几种常见的微分方程简介,解法

第十二章：微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=
5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；
教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

4、欧拉方程
§12. 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.
几个概念:
微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.
偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,
y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,
y (n ) +1=0,
一般n 阶微分方程:
F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.
y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .
微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,
那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.
通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.
初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如
x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .
一般写成
00y y x x ==, 0
0y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.
如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为
⎩
⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.
例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)
x dx
dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:
x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)
把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)
⎰
=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)
其中C 是任意常数.
把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得
2=12+C ,
由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式
4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:
t =0时, s =0, 20==dt
ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)
把(4)式两端积分一次, 得
14.0C t dt
ds v +-==; (6) 再积分一次, 得
s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)
这里C 1, C 2都是任意常数.
把条件v |t =0=20代入(6)得
20=C 1;
把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.
把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得
v =-0.4t +20, (8)
s =-0.2t 2+20t . (9)
在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
504
.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程
s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).
解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,
s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.
把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得
s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),
再积分一次, 得
s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).
由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;
由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .
令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程
s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).
例3 验证: 函数
x =C 1cos kt +C 2 sin kt
是微分方程
022
2=+x k dt x d 的解.
解 求所给函数的导数:
kt kC kt kC dt
dx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 21222122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dt
x d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.
这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt
x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dt
x d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0
的特解.
解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得
C 1=A .
再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得
C 2=0.
把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得
x =A cos kt .
§12. 2 可分离变量的微分方程
观察与分析:
1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得
y =x 2+C .
一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰
)((此处积分后不再加任意常数).
2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.
因为y 是未知的, 所以积分⎰
dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.
为求通解可将方程变为
xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C
x y +-=21, 可以验证函数C
x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成
g (y )dy =f (x )dx
形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G (y )=F (x )+C ,
由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程:
一阶微分方程有时也写成如下对称形式:
P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0
在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.
若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有
)
,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有
)
,(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程:
如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))
的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.
讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .
(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .
(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.
(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).
(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)x
y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:
第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;
第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;
第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )
G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解.
例1 求微分方程xy dx
dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
xdx dy y
21=, 两边积分得
⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1,
从而 2
112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解
2x Ce y =.
解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
xdx dy y
21=, 两边积分得 ⎰
⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+ln C ,
从而 2x Ce y =.
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.
解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dt
dM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程
M dt
dM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即
0<dt dM . 由题意, 初始条件为
M |t =0=M 0.
将方程分离变量得
dt M
dM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM
)(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .
由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,
所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .
例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为
kv mg dt
dv m -=, 初始条件为
v |t =0=0.
方程分离变量, 得
m
dt kv mg dv =-, 两边积分, 得
⎰⎰=-m dt kv mg dv , 1
)ln(1
C m t kv mg k +=--, 即 t m k Ce k mg v -+=(k
e
C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k
mg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k
mg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dx
dy +++=的通解. 解 方程可化为
)1)(1(2y x dx
dy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112
+=+, 两边积分得
⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.
例5有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.
解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:
gh S dt
dV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故 gh dt
dV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到
dV =-πr 2dh ,
其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因
222200)100(100h h h r -=--=,
所以 dV =-π(200h -h 2)dh .
通过比较得到
dh h h dt gh )200(262.02--=π,
这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.
此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:
h |t =0=100.
将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得
dh h h g dt )200(262.02321--
=π. 两端积分, 得
⎰--=dh h h g t )200(262.023
21π
,
即 C h h g t +--=)523
400(262.02523π, 其中C 是任意常数.
由初始条件得
C g t +⨯-⨯-=)100521003
400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ
. 因此 )310107(262.0252335h h g t +-⨯=π
.
上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.
§12. 3 齐次方程
齐次方程:
如果一阶微分方程),(y x f dx
dy =中的函数f (x , y )可写成 x y 的函数, 即)(),(x
y y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？
(1)02
2=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=⇒-+=⇒x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2
211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=⇒. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. x
y y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.1
42-+-+-=⇒y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy x
y x dx x y y x y
x 是齐次方程. x y x y dx dy x
y x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2
齐次方程的解法:
在齐次方程
)(x
y dx dy ϕ=中, 令x y u =, 即y =ux , 有 )(u dx du x u ϕ=+, 分离变量, 得
x
dx u u du =-)(ϕ.
两端积分, 得
⎰⎰=-x
dx u u du )(ϕ. 求出积分后, 再用
x
y 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成
1)(222
-=-=x y x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令
u x y =, 则 y =ux ,
dx
du x u dx dy +=, 于是原方程变为
1
2-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得
x
dx du u =-)1
1(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,
或写成ln|xu |=u +C . 以x
y 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C x
y y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.
