最近几年考试时域分析法的题总汇

自动控制原理时域分析考试试题总汇
3-1设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示，若该系统为单位反馈控制系统， 试确定其单位传递函数。

解：由图知，该系统为欠阻尼二阶系统，从图中直接得出
%30%=σ s t p 1.0=
根据公式
3.0%21==--ζπζσe
1.012=-=
ζωπn p t
解得 358.0)(ln )(ln 2
22
=+=σπσζ 1265.331-=-=s t p n ζπ
ω
于是开环传递函数为
)
1.24(3.1132)2()(2+=+=s s s s s G n ζωω
3-2
单位反馈控制系统的微分方程为
)(200)(200)(10)(t r t c t c t c =++•
•• （1） 求系统的传递函数C(s)/R(s)
（2） 求系统的阻尼比和自然振荡频率
（3） 求系统的开环传递函数
（4） 若r(t)=1+2t,求稳态误差
（5） 若r(t)=2sin(10t+5),求稳态输出
3-4设电子心率起搏器系统如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分器。

要求：
（1） 若5.0=ζ对于最佳响应，问起搏器的增益K 应为多大
（2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起搏器，问1s 后实际心速为多少瞬时最大心
速为多大
解：（1）系统的开环传递函数为：
)
105.0()(+=s s K s G 所以闭环传递函数 K s s K K s s K s 202020)105.0()(2++=++=
φ 5.0,202,202===ζζωωn n K
解之得：K=20 20=n ω
(2) 闭环传递函数写为400
20400)(2++=s s s φ 闭环极点 j s 310102,1±-=
所以系统单位脉冲响应为
)310sin 310(cos )(10t j t e
t h t +=- 所以阶跃响应 ⎰=τ0)(60
)(dt t h t c =)1(6010τ-+e c(1)=次/min
峰值时间181.025.0120141.312=-⨯=-=
ζ
ωπn p t s %5.16%75.05.012===⨯---πζπζσe e
最大心率为m in /9.69%)5.161(60次=+⨯
3-5已知控制系统结构如图所示，
（1） 当b=0时，试确定单位阶跃输入时系统的阻尼系数、自然频率、最大超调量以及单
位斜坡输入所引起的稳态误差。

（2） 确定系统阻尼比为时的速度反馈常数b 的值，并确定在单位阶跃输入下系统的最大
超调量和单位斜坡输入所引起的稳态误差。

（3） 怎样使上一问的阻尼比保持不变而使其稳态误差等于第一问的稳态误差值。

解：
（1） 当b=0时，开环传递函数为)
4(16)(+=s s s G 闭环传递函数16
416)(2++=s s s φ 75.15.3%,3.16%,2124,41621======
==∴--
n s n n t e ζωσωζωζπζ 当r(t)=t 时，25.01==
K
e ss （2） 当b 不为0时， 4,16
)164(16)()164(16)(2=+++=⇒++=n s b s s b s s s G ωφ
令 15.022/121648.0=⇒+=+=
=b b b n ωζ 094.15
.3%,52.1%21====∴--
n s t e ζωσζπζ
当r(t)=t 时4.01==K
e ss （3） 使用比例加微分串联校正可以达到目的，如图所示，这时在原闭环系统上加入一零
点。

3-6系统结构如图所示，已知t K 等于0时，在r(t)=2 l(t)作用下的输出最大值为系统的稳态误差为0
（1） 求参数K,a 和系统开环传递函数
（2） 为改善性能引入测速反馈，即0≠t K ，求使%5%
0<<σ的t K 范围。

3-7系统结构如图所示， （1） 若K1，K2都打开，试求系统的性能指标s t %,σ
（2） 为降低系统超调且提高系统快速性，试给出设计的两种方案，并求出其中任意一种
方案的性能指标s t %,σ
K1
K2
3-8 设高速列车停车控制系统如图所示。

