2002年全国高中数学联赛

2002年全国高中数学联赛试卷
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．函数)32(log )(2
2
1--=x x x f 的单调递增区间是（ A ）
（A ）)1,(--∞ （B ）)1,(-∞ （C ）),1(+∞ （D ）),3(+∞ 2．若实数y x ,满足22214)12()5(=-++y x ，则22y x +的最小值为（ B ） （A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）2 3．函数22
1)(x
x x f x
--=
（ A ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数
（C ）既是偶函数又是奇函数 （D ）既不是偶函数也不是奇函数
4．直线134=+y
x 与椭圆
19
1622=+y x 相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3．这样的点P 共有
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
解：设)sin 3,cos 4(ααP （2
0π
α<<），即点P 在第一象限的椭圆上，如
图，考虑四边形PAOB 面积S
)cos 4(321
)sin 3(421αα⨯+⨯=
+=∆∆OBP OAP S S S
)
4sin(26)cos (sin 6π
ααα+
=+=
∴26max =S （此时4
π
α=）
∵6432
1
=⨯⨯=
OAB S ∴PAB S ∆的最大值为)12(6-，3626<-
∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ．
5．已知两个实数集合},,,{10021a a a A =与},,,{5021b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ ，则这样的映射共有
（A ）50100C （B ）5099C （C ）49100C （D ）49
99C
解：不妨设5021b b b <<< ，将A 中元素10021,,,a a a 按顺序分为非空的50组．定义映射B A f →:，使第i 组的元素在f 之下的象都是i b （50,,2,1 =i ）．
易知这样的映射f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的
分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ．
6．由曲线y x 42=，y x 42-=，4=x ，4-=x 围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足1622≤+y x ，4)2(22≥-+y x ，
4)2(22≥++y x 的点组成的图形y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则
（A ）2121
V V =
（B ）213
2
V V =
（C ）21V V = （D ）212V V =
解：如图，两图形绕y 轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间．用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，则所得截面面积
)||44(221y S -=π，)44(]|)|2(4[)4(222222y y y S -=----=πππ，
∴21S S =，由祖暅原理知，两几何体体积相等，∴21V V =
二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共有6个小题，要求直接将答案写在横线上．）
7．已知复数1z ，2z 满足2||1=z ，3||2=z ．若它们所对应的向量的夹角为︒60，则=-+||
2
121z z z z 7133
． 8．将二项式n x
x )21(4+
的展开式按x 降幂排列，若
前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的
项共有 3 个．
9．已知点1021,,,P P P 分别是四面体的顶点或棱的中
点，那么在同一平面上的四点组),,,(1k j i P P P P （101≤<<<k j i ）有 33 个．
10．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f 且对任意R x ∈都有
5)()5(+≥+x f x f 1)()1(+≤+x f x f
若x x f x g -+=1)()(，则=)2002(g ． 解：由x x f x g -+=1)()(，得1)()(-+=x x g x f ，所以
5)1()(1)5()5(+-+≥-+++x x g x x g 1)1()(1)1()1(+-+≤-+++x x g x x g
即)()5(x g x g ≥+，)()1(x g x g ≤+
∴)()1()2()4()5()(x g x g x g x g x g x g ≤+≤+≤+≤+≤ ∴)()1(x g x g =+
即)(x g 是周期为1的周期函数，又1)1(=g ，故1)2002
(=g 11．若1)2(l o g )2(l o g
44=-++y x y x ，则||||y x -的最小值是 ．
P 8P 9
解：⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+>->+4