解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几
何原理可以证明OA =OM ,
因为 x y y OP PM OP AP OA -'=
-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-'
, 整理得1)(2++=y
x y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程
1)(2++=y x y x dy dx . 令
v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dy
dv y , 分离变量, 得
y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v C
y , 1222=-C
yv C y , 以yv =x 代入上式, 得)2
(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为
)2
(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程. .
例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度
) ,() ,(dt
dy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =. 另一方面, ) ,(
)0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即y
x y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程
y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令
u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u b
a dy du y , 分离变量, 得dy by a u du -=+1
2, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y a
b
u +-=, 将y x u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy C
x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得h
C 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a h
y h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y a
b u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y a
b y x +-= a b Cy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a b
a b Cy Cy y x -=⇒- ])()[(2
a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒.
§12.4 线性微分方程
一、 线性方程
线性方程:
方程)()(x Q y x P dx
dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx
dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)
2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.
(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.
(4)y x dx
dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或3
2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:
齐次线性方程
0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y
dy )(-=, 两边积分, 得
1)(||ln C dx x P y +-=⎰
,
或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.
例1 求方程y dx
dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得
2
-=x dx y dy , 两边积分得
ln|y |=ln|x -2|+lnC ,
方程的通解为
y =C (x -2).
非齐次线性方程的解法:
将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把
⎰=-dx x P e x u y )()(
设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得
)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,
化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,
C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,
于是非齐次线性方程的通解为
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰
-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰
⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.
例2 求方程25)1(1
2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.
先求对应的齐次线性方程
012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得
1
2+=x dx y dy , 两边积分得
ln y =2ln (x +1)+ln C ,
齐次线性方程的通解为
y =C (x +1)2.
用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得
2522
)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21
)1(+='x u ,
两边积分, 得
C x u ++=23
)1(3
2. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(32[)1(23
2C x x y +++=. 解: 这里1
2)(+-=x x P , 25
)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)1
2()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,
2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为
])1(32[)1(])([23
2)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).
解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L
-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di L
E , 即 L
E i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得
t L
E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为
i |t =0=0.
方程
t L
E i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得
])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L R
m dt L R +⎰⎰=⎰-ω )sin (C dt te e L
E t L R t L R
m +=⎰-ω t L R m Ce t L t R L
R E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.
将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L
R LE C m ωω+=
, 因此, 所求函数i (t )为
) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程
伯努利方程: 方程
n y x Q y x P dx
dy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.
下列方程是什么类型方程？
(1)
4)21(3
131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dx
dy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y x y , 是伯努利方程.
(4)x xy dx
dy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得
)()(1x Q y x P dx
dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程
)()1()()1(x Q n z x P n dx
dz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得
x a y x
dx dy y ln 112=+--, 即 x a y x
dx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为
x a z x
dx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x a
C x z -=.
以y -1代z , 得所求方程的通解为
1])(ln 2[2=-x a C yx .
经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程y
x dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为
y x dy
dx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为
u dx du 11=-, 即u
u dx du 1+=.
分离变量, 得
dx du u u =+1
, 两端积分得
u -ln|u +1|=x -ln|C |.
以u =x +y 代入上式, 得
y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.
§12. 5 全微分方程
全微分方程:
一个一阶微分方程写成
P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0
形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u =u (x , y )的全微分:
du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,
那么方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0就叫做全微分方程. 这里
),(y x P x
u =∂∂, ),(y x Q y u =∂∂, 而方程可写为
du (x , y )=0.
全微分方程的判定:
若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数, 且
x
Q y P ∂∂=∂∂, 则方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程,
全微分方程的通解:
若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程, 且
du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy
则 u (x , y )=C ,
即 )),(( ),(),(00000G y x C dx y x Q dx y x P y
y x x ∈=+⎰⎰.
是方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的通解
例1 求解(5x 4+3xy 2-y 3)dx +(3x 2y -3xy 2+y 2 )dy =0.
解 这里
x
Q y xy y P ∂∂=-=∂∂236, 所以这是全微分方程. 取(x 0, y 0)=(0, 0), 有 ⎰⎰+-+=y x dy y dx y xy x y x u 0
20324)35(),( 332253123y xy y x x +-+=.
于是, 方程的通解为
C y xy y x x =+-+332253123.
积分因子:
若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0不是全微分方程, 但存在一函数
μ=μ(x , y ) (μ(x , y )≠0), 使方程
μ(x , y )P (x , y )dx +μ(x , y )Q (x , y )dy =0
是全微分方程, 则函数μ(x , y )叫做方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的积分因子.
