高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案

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2012 届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习讲课设计
4.9 三角函数的最值
●知识梳理 1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.常转变为y= sin （x+ ），此中 tan = . 2.y=asin2x+bsinx+c型.常经过换元法转变
为 y=at2+bt+c 型. 3.y= 型. （1）转变为型 1. （2）转变为直线的斜率求解 . 4. 利用单调性 . ●点击双基 1. （2000 年全国）若 0＜α＜β＜，sin α+cosα=a，sin β+cosβ=b，则 A.a ＜b＜1 B.a ＞b
＞1 C.ab ＜1 D.ab ＞1 解析： a= sin （α+ ），b= sin （β+ ），0＜α+ ＜β+ ＜，∴1＜a＜b，ab＞1. 答案：D 2. 函数 f（x）=cos2x+sinx 在区间［－，］上的最小值是A. B. － C. －1 D. 解析： f （x）=1
－s in2x+sinx= －（ sinx －）2+ . ∴当 x=－时， ymin= . 答案： D
3. 函数 y=x－sinx 在［，π］上的最大值是 A. －1 B. +1 C. － D. π
解析： y=x－sinx 在［，π］上是增函数，∴ x=π时，ymax=π. 答案： D 4.y= 的最大值是 _________，最小值是 _________. 解析一：
y= =1－ . 当 sinx= －1 时，得 ymin=－1，当 sinx=1 时，得 ymax= . 解
析二：原式 sinx= （∵ y≠1） | | ≤1 －1≤y≤ . ∴ymax= ，ymin=
－1. 答案：－1 5.y= （0＜x＜π）的最小值是 ________. 解析一：
y= ysinx+cosx=2 sin （x+ ）=2 sin （x+ ）= （x∈（ 0，π）） 0 ＜
≤1 y ≥ . ∴ymin= . 解析二：y 可视为点 A（－ sinx ，cosx），B
（0，2）连线的斜率 kAB，而点 A的轨迹 x∈（ 0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（以以以下图），易知当 A（－，）时，
ymin=kAB=.
答案：●典例解析【例1】函数y=acosx+b（a、b 为常数），若－7≤y≤1，求 bsinx+acosx 的最大值 . 解析：函数 y=acosx+b 的最值与 a 的符号有关，故需对a 分类谈论 . 解：当a＞0 时，a=4 ，b=－3；当a=0 时，不合题意；当 a＜0 时， a= －4，b=－3. 当 a=4，b=－3时，bsinx+acosx= －3sinx+4cosx=5sin （x+ ）（tan = －）；当 a=
－4，b=－3 时，bsinx+acosx= －3sinx －4cosx=5sin（x+ ）（tan = ）.∴bsinx+acosx 的最大值为 5. 【例 2】求函数 y=cot sinx+cotxsin2x
的最值 .解析：先将切函数化成弦函数，再经过配方转变为求二次函
数的最值问题 .解：y= ?sinx+ ?2sinxcosx=2（cosx+）2+ .∵sinx≠0，∴cosx≠± 1. ∴当 cosx=－时， y 有最小值，无最大值.谈论：这
是个基此题型，解题时要注意式中的隐含条件. 【例 3】求函数 y= 的
最大值和最小值 .解析：此题的解法好多，一是利用三角函数的有界
性；二是数形联合法，将y 看作是两点连线的斜率；三是利用全能公
式换算，转变为一元函数的最值问题（因为全能公式不要求掌握，所
以此方法只作认识即可） .解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2
－2y，即 sin （x－）= . 故≤1，解得≤y≤ . ∴ymax= ，ymin= .
