′（ s ）
s = s
n
• 例4 求F(s)的原函数f(t), • 解：将F(s)表示为
F ( s) =
s+2 s ( s + 1) 2 ( s + 3)
C2 C1 C3 C4 + + + F ( s) = 2 ( s + 1) s + 1 s s + 3 s+2 1 2 =− C2 = lim ( s + 1) 2 s →−1 s( s + 1) ( s + 3) 2 d s+2 3 2 C1 = lim [(s + 1) ]=− 2 s →−1 ds s( s + 1) ( s + 3) 4 s+2 2 C3 = lim s = 2 s →0 s ( s + 1) ( s + 3) 3 s+2 1 C4 = lim ( s + 3) = 2 s →−3 s( s + 1) ( s + 3) 12
i
C
i
= lim（ s − s i） F （ s ）
s → si
• 例1 求F(s)= 的反变换。 • 解：对F(s)进行部分分式分解,得
F （ s）= C C
1
s+2 s 2 + 4s + 3
2
s + 2 1 = lim （ s + 1 ） = s → − 1 （ s + 1 ）（ s + 3） 2 s + 2 1 = lim （ s + 3 ） = s → − 3 2 （ s + 1 ）（ s + 3）
• F（s）通常是复变量s的有理分式函数，即分母 多项式的阶次高于分子多项式的阶次。F（s） 的一般形式为 B（s） b s m + b s m −1 + ⋯ + b s + b
F（s） =
• 式中，a0、a1、…、an-1及b0、b1、…、bm均为实 数，m、n为正数，且m<n。 • 首先将F（s）的分母多项式A（s）进行因式分解， 即写为 • A（s）=（s-s1）（s-s2）…（s-sn） • 式中，s0、s1、…sn为A（s）=0的根。
求F(s) =
s +3 的原函数。 2 s + 2s + 2
• 解2：
s+3 s +1 2 = F (s) = + 2 2 2 ( s + 1) + 1 ( s + 1) + 1 ( s + 1) + 1 2 s +1 −1 f (t ) = L [ ]+ L [ ] 2 2 ( s + 1) + 1 ( s + 1) + 1
0
f （ t ） e − st dt
二、拉氏变换表
f(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 δ(t-Nt) δ(t) 1(t) t t2/2 at/T e-at te-at e-at-e-bt 1-e-at sinωt cosωt e-at sinωt e-at cosωt F(s) e-nsT 1 1/s 1/s2 1/s3 1/（s+ a） 1/（ s+ a）2 a/[s(s+a)] ω/[s2+ω2] s/[s2+ω2] ω/[(s+a)2+ω2] (s+a)/[s2+ω2] F(z) Z-n 1 z/(z-1) Tz/(z-1)2 T2z(z+1)/[2(z-1)3] z/(z-e-aT) Tze-aT Z（1-e-aT）/[(z-1)(z-e-aT)] zsinωT/(z2-2zcosωT+1 ) z(z-cosωT) /(z2-2zcosωT+1) ze-aT sinωT/(z2-2ze-aTcosωT+e-2aT ) (z2-ze-aTcosωT)/(z2-2ze-aTcosωT+e2aT)
• 式中f(0)、f′(0)、f(n-1)(0)为函数f(t)及其各阶导数在 t=0时的值.当f(0)=f′(0)=…f(n-1)(0)=0时,则有
d L[ dt
n n
f（ t） = s n F （ s ） ]
• (3)积分定理：设F(s)=L[f(t)]，则有 •
F（s） 1 （−1） L[ ∫ f（t）dt ] = + f （0） s s F（s） 1 （−1） 1 （− 2） 2 L[ ∫∫ f（t）dt ] = + 2 f （0） f （0） + 2 s s s F ( s ) 1 ( −1) 1 (−n) n L[ ∫ ...∫ f (t )dt ] = n + n f (0) + ... + f (0) s s s
d L[ f（ t） = sF （ s ） f（0） ] − dt d2 L[ 2 f（ t） = s 2 F （ s ） sf （0） f （0） ] − − ′ dt n dn 1） 推理可得： L[ n f （ t ） = s n F （ s ） ∑ s n − k f（ k −（0） ] − dt k =1
t L[ f（ ） = aF （ as ） ] a
四 拉氏反变换
• 拉氏反变换
1 σ + j∞ L [ F （ s） = f（ t） ] = F（s）st ds e ∫σ − j∞ 2πj
−1
• 这是复变函数积分，一般很难直接计算。故由F （s）求f（t）常用部分分式法。该法是将F（s） 分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉 氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求 的原函数f（t）。
C 1 C 2 + s + 3 s + 1
所以 1 / 2 1 / 2 F （ s）= + s + 1 s + 3 进行反变换，求得原函 1 1 − t f（ t）= e + e −3t 2 2
数
s 2 + 5s + 5 • 例2 求F(s)= 2 的反变换。 s + 4s + 3
• 解：所给F(s)的分子、分母同阶，故必须先分解为