例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:
(1)ydx -xdy =0;
(2)(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0.
解 (1)方程ydx -xdy =0不是全微分方程.
因为2
)(y xdy ydx y x
d -=, 所以2
1y 是方程ydx -xdy =0的积分因子, 于是 02
=-y xdy ydx 是全微分方程, 所给方程的通解为C y x =. (2)方程(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0不是全微分方程.
将方程的各项重新合并, 得
(ydx +xdy )+xy (ydx -xdy )=0,
再把它改写成
0)(
)(22=-+y dy x dx y x xy d , 这时容易看出2
)(1xy 为积分因子, 乘以该积分因子后, 方程就变为 0)()(2=-+y
dy x dx xy xy d , 积分得通解
C y x xy ln ||ln 1=+-, 即xy Ce y
x 1=. 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x ).
可以验证⎰
=dx x P e x )()(μ是一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x )的一个积分因子. 在一阶线性方程的两边乘以⎰
=dx x P e x )()(μ得 ⎰=⎰+⎰
'dx x P dx x P dx x P e x Q e x yP e y )()()()()(, 即 ⎰
='⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e y e y )()()()(][, 亦即 ⎰
='⎰dx x P dx x P e x Q ye )()()(][. 两边积分, 便得通解
C dx e x Q ye dx x P dx x P +⎰=⎰⎰)()()(,
或 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰
-. 例3用积分因子求x xy dx
dy 42=+的通解. 解 方程的积分因子为
2
2)(x xdx e e x =⎰=μ.
方程两边乘以2x e 得
22242x x x xe y xe e y =+', 即224)(x x xe y e =',
于是 C e dx xe y e x x x +==⎰2
2224. 因此原方程的通解为2
224x x Ce dx xe y -+==⎰. §12. 6 可降阶的高阶微分方程
一、y (n )=f (x )型的微分方程
解法: 积分n 次
1)1()(C dx x f y n +=⎰
-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰
-, ⋅ ⋅ ⋅.
例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解.
解 对所给方程接连积分三次, 得
12sin 21C x e y x +-='',
212cos 41C x C x e y x +++=',
3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=,
这就是所给方程的通解.
或 122sin 21C x e y x +-='',
2122cos 41C x C x e y x +++=',
32212sin 8
1C x C x C x e y x ++++=,
这就是所给方程的通解.
例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.
解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为
)(22t F dt
x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而
)1()(0T
t F t F -=.
于是质点运动的微分方程又写为
)1(022T t m
F dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得
120)2(C T
t t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得
21320)621(C t C T
t t m F x ++-=
. 由初始条件x |t =0=0, 0|0==t dt dx , 得C 1=C 2=0.
于是所求质点的运动规律为
)621(320T
t t m F x -=, 0≤t ≤T . 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置,
根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为
mx ''=F (t ).
由题设, F (t )是线性函数, 且过点(0, F 0)和(T , 0),
故 1)(0=+T t F t F , 即)1()(0T
t F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为
)1(0T
t m F x -=''. 其初始条件为x |t =0=0, x '|t =0=0.
把微分方程两边积分, 得
120)2(C T
t t m F x +-=', 再积分一次, 得
2320)621(C T
t t m F x +-=, 由初始条件x |t =0=0, x '|t =0=0,
得C 1=C 2=0.
于是所求质点的运动规律为
)621(320T
t t m F x -=, 0≤t ≤T . 二、y ''= f (x , y ')型的微分方程
解法:
设y '=p 则方程化为
p '=f (x , p ).
设p '=f (x , p )的通解为p =ϕ(x ,C 1), 则
),(1C x dx
dy ϕ=. 原方程的通解为
21),(C dx C x y +=⎰ϕ.
例3 求微分方程()2xy''y'x 12=+满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解.
解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有
dx x x p dp 2
12+=. 两边积分, 得
ln|p |=ln(1+x 2)+C ,
即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ).
由条件y '|x =0=3, 得C 1=3,
所以 y '=3(1+x 2).
两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2.
又由条件y |x =0=1, 得C 2=1,
于是所求的特解为
y =x 3+3x +1.
例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?
三、y ''=f (y , y ')型的微分方程
解法: 设y '=p ,有
dy
dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==
''. 原方程化为 ),(p y f dy
dp p
=. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为 21),(C x C y dy +=⎰ϕ.
例5 求微分yy ''-y '2=0的通解.