解法二：令 x1=cosx，y1=sinx ，有 x12+y12=1. 它表示单位圆，则所给
函数 y 就是经过定点 P（2，2）以及该圆上的动点 M（cosx，sinx ）的
直线 PM的斜率 k，故只需求此直线的斜率 k 的最值即可 . 由 =1 ，
得 k= . ∴ymax= ，ymin= . 谈论：数形联合法是高考中必考的数学思想
方法，对此读者要有足够的重视 . ●闯关训练夯实基础 1. 函数
y=log2（1+sinx ）+log2（1－sinx ），当 x∈［－，］时的值域为 A. ［－ 1，0］ B. （－ 1，0］ C. ［0，1） D. ［0，1］解析： y=log2
（1－sin2x ）=log2cos2x. 当 x=0 时， ymax=log21=0；当 x= 时，ymin=－1. ∴值域为［－ 1，0］.答案：A 2.当y=2cosx－3sinx获得
最大值时， tanx 的值是 A. B. －解析：y= sin（－x）（其
中 tan = ）.y 有最大值时，应 sin （－x）=1 －x=2kπ+ －x=2kπ+
－. ∴tanx= －tan（－ x）=－tan（2kπ+ －）=－cot =－ = － . 答案：B 3. 函数y= 的最大值是_______，最小值是_______. 解析：∵y= = =3 －，∴当 sinx=1 时， ymax=3－ = ；当 sinx= －1 时， ymin=
－4. 答案：－4 4. 在△ ABC中， a=sin （A+B），b=sinA+sinB ，则 a
与 b 的大小关系为 _______. 解析： a=sinAcosB+cosAsinB ＜
sinA+sinB=b. 答案：a＜b 5.（2004 年湖南，13）已知向量 a=（cos θ，sin θ），向量 b=（，－1），则|2a －b| 的最大值是 ____________. 解析：∵ 2a－ b=（2cosθ－，2sin θ+1），∴|2a －b|= = ≤4. ∴|2a
－b| 的最大值为 4.答案： 4 6.求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.解：设 t=sinx+cosx ，则 t ∈［－，］.由（sinx+cosx ）2=t2 sinxcosx= .
∴y=1+t+ = （t+1 ）2. ∴ymax=（ +1 ）2= ，ymin=0. ∴值域为［0，］.培
育能力 7. 已知对任意 x，恒有 y≥sin2x+4sin2xcos2x ，求 y 的最小值 . 解：
令 u=sin2x+4sin2xcos2x ，则 u=sin2x+sin22x= （1－cos2x）+（1－cos22x）=－cos22x－ cos2x+ =－（cos2x+ ）2+ ，得
umax= . 由 y≥u知 ymin= . 8. （2005 年北京海淀区高三期末练习）已
知向量 a=（cos ，sin ），b=（cos ，－ sin ），c=（，－ 1），其
中 x∈R. （ 1）当 a⊥b时，求 x 值的会集；（2）求 |a －c| 的最大值. 解：（1）由 a⊥b得 a?b=0，即 cos cos －sin sin =0. 则 cos2x=0，
得 x= + （k∈Z）. ∴{x|x= + ，k∈Z} 为所求 . （2）|a －c|2= （cos
－）2+（sin +1 ）2=5+4sin （－），∴|a － c| 有最大值 3. 研究创新9. 设函数 f （x）=asin ωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，而且当 x= 时，有最大值 f（）=4. （1）求 a、b、ω 的值；（2）若角α、β的终边不共线， f （α）=f （β）=0，求 tan （α+β）的值 . 解：（1）由 = π，ω＞0 得ω=2. ∴f（x）=asin2x+bcos2x. 由 x= 时，f（x）的最大值为 4，得（2）由（1）得 f（x）=4sin（2x+ ）.依题意有 4sin （2α+ ）=4sin （2β+ ）=0. ∴sin （ 2α+ ）－sin
（2β+ ）=0. ∴cos（α+β+ ）sin （α－β）=0（和差化积公式见课本） . ∵ α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z），故 sin
（α－β）≠ 0. ∴α+β=kπ+ （k∈Z）. ∴tan （α+β）= .●思
悟小结 1. 求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次
函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利
用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形联合法（常用到直线的
斜率关系）；④换元法（如全能公式，将三角问题转变为代数问题）；
⑤基本不等式法等 . 2. 三角函数的最值都是在给定区间上获得的，因
而特别要注意题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般
要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数
的有界性 . （2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响. 3.注意题中的隐含条件 . ●教师下载中心讲课点睛 1. 建议让学生从做“点击双基”中意会总结方法 . 2. 例题也可由学生独立完成，并从中总
结方法 . 拓展题例【例题】（2001 年春天全国）已知
sin2 α+sin2 β+sin2 γ=1（α、β、γ均为锐角），那么
cosαcosβcosγ的最大值等于 _______. 解析：
∵s in2 α+sin2 β+sin2 γ=1，∴ 3－（ cos2α+cos2β+cos2γ）=1.
∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3 .∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3.
∴cosαcosβcosγ≤ = = .答案：。