数学建模 水电站发电的优化模型

水电站发电的优化模型
摘 要
本文主要围绕水电站管理运营的最佳方案展开讨论，基于题目附录所给数据，建立了相应发电计划，通过优化求解模型和移动平均法分析预测解决了水电站的收益问题。

我们对问题1、3、4建立最优化模型进行求解，利用时间序列分析法的原则对问题2运用平均预测法进行求解。

问题一：在水库最大、最小蓄水量，水流量、发电效率、最大发电能力、电能的销售价格等因素的约束下，以水库发电收益最大为目标，建立线性规划最优化模型，利用MATLAB 软件计算求解甲电站三个月发电计划分别是9951.5万度、9778.2万度、10270万度；乙电站三个月发电计划分别是4781.7万度、6150.8万度、6917.5万度，最终得出最大收益为710902.7⨯（元）。

问题二：应实际的生产实践需求，为了更好的保障人民群众的安全，预测未来月流量，提前做好防洪防旱准备。

我们利用MATLAB 软件对题中所给的历史数据进行筛选得到每月份的30年月流量的原始数据，通过SPSS 软件对数据进行线性插值法来补全数据，然后根据1977年至2006年30年一月份干流的数据为例用移动平均法来预测2007年一月份干流的月流量，其余月份和各支流以同种方式进行预测。

具体预测月流量见模型二的求解。

问题三：考虑到当干流和支流1、支流2的总流量大于500万立方米时，水库A 、B 最大蓄水量都有所下降。

为保证不发生洪涝灾害的情况下水库达到最大储水量时自行放水，添加相应约束条件后，我们继续以水库发电收益最大为目标建立最优化模型，利用LINGO 软件得出最大收益为810395417.3⨯（元），具体发电计划见模型的求解。

问题四：首先对于检修与不检修引入0-1变量,其次建立在问题一和问题三的基础之上建立出相应的线性规划模型，通过LINGO 软件来求解，最后得出甲、乙两发电站均在1月份进行检修，则在2007年可发电站可达到最大的经济收益为 8106.3⨯（元）。

问题5，更换乙发电站的设备，试讨论更换设备的条件及方案。

通过假设，将问题简单化，对1977年至2006年30年数据进行分析，讨论在一年的前5个月份进行更换乙发电站的设备，以一整年的利润最大为目标函数，以储水的水量和最大发电量为约束条件，建立线性规划模型，进而求得最大利润。

关键字 发电站 优化模型 最大收益 线性规划 移动平均法
1 问题的重述
已知有两水库（A,B）及两个水电站（甲，乙），水库A在上游，有干流和支流（1,2）水流注了，水库B在水库A下游，有水电站甲和支流3水流注了，水电站乙在水库B下游（图见附录1.1）。

发电站甲可以将水库A的1万3m的水
转换为20万度电能，发电站乙由于设备比较陈旧，只能将1万3m的水转换为10
万度电能。

甲，乙两个发电站每月的最大发电能力分别是12000万度，8000万度。

每月最多有9000万度电能以2000元/万度的价格出售，超出的部分只能1200元/万度的价格出售（水库数据及干流和支流三个月的预测数据见附录1.2）。

1、根据上面的数据制定三个月的发电计划；
2、已知该河流的干流及三条支流从1977年到2006年三十年每月的流量数据，要求根据这些数据预测2007年干流及三条支流每月的流量；
3、如果某月干流、支流1和支流2的总流量大于500万立方米时，根据防洪需要，其前一个月水库A,B的最大储水量应该分别降低到2500和1600万立方米，从而根据预测值制定2007每月的发电计划；
4、如果发电机组每年都应该检修，检修时间可以在任意的一个月，检修的当月最大发电量会减少50%，但检修后每月最大发电量会增加10%，给出电站2007的检修计划；
5、发电站乙的设备比较陈旧了，如果更换设备就可以达到和甲一样的发电能力，试讨论更换设备的条件及方案。

