人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元测试综合卷检测试题

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元测试综合卷检测试题
一、平面向量多选题
1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是
（ ） A ．21
2
AO AB AB ⋅
=
B ．OA OB OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅
C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则
1
1
3λ
μ
+
=
D ．AH 与
cos cos AB AC AB B
AC C
+
共线
【答案】ACD 【分析】
根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=
()
21
·cos cos ?22
AB
AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正
确；
··OAOB OAOC =等价于()
·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，
对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；
设BC 的中点为D ,
则()
2111111
33333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλ
μ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴
+=，即11
3λμ
+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+
⋅=+ ⎪⎝⎭
()
cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B
AC C
π⋅-⋅=
+
0BC BC =-+=,
∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与AH
共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
2．已知向量(2
2cos ,3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）
A ．()f x 的最大值为3
B ．()f x 的周期为π
C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 【答案】ABD 【分析】
运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】
解：()2
2cos 3sin 2cos23sin 21f x m n x x x x =⋅=+=++2sin 216x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
， 当6
x k π
π=
+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；
()f x 的周期22
T π
π=
=,选项B 描述准确； 当512x π=
时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确； 当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描
述准确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
3．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）
A ．1
3
BF FC = B ．89
FD FE ⋅=-
C ．41cos ,5
FD FE -<<-
>≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】
A. 根据2BF FO =易得12
BF FC =判断；B. 由()()
FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判
断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,
2DOF παα⎡
⎤
∠=∈⎢⎥⎣⎦
，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，得到
11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为
()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；
【详解】
A. 因为2BF FO =，所以1
2
BF FC =，故错误；
B. ()()
2
FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，
()
2
2
18
1099
OE OF OD OE OF =-+++=-++
=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：
设,(0,
]2DOF π
αα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫
=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以
2
2
22
8
9
cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FE
αααα-
⋅<>=
=
⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
8
4
9
(1,]5
822
cos2819
α-
---⋅，故正确；
D. 由FC FD FE λμ=+，得
()()
()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正
确； 故选：BCD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是
PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b =
=⨯+=+， 1121111
,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a =-=+-=，
11
21133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，
∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；
0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．22
OA OD ⋅=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ⋅=⋅
D ．AH 在AB 向量上的投影为2
【答案】AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32
:11cos
42
A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22
B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
6．下列说法中错误的为 （）
A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a
D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足
AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫
⎪=⋅+
= ⎪⎝⎭
，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】
对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；
对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】
对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角， 可得()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++， 即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，
解得53λ>-
且0λ≠，则实数λ的取值范围是5
3
λ>-
且0λ≠， 故A 不正确；
对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 124e e =，
∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；
对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，
AB CA AB
CA
+
表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，
由0AB CA OA AB CA ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，
所以，点O 在角A 的平分线上，
同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】
本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.
7．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AD 【分析】
由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】
平面向量,,a b c 两两夹角相等，
∴两两向量所成的角是0︒或120︒.
当夹角为0︒时，
,,a b c 同向共线，
则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，
,a b 为单位向量，
1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，
又
2c =，
1a b c ∴++=.
故选：AD. 【点睛】
本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
222
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
9．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD 【分析】
通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有
3
26
k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，
a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，
22(
)()()()110||||||||||||
a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．
10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.。