广西省来宾市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

广西省来宾市2021届新高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
2．设点P 是椭圆22
21(2)4
x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）
A ．4
B ．8
C ．
D ．【答案】B 【解析】
∵12F F =
∵122F F c ==
∴c =
∵222c a b =-，24b =
∴4a =
∴1228PF PF a +== 故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
3．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=u u u r u u u r
（ ）． A ．3- B ．6-
C ．4
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由
()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC V 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-
则DC =则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B 【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
4．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P ，则实数t 的值为（ ）
A B ．
5
2
C ．ln 2
22
+
D ．ln 3
22
+
【答案】C 【解析】 【分析】
设(,)x
P x e ，求2AP ，作为x 的函数，其最小值是6，利用导数知识求2
AP 的最小值．
【详解】
设(,)x
P x e ，则2
22()x AP x t e =-+，记22()()x
g x e
x t =+-，
2()22()x g x e x t '=+-，易知2()22()x g x e x t '=+-是增函数，且()g x '的值域是R ，
∴()0g x '=的唯一解0x ，且0x x <时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>，即min 0()()g x g x =， 由题意0
2200()()6x g x e
x t =+-=，而0200()22()0x g x e x t '=+-=，020x x t e -=-，
∴00246x x e e +=，解得022x e =，0ln 2
2
x =
． ∴0
20ln 2
22
x t e
x =+=+
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对0x 和t 的关系的处理是解题关键．
5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如：0
2213+=)为费马索数,在不超过
30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．
2
15
B ．
15
C ．
415
D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155
P == 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．
6．设集合{}1,2,3A =，{}
2
20B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}2,3-
C ．{}1,2,3--
D ．{}3
【解析】 【分析】
根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B . 【详解】
依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-. 【点睛】
本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题. 7．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23
-
B ．
23
C ．3
D ．-3
【答案】B 【解析】 【分析】
把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23
m =. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
8．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将
()f x 的图象（ ）
A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移12
π
个单位
C ．向左平移12
π
个单位
D ．向左平移
6
π
个单位 【答案】C 【解析】
根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122
T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π
=
时函数值最大，
所以2221223
k k πππ
ϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3π
ϕ=
，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 只需将()f x 的图象向左平移12
π
个单位即可得到()g x 的图象，
故选C. 【点睛】
已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+=
=.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω
= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．
9．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】
由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直” 则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，
所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 10．复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )
A ．i
B ．﹣2i
C ．2i
D ．﹣i
【答案】B 【解析】 【分析】
复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .
【详解】
∵()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，
∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩
，解得1a =-.
2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】
本题考查复数的分类，属于基础题.
11．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．
98
B ．
78
C ．
12
D ．
6256
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】
由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，
则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()333
81
356
C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()10301519
0123565656568
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
12．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2
2||z z z
+=（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+
【答案】A 【解析】 【分析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】
∵复数1z i =+，∴|2|z =
，()2
212z i i =+=，则
22||22(1)
221211(1)(1)
z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知()12n
x +的展开式中含有2x 的项的系数是60，则展开式中各项系数和为______. 【答案】1 【解析】 【分析】
由二项式定理及展开式通项公式得：22
260n
C =，解得6n =，令1x =得：展开式中各项系数和，得解． 【详解】
解：由(12)n
x +的展开式的通项1(2)r
r r n
T C x +=， 令2r =，
得含有2x 的项的系数是22
260n
C =， 解得6n =，
令1x =得：展开式中各项系数和为6(12)729+=， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于中档题． 14．已知等比数列的前项和为
，若
，则
的值是 ．
【答案】-2 【解析】 试题分析：
，
考点：等比数列性质及求和公式
15．已知2a b ==r r ，()()
22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r
的夹角为 .
【答案】60︒ 【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-r r r
r ，去括号得：
222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-r
r r r ，
1
cos ,602
θθ︒⇒==
16．已知函数()()2ln 2x
e f x a x e =-有且只有一个零点，则实数
a 的取值范围为__________.
【答案】(){},0e -∞U 【解析】 【分析】 当1
2x ≠
时，转化条件得()2ln 2x
e
e a x =有唯一实数根，令()()
2ln 2x e
e g x x =，通过求导得到()g x 的单调性后数形结合即可得解. 【详解】
当12x =时，()10e f x e -≠=，故1
2
x =不是函数的零点；
当1
2x ≠
时，()0f x =即()
2ln 2x
e
e a x =， 令()()
2ln 2x
e
e g x x =
，110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， Q ()()()()()2
222
22
121ln 2ln 2ln 2ln 2x
x
x
e e e
e x e x e e
x e x g x x x ⎛⎫--⋅ ⎪
⎝⎭'⋅⋅==⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
， ∴当110,,222e x ⎛⎫⎛⎫
∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '<；当,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，
∴()g x 的单调减区间为110,,,222e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，增区间为,2e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
又 2ln e e
e e
g e e
⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，可作出()g x 的草图，如图：
则要使()a g x =有唯一实数根，则(){},0a e ∈-∞U . 故答案为：(){},0e -∞U . 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上的点，且OA OB ⊥．
()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切； ()2求AOB V 面积的最小值．
【答案】()1证明见解析；()2 1. 【解析】 【分析】
()1由题意可得椭圆C 的方程为2
212x y +=，由点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存
在，分类讨论当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆2
2
1x y +=相切；
()2由()1知，AOB V 的面积为1
12
S OA OB =
⋅… 【详解】
解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以2a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0时，2OA ，2OB =
于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆22
1x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212
x y +=联立得()
22
122k x +=，
所以22212A
x k =+，22
2212A k y k =+，从而222
2212k OA k +=+．
而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B
在y =
上，故x =， 从而2
2
22OB k =+，于是
2
2
111OA
OB
+
=．
此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切． 综上，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切．
()2由()1知，AOB V 的面积为
2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥， 上式中，当且仅当0k =等号成立， 所以AOB V 面积的最小值为1． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题． 18．数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.
（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）12
22n n S n +=+-
【解析】 【分析】
（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可 【详解】
解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以
112a +=为首项，2为公比的等比数列.
即有()11
112
2n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.。