2 问题的分析
水力发电是我国电力资源的主要来源之一，研究水利发电仍然具有长远的意义。

受气候、水流量、水库的储水量及设备工作效率等因素的影响，电能的产量是不定的，为达到利润的最大化，可建立相应的数学模型。

对于问题1，要使三个月的总利润最大化，应将三个月视为整体，利用水库的储水功能实现效益的最大化，此题可根据水库的最大、最小储水量和三个月的水流量，结合水库所发电的出售价格、发电站的发电效率，利用线性规划可求出最优方案。

对于问题2，由于月流量受季节影响较大，而同一地的气候一般情况下会在一定范围内波动，于是可依靠1977年—2006年间1—12月各月的月流量利用移动平均法估测2007年干流及三条支流月流量情况，
对于问题3，考虑到水库储水能力的限制，在水流量超出水库储存范围时可能引起洪灾，为了避免洪灾产生带来的毁害需对水流量做好提前的预测，以便及时采取措施，如果某月干流、支流1和支流2的总流量大于500万立方米时，根据防洪需要，其前一个月水库A,B的最大储水量应该分别降低到2500和1600万立方米，同样用线性规划的方法，根据我们的预测值我们建立了制定2007每月的发电计划的模型。

（水库相关数据见附录1.2）
对于问题4，由于发电机组每年都应该检修，检修时间可以在任意的一个月，检修的当月最大发电量会减少50%，但检修后每月最大发电量会增加10%，要给出电站2007的检修计划；利用0—1变量来区分发电站甲、乙在2007年哪月进
行检修.在问题三的基础上建立0—1整数规划模型,制定出发电站2007的检修计划的同时,使得2007年的售电总额达到最大.
对于问题5，题目没有给出更换设备带来的支出，考虑到更换设备之后所增发电量带来的收益会远大于更换设备的费用，所以不考虑设备更换的成本。

综合考虑更换设备时乙电站不能生产电能，更换设备后发电效率会上升。

在收益最大的背景下研究最合理的更换设备方案。

3模型的假设
（1）所有发电量均可当月售出；
（2）经过A 水库发电的水无任何损耗；
（3）无降雨蒸发等自然因素及人为因素的干扰； （4）发电机每年都检修且检修时间不超过本月；
（5）题目所给数据真实可靠，能有效反映水流量的规律。

4符号说明
i p 表示第i 月的利润；
i G 表示干流第i 月的月流量；
1i y 表示甲水库第i 月的放水量； 2i y 表示乙水库第i 月的放水量；
1i X 表示甲电站第i 月发电耗水量；
2i X 表示乙电站第i 月发电耗水量；
ij N 表示第i 月)3,2,1( j j 支流的月流量；
i a 表示第i 月干流及支流1、支流2的总月流量；
；检修检修，为1则表示i月为0表示甲电站i月不X i
；检修检修，为1则表示i月为0表示乙电站i月不i y
则表示更换设备；1月不更换设备，为表示甲电站0为i b i
则表示更换设备；1月不更换设备，为表示甲电站0为i e i
1i c 表示甲水库第i 月的储水量，其中01c 表示甲水库的初始储水量；
2i c 表示乙水库第i 月的储水量，其中02c 表示乙水库的初始储水量；
5模型的建立与求解
5.1问题一的解答：
5.1.1模型一的建立
发电计划的核心目标是使利润最大化，因水库具有储水功能，由问题分析三个月的发电计划应视为总体，又发电量受水流量、发电效率、发电能力、电能的出售价格和储水能力等因素的制约，显然此问题为线性规划问题，由题目所给出的数据我们分析得出每月的发电量均大于9000万度，综合上述因素我们得到：总利润为以1200元/万度为单价乘以三个月超出9000万度的电能之和加上2000元/万度乘以三个月的9000万度电能的模型。