已知参数：
1K =1, 2K =1000, 3K =, a= , b=
试证：当放大器增益a K 取任何正值时，系统都是稳定的。

.
)
34(7500+s s
证：由图，可得系统闭环传递函数
a
a a a K K K K bs K K K s a K K K K K K s 3213223232)1()(+++=Φ 代入数据，得二阶系统的特征方程
01.0)1.01(2=+++a a a K s K s K
当a K 取任何正数时，二阶系统的特征方程各项系数都为正，故系统必然稳定。

也可列劳思表：
2s a K 1.01+ a K
s a K 1.0
0s a K
可见，只要a K 取正值，劳思表各列首项都为正，系统必然稳定。

3-11已知闭环传递函数的一般形式为
1110111)()(1)()(a s a s a s b s b s b s b s H s G s G s n n n m m m m +⋯⋯+++⋯⋯++=+----φ 误差定义为)()()(t c t r t e -=。

试证，
（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为
1110)(a s a s a s a s n n n ++⋯⋯++=--φ （2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为
11101)(a s a s a s a s a s n n n ++⋯⋯+++=--φ （3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件
（4）指出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
解：（1）0
1110)(a s a s a s a s n n n ++⋯⋯++=--φΘ )](1)[()()()(s s R s C s R s E φ-=-=∴
1111111a s a s a s s a s a s s n n n n n n ++⋯⋯+++⋯⋯++•=----
1111211a s a s a s a s a s n n n n n n ++⋯⋯+++⋯⋯++=----- 满足终值定理的条件，
0lim )(lim )(011111100=++⋯⋯+++⋯⋯++==∞----→→a s a s
a s s a s a s s sE e n n n n n n s s 即证
（2）0
11101)(a s a s a s a s a s n n n ++⋯⋯+++=--φΘ )](1)[()()()(s s R s C s R s E φ-=-=∴
111221121a s a s a s s a s a s s n n n n n n ++⋯⋯+++⋯⋯++•=---- 0
1112211a s a s a s a s a s n n n n n n ++⋯⋯+++⋯⋯++=----- 满足终值定理的条件，
0lim )(lim )(011121100=++⋯⋯+++⋯⋯++==∞----→→a s a s
a s s a s a s s sE e n n n n n n s s 即证
(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为
1110122)(a s a s a s a s a s a s n n n ++⋯⋯++++=--φΘ 同理可证
（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。

3-12已知调速系统如图所示，其中 s
s G s s G 24.012)(,07.0110)(21+=+= 1.0m in,//05.0==a r V K i
设系统误差从系统输入端定义，为系统输入量的实际值与希望值之差。

试求：（1）动态误差系数210,C C C 和
（2）r(t)=1(t)时输出端稳态误差
（3）r(t)=1(t)时输入端稳态误差
解：（1）动态误差系数 系统输出端定义的误差函数 )(111)('s R GH
H s E += 式中，i aK H G G G ==,21,误差传递函数 i
i e aK G G aK s R s E s 21111)()(')('+==φ 代入并作整式除法得 ⋯⋯+-+=++++=222
16.113.582.1810168.031.01.136.362200)('s s s
s s s s e φ 因此，动态误差系数为16.1,13.5,82.181210-===C C C
（2）输出端稳态误差
因为)1(0)(),(1)()(≥==i t r t t r i ，故
m in /82.181)('0r t r C e ss ==
这一稳态误差是稳态下的转速差，即n n n e ss -=∆=0'
（3）输入端稳态误差
V e aK He e ss i ss ss 909.0''===
这一稳态误差是稳态下的电压差，即21'U U U e ss -=∆=
3-13如图所示的控制系统结构图，误差E(s)在输入端定义，扰动输入n(t)=2 X 1(t).
(1) 试求K=40时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。

