陕西省西安中学2018届高三上学期10月月考数学理试题

西安中学高2018届高三第一次月考
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设i 是虚数单位，若复数1i
z i
=
+，则z =（ ） A ．1122i - B ．112i + C ．1
12
i - D ．1122i +
2.若集合{A x y ==，{1}B x x =≥-，则A
B =（ ）
A ．[1,1)-
B ．[1,0]-
C ．(1,)-+∞
D ．(0,1]
3.赵大姐常说“便宜没好货”她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
4.指数函数()x f x a =（0,1a a >≠），在R 上是减函数，则函数3()(2)g x a x =-在R 上的单调性为（ ）
A ．单调递增
B ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增 C. 单调递减 D ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减
5.若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2f x =
，2()0f x =，且12x x -的最小值为3π，则ω的值为（ ） A ．
16 B ．13 C. 4
3
D ．2 6.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2
π
ϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）
A ．2，0
B ．2，
4π C. 2，3π- D ．2，6
π
7.函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对
(,)M T 为（ ）
A ．(5,)π
B ．(4,)π C. (1,2)π- D ．(4,2)π 8.设AB
C ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin()cos 6
A A π
-=，则角A 的大
小为（ ）
A ．
56π B ．6π C. 23π D ．3
π
9.函数2()2x
f x a x
=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,2) C. (0,3) D ．(0,2)
10.已知函数2
()(21)3x f x x e ax a =-+-（0x >）在(0,)+∞上为增函数，则a 的取值范
围是（ ）
A ．[)-+∞
B ．3[,)2e -
+∞ C. (,-∞- D ．3(,]2
e -∞- 11.已知()
f x 是定义是R 上的奇函数，满足33()()22f x f x -+=+，当3
(0,)2
x ∈时，
2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ）上的零点个数是
（ ）
A ．3
B ．5 C.7 D ．9 12.已知函数3
21()3
f x x a x =
-，若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有12()()1f x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[33-
B ．(,33- C. 23
[(0,]33
-
D
．23
((0,)33
-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知712sin()cos()2
225π
παα-
--
+=，且04
π
α<<，则sin α= cos α= ．
14.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：
数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*
n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则
123420162017x x x x x x ++++++的值为 ．
15.已知函数22
,0
()ln(1)4,0
x x f x x
x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，则关于x 的方程2(4)6f x x -=的不同实根的个数为 ．
16.已知函数2,(0)
()21,(0)
x e x f x ax x -⎧-≤=⎨->⎩（a 是常数且0a >），对于下列命题：
①函数()f x 的最小值是1-； ②函数()f x 在R 上是单调函数；
③若()
0f x >在1[,
)2
+∞上恒成立，则a 的取值范围是1a >； ④对任意的120,0x x <<且12x x ≠，恒有1212()()
()22
x x f x f x f f ++< 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知72c =
，ABC ∆ta n ta n ta n 1)A B A B +=-
.
（1）求角C 的大小； （2）求a b +的值.
18. 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，0
90ACB ∠=，侧面PAB 为等边三角
形，侧棱PC =
（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AP C --的余弦值.
19. 近年空气质量逐步雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为
5
. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差，下面的临界值表供参考：
（参考公式2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）
20. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .
（1）若e =
（2）设直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点，若坐标
原点O 在以MN 为直径的圆上，且
2e <≤
，求k 的取值范围. 21. 已知函数2()2x f x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21
()(352)02
f x x x k +
--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨=+⎩
（0απ≤<，t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
24cos sin θ
ρθ
=
.
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C 的形状； （2）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段C 的长. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数2()log (12)f x x x m =++--. （1）当7m =，求函数()f x 的定义域；
（2）若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围
西安中学高2017届高三第一次月考 数学试题（理科）参考答案及评分参考
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【解析】（Ⅰ）
tan tan tan 1)A B A B +-,
tan tan
tan()1tan tan A B
A B A B
+∴+=
=-
又∵,,A B C 为ABC ∆的内角，23
A B π∴+=， ∴3
C π
=
．
（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆=
=
3C π=得6ab =，
又22222()21cos 222a b c a b c ab C ab ab +-+--=
==，7
2c =． 11
2
a b ∴+=
． 18．【解析】（Ⅰ）证明：设AB 中点为D ，连结PD ，CD ， 因为AP BP =，所以PD AB ^. 又AC BC =，所以CD AB ^.