根据题意可建立如下模型： 目标函数：
水库储水公式：
2
1i i i i N N G a ++=
.,21312211111i i i i i i i i i X X N c c X a c c -++=-+=--
水库储水约束：
.21001300,3000220021≤≤≤≤i i c c
发电站发电约束：
.800010,120002021≤≤i i X X
再结合实际情况知：
.0,021≥≥i i X X
其中a i 表示第i 月干流及支流1、支流2的总月流量，c i1表示甲水库第i 月的储
水量，c i2表示乙水库第i 月的储水量, X i1表示甲电站第i 月发电耗水量, X i2表示乙电站第i 月发电耗水量.
s ．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
≤---++++++≤≤-+-+-+≤≤---++++≤≤-+-+≤≤-++≤≤-+≤.
210050607514001300,3000230022002100607514001300300023002200,21007514001300,30002300220032222131211131321211122221221112121111211111X X X X X X X a X a X a X X X X X X a X a X X X a t
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥+≥≥≤≤.9001020,0,0,
800010,12000202121i i i i i i y X X X X X
5.1.2模型一的求解：
根据题中所给的数据，用MATLAB 软件（程序见附录2），求解效益最大的发电计划，得出最大收益为710902.7⨯元，发电计划见下表1：
表1：三个月的发电计划
单位：万度
本月发电量 下月发电量 第三月发电量
发电站甲 9951.5 9778.2 10270 发电站乙
4781.7
6150.8
6917.5
5.2问题二的解答：
5.2.1模型二的建立： 5.2.1.1模型二的准备:
通过对所给数据的分析，由于数据中缺失第16年和25年12月干流流量的未知数据，因此要对数据补全，在此之前我们把数据进行了筛选，得到了30年来干流12月份的数据，在这里我们对所筛选数据采用SPSS 软件对其进行线性插值法来补全数据。

求解得到结果第16年12月干流流量为110.52万立方米，第26年12月干流流量为65.24万立方米。

5.2.1.2模型二的建立：
通过查询资料可知，河流流量具有一定的变化趋势，所以我们把所给数据在补充完整后,将其导入SPSS 中,进行预测分析,可得到1977年至2006年的干流与
支流流量随时间的变化趋势图（见附录3.1），通过对图像分析了解干流和各支流的流量的变化趋势，在选择合理的数学模型计算，通过对1977年至2006年30年每月份的数据分析得月流量受周期变动的影响起伏较大，不易显现出发展趋势，因此我们采用移动平均法建立数学模型]3[：
预测的平均月流量公式： (1)
1
1^
∑+-=+=
t
n
t i i t y n
y ① 预测的标准差为： (1)
1
∑+-=-=
t
n
t i i y n
t s ②
5.2.2模型二的求解
根据1977年至2006年30年一月份干流的数据为例用移动平均法来预测2007年一月份干流的月流量：
表2：各个年份一月份干流原始数据（单位：万立方米）
分别取n=21,22,23,24,25,26,及上表2相关数据代入预测公式①, ② 计算，用MATLAB 软件（见附录3.2），计算结果见下表3：
表3：一月份干流
计算结果表明当n=23时预测的标准误差较小，进而选取n=23来预测2007年一月份的干流月流量为209.12万立方米。

2007年剩余月份的预测方法同上，预测结果见下表4：
表4 预测2007年每月的月流量（万立方米）
5.3问题三的解答：
5.3.1模型三的建立：
不排除意外情况的出现，如果某月干流、支流1和支流2的总流量大于500万立方米时，根据防洪需要，其前一个月水库A,B 的最大储水量应该分别降低到2500和1600万立方米，根据问题2 预测值的结果得到2—10月的总水流量是大于500万立方米的，所以在发电耗水的基础上再放一部分水，所放出的水也用于发电，于是建立2007每月的发电计划的线性规划模型。

目标函数：
2000*12*9000]12*9000)1020[(1200max 12
1
12
1
21+-+==∑∑==i i i i x x w
其中干流、支流1和支流2的总水流量为a 1，
那么21i i i i N N G a ++=.
甲水库第i 月的储水量为前一月的储水量加上本月总水流量减去i 月的发电耗水量和放水量，
即 1
111i i i i i i y X a c c --+=-
乙水库第i 月的储水量为前一月的储水量加上本月总水流量减去i 月的发电耗水量和放水量，
即 22113122i i i i i i i y X y X N c c --+++=-
同时，水库的储水范围变动如下： 当500≤i a 万3m 时，储水范围是
⎩⎨
⎧≤≤≤≤--.21001300,
300022001211i i c c
)4,3,2(=i 否则500>i a 万3m 时，储水范围是
⎩⎨
⎧≤≤≤≤--.16001300,
250022001211i i c c
)4,3,2(=i 发电站发电约束：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥+≥≥≤≤.
9001020,0,0,
800010,12000202121i i i i i i y X X X X X
5.3.2模型三的求解
利用问题二的预测数据代入上式模型中利用LINGO （程序见附录4）,求解得2007年最大收益为810395417.3⨯（元）预测每月发电计划如下表5：
表5 2007年每月的排水量（万立方米）和发电量（万度）
5.4问题四的解答： 5.4.1模型四的建立：
该题在问题三的基础上建立0-1规划模型,制定出发电站2007的检修计划的同时,也使2007年的售电总额达到最大，水电站需要通过每年的检修来提高它的月发电量，由于如果水电站进行检修，那么检修的当月最大发电量减少50%，但检修后，该年每月的发电量将增加10%。