解 设y '=p , 则dy dp p
y ='', 代入方程, 得
02=-p dy
dp yp . 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得
y
dy p dp =. 两边积分得
ln|p |=ln|y |+ln c ,
即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ).
再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为
ln|y |=Cx +ln c 1,
或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1).
例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.
§12. 7 高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.
给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ).
设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .
又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比, 比例系数为μ, 则
dt
dx R μ-, 由牛顿第二定律得
dt dx cx dt
x d m μ--=22. 移项, 并记m n μ
=2, m
c k =2, 则上式化为 0222
2=++x k dt dx n dt x d , 这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程.
如果振动物体还受到铅直扰力
F =H sin pt
的作用, 则有
pt h x k dt dx n dt x d sin 222
2=++, 其中m
H h =. 这就是强迫振动的微分方程. 例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin ωt , 这里E m 及ω也是常数.
设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道
dt dq i =, C q u c =, dt
di L E L -=, 根据回路电压定律, 得
0=---Ri C
q dt di L
E , 即 t E u dt du RC dt u d LC m c c c ωsin 22=++, 或写成
t LC E u dt du dt u d m c c c ωωβsin 2202
2=++,
其中L R 2=β, LC
10=ω. 这就是串联电路的振荡方程. 如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为
022022=++c c c u dt du dt
u d ωβ. 二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为
y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x ),
若方程右端f (x )≡0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的.
二、线性微分方程的解的结构
先讨论二阶齐次线性方程
y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 即0)()(22=++y x Q dx dy x P dx
y d . 定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程
y ''+P (x )y '+Q (x )y =0.
的两个解, 那么
y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )
也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.
证明 [C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2',
[C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''.
因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 所以有
y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0,
从而 [C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]
=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0.
这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解
函数的线性相关与线性无关:
设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅ , k n , 使得当x ∈I 时有恒等式
k 1y 1(x )+k 2y 2(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n (x )≡0
成立, 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关; 否则称为线性无关.
判别两个函数线性相关性的方法:
对于两个函数,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.
例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.
定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
的两个线性无关的解,那么
y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)
是方程的通解.
例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解,并写出其通解.
解因为
y1''+y1=-cos x+cos x=0,
y2''+y2=-sin x+sin x=0,
所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.
因为对于任意两个常数k1、k2,要使
k1cos x+k2sin x≡0,
只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-∞, +∞)内是线性无关的.
因此y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解.
方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.
例4 验证y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解,并写出其通解.
解因为
(x-1)y1''-xy1'+y1=0-x+x=0,
(x-1)y2''-xy2'+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0,
所以y1=x与y2=e x都是方程的解,
因为比值e x/x不恒为常数,所以y1=x与y2=e x在(-∞, +∞)内是线性无关的.
因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解.
方程的通解为y=C1x+C2e x.
推论如果y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,y n(x)是方程
y(n)+a1(x)y(n-1)+⋅⋅⋅+a n-1(x)y'+ a n(x)y=0
的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为
y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+ C n y n(x),
其中C1,C2,⋅⋅⋅,C n为任意常数.
二阶非齐次线性方程解的结构:
我们把方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
叫做与非齐次方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)
对应的齐次方程.
定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)
的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么
y=Y(x)+y*(x)
是二阶非齐次线性微分方程的通解.
证明提示: [Y(x)+y*(x)]''+P(x)[ Y(x)+y*(x)]'+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]
=[Y ''+P(x)Y '+Q(x)Y ]+[ y* ''+P(x)y* '+Q(x)y*]
=0+ f(x)= f(x).
例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y''+y=0的通解,y*=x2-2是y''+y=x2的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2
是方程y''+y=x2的通解.
定理4 设非齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和,
如y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x),
而y1*(x)与y2*(x)分别是方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)
的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.
证明提示:
[y1+y2*]''+P(x)[ y1*+y2*]'+Q(x)[ y1*+y2*]
=[ y1*''+P(x) y1*'+Q(x) y1*]+[ y2*''+P(x) y2*'+Q(x) y2*]
=f 1(x )+f 2(x ).
§12. 8 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:
方程 y ''+py '+qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程
y ''+py '+qy =0
得
(r 2+pr +q )e rx =0.
由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.
特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2
可用公式 2
422,1q p p r -±+-=求出. 特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又
x r r x
r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为
x r x r e C e C y 2121+=.
(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,
函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又
x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''
0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,
所以x r xe y 12=也是方程的解, 且
x e xe y y x
r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为
x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时,
函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.
函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),
y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),
y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2
1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i
x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.
可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.
因此方程的通解为
y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:
第一步 写出微分方程的特征方程
r 2+pr +q =0
第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.
例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.。