所以PDC ∠就是二面角P AB C --的平面角. 又由已知90ACB
?o ，2AC BC ==，
所以AD BD CD ===
AB =
又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，
所以PD =
因为PC =2
2
2
PC CD PD =+. 所以90CDP
?o .
所以平面PAB ^平面ABC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知(0, 0, 0)D
，C
，(0,A -
，(0, 0,P .
所以AC =u u u r
，PC =-u u u r
.
设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，
则0,0.AC PC
ìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n
即0,0.
ìï+=ïí
ï-
=ïî 令1x =，则1y =-
，z =
. 所以平面PAC
的一个法向量为(1, 1,=-n .
易知平面PAB
的一个法向量为DC =u u u r
.
所以cos , 7||||
DC DC DC ×<>==uuu r
uuu r uuu r n n n .
由图可知，二面角B AP C --为锐角. 所以二面角B AP C --
的余弦值为
7
.
19.【解析】（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5
3
，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：
22
2
()50(2015510)()()()()(205)(1015)(2010)(515)n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==
++++++++
8.3337.879≈>.
故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. （Ⅱ）离散型随机变量ξ的所有可能取值为：0,1,2,3.
373107
(0)24C P C ξ===，21733
1021(1)40C C P C ξ===， 12733107(2)40C C P C ξ===
，333101
(3)120
C P C ξ===.
所以ξ的分布列如下：
∴19012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 222297921979149
(0)(1)(2)(3)10241040104010120100
D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
20．【解析】（Ⅰ）由题意得3,c c a ==
a =. 又因为222a
b
c =+，∴23b =.
所以椭圆的方程为
13122
2=+y x . （Ⅱ）由22
221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222222
()0b a k x a b +-=.
设1122(,),(,)A x y B x y .所以22
1212222
0,a b x x x x b a k
-+==+， 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥. 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，
所以2
221212
12(3)(3)
(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=.
即
222222
(9)(1)90(9)
a a k a k a --++=+-， 将其整理为 4222
4242
188181
11818a a k a a a a
-+==---+-. 因为
2
322≤
<e ，所以a <，2
1218a ≤<. 所以2
18k ≥
，即2
(,(,]k ∈-∞+∞.
21．【解析】（Ⅰ）2()2x f x e x a b =-++，()2x f x e x '=-.
由题意知(0)1201(0)11f a b a f b b =++==-⎧⎧⇒⎨⎨
'===⎩⎩
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2()1x f x e x =--， ∴21()(352)02
f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立
215
1022
x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立
215
122
x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立.
令215
()122x h x e x x =+
--，则5()2
x h x e x '=+-. 由于()10x h x e ''=+>，所以()h x '在R 上单调递增.
又3(0)02h '=-<，3(1)02
h e '=->，1
2
1()202h e '=-<，343737()104444h e '=->+-=，
所以存在唯一的013
(,)24
x ∈，使得0()0h x '=，且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以02min 00015
()()122x h x h x e x x ==+--. 又0()0h x '=，即00502x e x +-=，∴005
2
x e x =-. ∴ 22
0000005151()1(73)2222
h x x x x x x =
-+--=-+. ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328
h x ∈--. 又因为215
122
x k e x x ≤+
--对任意x ∈R 恒成立0()k h x ⇔≤， 又k ∈Z ，∴ max 1k =-.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.选修4－4：坐标系与参数方程 【解析】（Ⅰ）由2
4cos sin =
θ
ρθ
可得22sin 4cos =ρθρθ，即24y x =， ∴ 曲线C 表示的是焦点为(1,0)，准线为1x =-的抛物线.
（Ⅱ）将(1,0)代入cos 1sin x t y t =⎧⎨=+⎩αα，得1cos 01sin t t =⎧⎨=+⎩
αα，∴ tan 1=-α， ∵ 0≤<απ，∴ 34=πα，∴直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入24y x =
得220t ++=，
由直线参数方程的几何意义可知，
12||||8AB t t =-===.
23.选修4－5：不等式选讲
【解析】（Ⅰ）当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集. 由于1270x x ++-->⇔
1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩
. ⇔ 3x <-或无解或4x >.
所以函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞.
（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-.
所以m 的取值范围是(,1]-∞-.
西安中学高2017届高三第一次月考
数学试题（理科）参考答案及评分参考三、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
四、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）tan tan tan
1)A B A B +=-,
tan tan tan()1tan tan A B A B A B +∴+=
=-…………3分 又∵,,A B C 为ABC ∆的内角，23A B π∴+=， ∴3C π
=． …………6分
（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆==3C π=得6ab =， ……………9分
又22222()21cos 222a b c a b c ab C ab ab +-+--===，7
c =． 112a b ∴+=． ……………… 12分 18．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）证明：设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，
因为AP BP =，所以PD AB ^.