我们假设不考虑检修费用，引入0-1变量使得2007年总利润最大，于是我们建立了如下线性规划模型. 获利最大的目标函数：
∑==
12
1
max i
i p w , ⎩⎨
⎧
-+⨯+⨯+⨯=)90001020(1200090002000)1020(20002121i i i i i X X X X p 900010209000
10202121≥+<+i i i i X X X X
A 水库的储水约束条件变为：
,30002200c 11
1111i ⎩
⎨
⎧≤≤--+=-i i i i i c y X a c B 水库的储水约束条件变为：
,2100130022
1231122⎩
⎨
⎧≤≤-+-++=-i i i i i i i i c y y X N X c c , 在我们引入0—1变量之后甲电站发电限制能力变为：
∑-=⨯+⨯-≤1
1
1120001.0120005.01200020i j j i i x x X
乙电站发电限制能力变为：
∑-=⨯+⨯-≤1
1
280001.080005.0800010i j i i i y y X
5.4.2模型四的求解
利用问题二的预测数据代入上式模型中利用LINGO （程序见附录 5.1）,求解得2007年最大收益为8106.3⨯（元）。

两水电站均在1月份进行检修见下表6，预测每月发电计划见（附录5.2表7）：
表6 两水电站的检修情况
5.5问题五的解答：
5.5.1模型的建立：
假设，更换设备用时一个月，在该月乙电站不产电能，不考虑设备更换成本，该月B 水库开始储水，达到储水量最大值自行放水，更换设备后，乙电站发
电能力转化效率与甲相同，添加两个0-1变量
i e =⎩⎨
⎧万度电能出售
个月不超过表示第万度电能出售
月份超过表示第9000900001i i （i =1,2,3,…,12） ⎩⎨
⎧=1
0i b 月更换设备
i 月不更换设备
i （i =1,2,3, (12)
以获利最大为目标函数建立最优模型：
∑==
12
1
max j
j p w ，
月前在更换设备i 月利润i p ：
)
1)(1020(2000)]90001020(120020009000[2121e X X e X X p i i i i i i -++-++⨯=月时在更换设备i 月利润i p
)1(202000)900020(120020009000(11i i i i i e X e X p -⨯+-+⨯=
月后在更换设备i 月利润i p
)1](2020(2000)90002020(120020009000[2121i i i i i i i e X X e X X p -++-++⨯=
：水库的储水约束条件为
A
3000
2200111111≤≤--+=-i i
i i i i c y X a c c
水库的储水约束条件为B ：
2100
130********
22113122≤≤⎩⎨⎧--+++-+++=--i i i i i i i i
i i i i i c y X X y N c y X y N c c 0
1
==i i b b 12000
X 20:发电能力限制为后乙在更换设备i月，0X :发电能力限制为时乙在更换设备i月，
8000X 10:发电能力限制为乙在更换设备i月前12000
20:发电能力限制为月甲第2i 2i 21≤=≤≤i i X i
6模型的评价
6.1模型的优点6.1模型的优点：
（1）本文在正确、清楚地分析了题意的基础上，提出了合理的假设。