)2)(2(020
2y x y x y x y x ⇒⎩⎨⎧=-≥>440||22
2
y x y x 由对称性只考虑0≥y ，因为0>x ，所以只须求y x -的最小值． 令u y x =-公代入4422=-y x ，有0)4(2322=-+-u uy y ． 这是一个关于y 的二次方程显然有实根，故0)3(162≥-=∆u ，∴3≥u
当3
3
4=
x ，33=y 时，3=u ．故||||y x -的最小值为3
12．使不等式
x a x a x cos 1cos sin 22+≥++
对一切R x ∈恒成立的负数a 的取值范围是 ．
解：原不等式可化为4
)1()21(cos 2
22
-+≤--a a a x ∵1cos 1≤≤-x ，0<a ，
02
1
<-a ∴当1cos =x 时，函数2
)21(cos --=a x y 有最大值2)2
11(--a ， 从而有4
)1()211(222-+≤--a a a ，整理得022
≥-+a a ∴1≥a 或2-≤a ，又0<a ，∴2-≤a
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知点)2,0(A 和抛物线42
+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的
纵坐标的取值范围．
解：设B 点坐标为),4(12
1y y -，C 点坐标为),4(2
y y -．
显然042
1≠-y ，故2
1
4212
11+=--=
y y y k AB 由于BC AB ⊥，所以)2(1+-=y k BC
从而⎪⎩⎪⎨⎧+=--+-==4
)]4()[2(22
111x y y x y y y ，消去x ，注意到1y y ≠得：
01))(2(11=+++y y y ⇒0)12()2(2121=++++y y y y
由0≥∆解得：0≤y 或4≥y ．
当0=y 时，点B 的坐标为)1,3(--；当4=y 时，点B 的坐标为)3,5(-，均满足是题意．故点C 的纵坐标的取值范围是0≤y 或4≥y ．
14．如图，有一列曲线 ,,,210P P P ．已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1+k P 是对k P 进行如下操作：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（ ,3,2,1,0=k ）．记n S 为曲线n P 所围成图形的面积．
（1）求数列}{n S 的通项公式； （2）求n n S ∞
→lim ．
解：（1）对0P 进行操作，容易看出0P 的每条边变成1P 的4条边，故1P 的边数为
43⨯；同样，对1P 进行操作，1P 的每条边变成2P 的4条边，故2P 的边数为243⨯，
从而不难得到n P 的边数为n
43⨯．
已知0P 的面积为10=S ，比较1P 与0P ．容易看出1P 在0P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
2
3
1，而0P 有3条边，故31
1313201+=⨯+=S S
再比较2P 与1P ，可知2P 在1P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
223131⋅，而1P 有43⨯条边，故34
1234
3113
143++=⋅⋅+=S S 类似地有：52
362
233
4343113143+++=⋅⋅+=S S
于是有∑∑==----+=+=+++++=n t t
n
t t t n n n S 11121121523)94(4313
41343434311
n n n )94(5358])94(1[5319
41])94
(1[94431⋅-=-+=--⋅+=
以下用数学归纳法证明n
n S )9
4(5358⋅-=成立．
1=n 时，由上面已知等式成立
假设k n =时，有k
k S )9
4(5358⋅-=
当1+=k n 时，易知第1+k 次操作后，比较1+k P 与k P ，1+k P 在k P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为
)
1(23
1+k ，而k P 有k
43⋅条边，故
112)
1(21)94
(53583
43143++++⋅-=+=⋅
⋅+=k k k k k k
k k S S S
综上，由数学归纳法知n
n S )9
4(5358⋅-=
成立． （2）5
8
])94(5358[lim lim =⋅-=∞→∞→n n n n S ．
15．设二次函数c bx ax x f ++=2
)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： （1）当R x ∈时，)2()4(x f x f -=-，且x x f ≥)(； （2）当)2,0(∈x 时，2
)2
1(
)(+≤x x f ； （3）)(x f 在R 上的最小值为0．
求最大的m （1>m ），使得存在R t ∈，只要],1[m x ∈，就有x t x f ≤+)(． 解：∵)2()4(x f x f -=-，∴函数的图象关于1-=x 对称， ∴12-=-
a
b
，a b 2= 由（3）知，1-=x 时，0=y ，即0=+-c b a ， 由（1）得1)1(≥f ，由（2）得1)1(≤f
∴1)1(=f ，即1=++c b a ，又0=+-c b a ＝0 ∴21=
b ，41=a ，41=
c ，∴4
12141)(2++=x x x f 假设存在R t ∈，只要],1[m x ∈，就有x t x f ≤+)(． 取1=x 有1)1(≤+t f ．即14
1