又AC BC =，所以CD AB ^.
所以PDC ∠就是二面角P AB C --的平面角. ………2分
又由已知90ACB ?o ，2AC BC ==，
所以AD BD CD ===
AB = 又PAB D 为正三角形，且PD AB ^，
所以PD = ……………………4分
因为PC =222PC CD PD =+.
所以90CDP ?o .
A
所以平面PAB ^平面ABC .………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
易知(0, 0, 0)D
，C
，(0,A -
，(0, 0,P .
所以AC =u u u r
，PC =-u u u r .…………………8分
设平面PAC 的法向量为(, , )x y z =n ，
则0,0.AC PC ìï?ïíï?ïïîuuu r uu u r n n
即0,0.ìï+=ïíï-=ïî 令1x =，则1y =-
，3
z =. 所以平面PAC 的一个法向量为(1, 1, )3
=-n . ………………10分 易知平面PAB
的一个法向量为DC =u u u r .
所以cos , 7||||
DC DC DC ×<>==uuu r uuu r uuu r n n n . 由图可知，二面角B AP C --为锐角.
所以二面角B AP C --
的余弦值为
7.……………………12分 19.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5
3，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：
……………………………………2分 22
2
()50(2015510)()()()()(205)(1015)(2010)(515)n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++++++
8.3337.879≈>. ………………………4分
故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.……………………6分
（Ⅱ）离散型随机变量ξ的所有可能取值为：0,1,2,3.
373107(0)24C P C ξ===，217331021(1)40
C C P C ξ===， 12733107(2)40C C P C ξ===，333101(3)120
C P C ξ===.………………………8分 所以ξ的分布列如下：
∴721012324404012010
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………10分 222297921979149(0)(1)(2)(3)10241040104010120100
D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. ……………………………………12分
20．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由题意得3,c c a ==a =. ………………2分 又因为222a b c =+，∴23b =.
所以椭圆的方程为13
122
2=+y x . ………………4分 （Ⅱ）由22
221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222222()0b a k x a b +-=.
设1122(,),(,)A x y B x y .所以22
12122220,a b x x x x b a k
-+==+，………………6分 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥.
因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，
所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=.………………8分
即 222222(9)(1)90(9)
a a k a k a --++=+-， 将其整理为 4222
424218818111818a a k a a a a -+==---+-. ………………10分
因为2
322≤<e ，所以a <，21218a ≤<.
所以218k ≥，即2(,(,]k ∈-∞+∞.………………………………12分 21．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）2()2x f x e x a b =-++，()2x f x e x '=-.
由题意知(0)1201(0)11f a b a f b b =++==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩
. ………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2()1x f x e x =--，
∴21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立
2151022
x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立 215122
x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立. ………………………………6分 令215()122x h x e x x =+--，则5()2
x h x e x '=+-. 由于()10x h x e ''=+>，所以()h x '在R 上单调递增.
又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121()202h e '=-<，343737()104444
h e '=->+-=， 所以存在唯一的013
(,)24
x ∈，使得0()0h x '=，且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.……8分
所以02min 00015()()122
x h x h x e x x ==+--.
又0()0h x '=，即00502x e x +-
=，∴0052x e x =-. ∴ 220000005151()1(73)2222
h x x x x x x =-+--=-+.………………………………10分 ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈-
-. 又因为215122
x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立0()k h x ⇔≤， 又k ∈Z ，∴ max 1k =-. ………………………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
【解析】（Ⅰ）由24cos sin =θρθ
可得22sin 4cos =ρθρθ，即24y x =， ∴ 曲线C 表示的是焦点为(1,0)，准线为1x =-的抛物线. ……………………5分
（Ⅱ）将(1,0)代入cos 1sin x t y t =⎧⎨=+⎩αα，得1cos 01sin t t =⎧⎨=+⎩αα
，∴ tan 1=-α，
∵ 0≤<απ，∴ 34=πα，∴直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入24y x =
得220t ++=，
由直线参数方程的几何意义可知，
12||||8AB t t =-===. ………………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
【解析】（Ⅰ）当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集. 由于1270x x ++-->⇔
1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩. ⇔ 3x <-或无解或4x >.
所以函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞.………………………………5分
（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-.
-∞-. …………………………10分所以m的取值范围是(,1]。