(2) 若K=20, 其结果又如何
(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s ，对其结果有何影响
在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s ，对其结果又有何影响
3-13解：令105.01+=s K G ，5
12+=s G ，5.2=H 则)()()(212s E G G s N G s C += 代入)()()(s HC s R s E -=
得 )(1)(1)(2121212s R H
G G G G s N H G G G s C +++= 令0)(=s R ，得扰动作用下的输出表达式： )(1)(212s N H
G G G s C n += 此时的误差表达式为：)(1)()()(212s N H G G H G s HC s R s E n n +-
=-= 若在s 右半平面上解析，则有 )(1lim )(lim 2
1200s sN H G G H G s sE e s n s ssn +-==→→ 在扰动输入下的稳态输出为 )(1lim )(lim )(2
1200s sN H G G G s sC C s n s n +-==∞→→ 代入N(s),G1,G2,H 的表达式，可得 K
e K c ssn n 5.215,5.211)(+=+=
∞ （1） 当K=40时，1015,1012)(-==∞ssn n e c
（2） 当K=20时，51
5,512)(-==∞ssn n e c 可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。

（3） 若1/s 加在扰动之前，则 )105.0(1+=s s K G 5
12+=s G 5.2=H 得 0,0)(==∞ssn n e c
若1/s 加在扰动之后，则 1
05.01+=s K G )5(12+=s G 5.2=H )20(04.0),40(02.05.22)(====
∞K K K c n )20(1.0),40(05.05.25=-=-=-=K K K
e ssn 可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。

3-14 设单位反馈系统的开环传递函数
i s T s K s T K K s G m m f f
1)1(1)(0•+•+•= 输入信号为 )(1)()(t bt a t r •+=
其中0K , m K , f K , i, f T , m T 均为正数，a 和b 为已知正常数。

如果要求闭环系统的稳态误差ss e <0ε, 其中0ε>0, 试求系统各参数满足的条件。

解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为
0)(23=++++K s s T T s T T m f m f
式中，i K K K K m f /0=,为系统的开环增益，各参数满足：
K>0, 0)(>-+f m m f T KT T T
即稳定条件为 m
f m T T T Tf K +<<0 由于本例是I 型系统，其p K =∞, v K =K,故在r(t)=(a+bt)?1(t)作用下，其稳态误差
0ε<=K
b e ss 必有 K>0εb 于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件
为 m f m f m f T T T T i K K K b
+<</00ε
3-15设单位反馈系统的开环传递函数
)
11.0(100)(+=s s s G 试求当输入信号221)(t t t r ++=时，系统的稳态误差。

解：由G(s)知系统为I 型系统
对于r(t)=1 系统没有稳态误差
对于r(t)=2t 系统的稳态误差02.0100
21===v ssn K R e 对于2)(t t r = 系统的稳态误差02.010022===
a ssn K R e 所以，总的系统误差04.021=+=ssn ssn ssn e e e
3-16系统结构如图所示，)
1()(+=Ts s K s G ，定义误差e(t)=r(t)-c(t)， （1） 若希望图a 中，系统所有的特征根位于s 平面上s= -2的左侧，且阻尼比为，求满
足条件的K,T 的取值范围。

（2） 求图a 系统的单位斜坡输入下的稳态误差。

（3） 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b 所示，试求出
合适的0K 值。

解：（1）闭环传递函数为T
K s T s T K K s Ts K s ++=++=1/)(22φ 即T K T T T K n n n 1,15.0,12,==⇒===ωζζωωΘ 2',)(2+=++=s s K s Ts s D 令，代入上式得，
02/14')14('2')2'()('22=-++--=+-+-=T T s T Ts K s s T s D 列出劳思表，
2s T 4T+1/T-2
s 1-4T
1 4T+1/T-2
4/1002/14,041,0<<⇒>-+>->T T T T T
无解或⇒<-+<-<02/14,041,0T T T T
∞<<<<∴K T 4,4/10
(2) R(t)=t ，系统为I 型系统 ∴K e ss /1=
(3) K
s Ts K s KK K Ts s K s K s G +++=+++=200)1()1()(' )
(1)1(1)]('1)[()()()(202022K s Ts s KK Ts K s Ts s KK Ts s s G s R s C s R s E ++-+=++-+=-=-=∴ K K K
KK K s Ts KK Ts s sE e s s ss /1011lim )(lim 002000=⇒=-=++-+==→→令 0K 并没有改变系统的稳定性。