)1(21)1(412≤++++t t ，解得04≤≤-t ． 对固定的
]0,4[-∈t ，取m x =，有m m t f ≤+)(，即
m m t m t ≤++++4
1
)(21)(412， 化简有，0)12()1(222≤+++--t t m t m ， 解得t t m t t 4141-+-≤≤---
于是有9)4(4)4(141=--+--=-+-≤t t m 当4-=t 时，对任意的]9,1[∈x ，恒有
0)9)(1(4
1
)910(41)4(2≤--=+-=
--x x x x x x f ． 所以m 的最大值为9．
2002年全国高中数学联赛加试试卷
一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，︒=∠60A ，AC AB >，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H 点．点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足CN BM =．求OH
NH
MH +的值．
解：在BE 上取CH BK =，边接OK OC OB ,,． 由
三
角
形
外心的性质知︒=∠=∠1202A BOC ，由三角形垂心的性质知︒=∠-︒=∠120180A BHC
∴BOC BHC ∠=∠
∴O H C B ,,,四点共圆． OCH OBH ∠=∠，又OC OB =，CH BK =， ∴△BOK ≌△COH
∵COH BOK ∠=∠，OH OK =
∴︒=∠=∠120BOC KOH ，︒=∠=∠30OHK OKH
观察△OKH ，︒
=︒30sin 120sin OH
KH ，则OH KH ⋅=3；
又∵CN BM =，CH BK =，∴NH KM =
∴OH KH KM MH NH MH ⋅==+=+3，故
3=+OH
NH
MH ． 二、（本题满分50分）
实数c b a ,,和正数λ使得c bx ax x x f +++=2
3
)(有三个实根321,,x x x ，且满足
（1）λ=-12x x ； （2）)(2
1
213x x x +>
． 求
3
39272λ
ab
c a -+的最大值．
解：由于])()[()()()(32
33233b ax x x x a x x x x f x f x f +++++-=-=
B C
所以21,x x 是方程0)(32
332=+++++b ax x x x a x 的两个根，由（1）可得 232323)(4)(λ=++-+b ax x x a ，即042322323=-+++a b ax x λ
再由（2）可得]3124[3
1
223λ--+-=b a a x ，且0312422≥--λb a 易
知
ab c a a x b a a
x c bx ax x x f 3
1
272)3)(3()3()(32
3
2
3
-+++--+=+++=
由0)(3=x f 可得)3
)(3()3(2723132333a x b a a x c a ab +--+=---
由]3124[3
1
223λ--+-=
b a a x ，得 4
333231243131222
23λλ-
-=--=+b a b a a x 记b a p -=32，则42λ≥p ，且)(4
3
3
22723122
3λλ--
=---p p c a ab
令4
2
λ-
=
p y ，则0≥y ，且)4
3(93227231
223λ-=--
y y c a ab 由于2
43)2(434432323
323
λλλλλλ⋅+--=+-y y y y )4
342)(2(2
2
2
λλλλ
-+
+-=y y y 0)()2
(2≥+-
=λλ
y y
所以3
318
327231
λ-≥--
c a ab 于是33
2339272λ≤-+ab c a ，由此得23
392723
3≤-+λ
ab c a
取32=a ，2=b ，0=c ，2=λ，则x x x x f 232)(23++=有根13--，
13+-，0，显然假设条件成立，且
2
3
392723
3=
-+λab
c a ． 综上可知，
3
39272λab
c a -+的最大值为
2
3
3． 三、（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察721,,,A A A ，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且4321,,,A A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，
765,,A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不
限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．
解：设第i 名队员上场的时间为i x 分钟（7,,2,1 =i ），问题即求不定方程
270721=+++x x x （1）
在条件i x |7（41≤≤i ）且j x |13（75≤≤j ）下的正整数解的组数． 若),,,(721x x x 是满足条件（1）的一组正整数解，则应有
m x
i i
74
1
=∑=，n x i i 137
5
=∑=，+∈N n m ,
于是n m ,是不定方程270137=+n m （2） 在条件4≥m 且3≥n 下的一组正整数解 由于203)3(13)4(7=-+-n m
令4-='m m ，3-='n n ，有203137='+'n m （3）
所以，求（2）满足条件4≥m ，3≥n 的正整数解等价于求（3）的非负整数解． 易观察到 1)1(1327=-⨯+⨯
于是有203)203
(134067=-⨯+⨯。