建立了科学的可变成本计算模型，为求最大利润准备了条件。

（2）本文经过合理的假设与分析，建立了多个科学的可变成本计算模型成功的解决了水电站的生产计划问题，并运用优化软件LINGO进行高效求解。

（3）运用了正确的数据处理方法，很好的解决了数据统计及预测问题。

（4）建立的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有现实意义。

（5）具有很好的通用性和推广性。

6.2模型的缺点：
受时代工农业生产等因素的影响，月流量易发生波动，且气候也无法避免发生大变动，水流经过A水库也可能有渗透等损耗，模型较为理想化。

对于问题1，总存在无法预知的人为因素对发电计划产生影响，模型过于理想化。

对于问题2，由图2 的周期变化趋势可看出历年来月流量的变化并不趋于平稳，而是波动较大的周期变化，随着水库附近的环境变化周期性越来越弱，而移动平均法取平均数较适合对波动不大的数据进行预测。

对于问题3，根据我们对问题2的预测结果利用线性规划建立了各月的发电计划模型，由于问题2的预测本身就存在误差，问题3的结论也就相应受到影响。

对于问题4，发电机组每年都应该检修，检修时间可以在任意的一个月，检修的当月最大发电量会减少50%，但检修后每月最大发电量会增加10%，在收益最大的目标下，最佳检修时间会随月流量的改变而变化，每年都需检修使得每年都要重新计算检修月份，计算的工作量增大了。

对于问题5，更换设备带来的花费及生产损失无法计算，新设备的寿命也无法预测，对旧设备的处理也没有给出方案，但从长远利益来看，模型五给出的方案可使长期营业的同类企业有较好的发展趋势，从实际出发，具有很强的实际意义。

7模型的推广及其应用
这类数学规划在生产规划上具有普遍性和推广性，对其它同类的工厂（或企业）的生产也适用。

只要给出的数据足够实际和精确，则模型得出的最优解将具有很强的实际意义，在求解最优方案、最大效益等问题上均可套用此模型；对降
雨预测、稳定性预测等预测问题也可套用；此模型在更换设备问题也在上提供了有效方案。

8参考文献
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[3] 司守奎,孙玺菁.北京：数学建模算法与应用.国防工业出版社，2013.
[4] 董臻圃等.数学建模方法与实践[M].国防工业出版社[M],2006
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[6] 张宜华.精通MATLAB[M].清华大学出版社,1999
[7] 李云.应用数学模型.华中理工大学出版社,1996
[8] 李建中等.图论导引[M].机械工业出版社,2005
9附录
附录1.1
图1 河流水库分布图
附录1.2
表7两个水库的有关数据如下：（单位：万立方米）
水库A 水库B 水库最大储水量3000 2100 水库最小储水量2200 1300 水库初始储水量2300 1400
本月流量下月流量第三月流量干流400 250 200
支流1 100 80 65
支流2 120 105 80
支流3 75 60 50
附录2
clc;clear;
c=[-20 -20 -20 -10 -10 -10];
A=[ -1 0 0 0 0 0
1 0 0 -1 0 0
-1 -1 0 0 0 0
1 1 0 -1 -1 0
-1 -1 -1 0 0 0
1 1 1 -1 -1 -1
1 0 0 0 0 0
-1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0
-1 -1 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0
-1 -1 -1 1 1 1
-2 0 0 -1 0 0
0 -2 0 0 -1 0
0 0 -2 0 0 -1];
b=[80;625;-355;565;-700;515;720;175;1155;235;1500;285;-900;-900;-900]; vlb=zeros(6,1);
vub=[600;600;600;800;800;800];
[x,y]=linprog(c,A,b,[],[],vlb,vub)
X1=x(1)*20
X2=x(2)*20
X3=x(3)*20
Y1=x(4)*10
Y2=x(5)*10
Y3=x(6)*10
w=(-y-9000*3)*1200+9000*3*2000
附录3.1
(干流)(支流一)
（支流2）（支流3）
附录3.2
clc;clear;
y=[213.11 194.88 104.61 84.43 144.13 44.636 148.98 177.41 310.1 237.73 265.22 194.06 161.93 112.38 129.3 95.685 122.18 216.13
239.06 272.89 236.51 218.73 165.84 116.04 91.209 55.81 183.72
154.79 260.85 265.5;70.418 65.275 66.263 74.211 71.833 88.921 76.577
84.556 80.21 78.574 83.564 88.424 94.1 84.125 95.296 94.395 93.393
90.085 98.679 99.967 111.04 110.74 99.679 102 105.44 105.79 103.4
121.01 114.18 127.98
];
m=length(y);
n=[21,22,23,24,25];
for i=1:length(n)
for j=1:m-n(i)+1
yhat{i}(j)=sum(y(i:j+n(i)-1))/n(i);
end
y31(i)=yhat{i}(end);
s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y31,s
附录4
sets:
month/1..12/:input1,input2,use1,use2,save1,save2,money,out1,out2;
x;
endsets
data:
input1=429.82 528.66 685.29 738.59 767.47 805.13 840.04 769.11 680.70 548.25 410.47 279.72; input2=45.93 43.24 47.88 46.77 44.36 56.05 61.78 43.78 57.67 45.03 48.09 63.80;
enddata
!目标函数;
max=@sum(month(i):money(i));
!水库蓄水量关系;
@for(month(i):save1(i)=@if(i#le#1,2300+input1(i)-use1(i)-out1(i),save1(i-1)+input1(i)-use1(i)-out 1(i)));
@for(month(i):save2(i)=@if(i#le#1,1400+input2(i)+use1(i)-use2(i)+out1(i)-out2(i),save2(i-1)+inpu t2(i)+use1(i)-use2(i)-out2(i)));
!水库蓄水能力限制;
@for(month(i):@if(i#le#1,2300,save1(i-1))<=@if(input1(i)#le#500,3000,2500));
@for(month(i):@if(i#le#1,1400,save2(i-1))<=@if(input1(i)#le#500,2100,1600));
@for(month(i):save1(12)<=3000);
@for(month(i):save2(12)<=2100);
@for(month(i):save1(i)>=2200);
@for(month(i):save2(i)>=1300);
!发电站发电能力限制;
@for(month(i):use1(i)<=12000/20);
@for(month(i):use2(i)<=8000/10);
!发电站营利计算;
@for(month(i):money(i)=@if(use1(i)*20+use2(i)*10#le#9000,(use1(i)*20+use2(i)*10)*2000,(use 1(i)*20+use2(i)*10-9000)*1200+18000000));
End
附录5.1
sets
:
month/1..12/:input1,input2,use1,use2,output1,output2,save1,save2, money,x,y;
endsets
data:
input1=429.82 528.66 685.29 738.59 767.47 805.13 840.04 769.11 680.70 548.25 410.47 279.72;
input2=45.93 43.24 47.88 46.77 44.36 56.05 61.78 43.78 57.67 45.03 48.09 63.80;
enddata
!目标函数;
max=@sum(month(i):money(i));
!引入0-1变量;
@for(month(i):
@bin(x));
@sum(month(i):x(i))=1;
@for(month(i):
@bin(y));
@sum(month(i):y(i))=1;
!水库蓄水量关系;
@for(month(i):save1(i)=@if(i#le#1,2300+input1(i)-output1(i)-use1(i),s ave1(i-1)+input1(i)-output1(i)-use1(i)));
@for(month(i):save2(i)=@if(i#le#1,1400+input2(i)+use1(i)+output1(i)-o utput2(i)-use2(i),save2(i-1)+input2(i)+use1(i)+output1(i)-output2(i)-use2(i)));
!水库蓄水能力限制;
@for(month(i):save1(i)<=3000);
@for(month(i):save2(i)<=2100);
@for(month(i):save1(i)>=2200);
@for(month(i):save2(i)>=1300); !
发电站最大发电量限制;
@for(month(i):20*use1(i)<=12000-0.5*12000*x(i)+0.1*12000*@sum(month(j )|j#lt#i-1:x(j)));
@for(month(i):10*use2(i)<=8000-0.5*8000*y(i)+0.1*8000*@sum(month(j)|j #lt#i-1:y(j)));
!发电站营利计算;
@for(month(i):money(i)=@if(use1(i)*20+use2(i)*10#le#9000,(use1(i)*20+ use2(i)*10)*2000,(use1(i)*20+use2(i)*10-9000)*1200+18000000));
end
附录5.2
表9 检修后排水量（万立方米）和发电量（万度）。