2018届高考数学(文)大一轮复习检测第二章函数、导数及其应用课时作业15Word版含答案

课时作业15 导数与函数的极值、最值
一、选择题
1．当函数y ＝x ·2x
取极小值时，x ＝( ) A.1ln2
B ．－1ln2
C ．－ln2
D ．ln2
解析：y ′＝2x
＋x ·2x ln2＝0，∴x ＝－1ln2
. 答案：B
2．函数f (x )＝x 3－3x 2
＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2
D ．4
解析： f ′(x )＝3x 2
－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或2.∴f (x )在[－1,0)上是增函数，
f (x )在(0,1]上是减函数．∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2.
答案：C
3．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx －a 2
－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b
的值为( ) A ．－23
B ．－2
C ．－2或－2
3
D ．2或－2
3
解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即
⎩
⎪⎨⎪⎧
3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2
－7a ＝10，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－6，
b ＝9，经检验⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－6，
b ＝9
满足题意，故a b ＝－2
3
，选A.
答案：A
4．若函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d 有极值，则导函数f ′(x )的图象不可能是( )
解析：若函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也
就是说导函数f ′(x )在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x 轴，观察四个选项中的图象只有D 项是不符合要求的，即f ′(x )的图象不可能是D.
答案：D
5．(2017·唐山质检)若函数y ＝x 3
－32x 2＋a 在[－1，1]上有最大值3，则该函数在[－
1,1]上的最小值是( )
A ．－12
B ．0 C.12
D ．1
解析：令y ′＝3x 2
－3x ＝3x (x －1)>0， 解得x >1或x <0， 令y ′<0，解得0<x <1，
所以当x ∈[－1,1]时，[－1,0]函数增，[0,1]函数减，所以当x ＝0时，函数取得最大值f (0)＝a ＝3，y ＝x 3
－32x 2＋3，f (－1)＝12，f (1)＝52，所以最小值是f (－1)＝12
.故选C.
答案：C
6．若函数f (x )＝x 3
－3x 在(a,6－a 2
)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2,1)
D ．(－5，－2]
解析：f ′(x )＝3x 2－3＝0，
得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点． 函数f (x )在区间(a,6－a 2
)上有最小值，
则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2
)内，即实数a 满足a <1<6－a 2
且f (a )＝a 3
－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1， 不等式a 3
－3a ≥f (1)＝－2，
即a 3
－3a ＋2≥0，即a 3
－1－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2
＋a －2)≥0， 即(a －1)2
(a ＋2)≥0，即a ≥－2. 故实数a 的取值范围是[－2,1)．故选C. 答案：C 二、填空题
7．函数f (x )＝x 3
3＋x 2
－3x －4在[0,2]上的最小值是________． 解析：f ′(x )＝x 2
＋2x －3，
令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，
又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－17
3.
答案：－17
3
8．函数f (x )＝ax 3
＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间， 即函数f (x )恰有两个极值点， 即f ′(x )＝0有两个不等实根． 因为f (x )＝ax 3＋x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋1.
要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0)
9．(2017·淄博联考)已知函数f (x )＝x 3
＋mx 2
＋(m ＋6)x ＋1存在极值，则实数m 的取值范围为________．
解析：因为函数f (x )＝x 3
＋mx 2
＋(m ＋6)x ＋1存在极值，所以f ′(x )＝3x 2
＋2mx ＋m ＋6＝0，它有两个不相等的实根，所以Δ＝4m 2
－12(m ＋6)>0，解得m <－3或m >6.
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞) 三、解答题
10．设函数f (x )＝a ln x －bx 2
(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝a x －2bx (x >0)，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2相切，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－1
2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1
2
.
(2)f (x )＝ln x －12x 2
，
f ′(x )＝1x －x ＝1－x
2
x
，
∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1
e ≤x <1；
令f ′(x )<0，得1<x ≤e，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，1上单调递增， 在[1，e]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1
2.
11．已知函数f (x )＝1＋ln x
x
.
(1)若函数f (x )在区间(a ，a ＋2
3)(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围；
(2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥
m
x ＋1
恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)因为函数f (x )＝1＋ln x x ，且定义域为{x |x >0}，所以f ′(x )＝－ln x
x
2.当0<x <1
时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f (x )在x ＝1处取得极大值1.
∵函数f (x )在区间(a ，a ＋2
3
)(其中a >0)上存在极值，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <1，a ＋2
3
>1，解得1
3
<a <1.
(2)当x ≥1时，不等式f (x )≥m
x ＋1
，
即为
x ＋
＋ln x
x
≥m .
记g (x )＝x ＋
＋ln x
x ，
∴g ′(x )＝x ＋
＋ln x x －x ＋＋ln x
x
2
＝
x －ln x
x 2
. 令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1
x
，∵x ≥1，∴h ′(x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴h (x )min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也是单调递增，∴
g (x )min ＝g (1)＝2，∴m ≤2.
1．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．1
解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1
a
，
当0<x <1
a
时，f ′(x )>0；
当x >1
a
时，f ′(x )<0.
所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
＝－ln a －1＝－1， 解得a ＝1. 答案：D
2．(2017·安徽模拟)已知函数f (x )＝e x
x
2－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个
极值点，则实数k 的取值范围为( )
A ．(－∞，e]
B ．[0，e]
C ．(－∞，e)
D ．[0，e)
解析：f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2x 2＋1x
＝
x －
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
e x
x －k x 2
(x >0)．设g (x )＝e
x
x
，
则g ′(x )＝
x －
x
x 2
，则g (x )在(0,1)内单调减，在(1，＋∞)内单调增．
∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e
x
x
与y ＝k 的图象可知，要满
足题意，只需k ≤e，选A.
答案：A
3．设函数f (x )＝x 3
－x 2
2－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的
取值范围是________．
解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2
－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23
，又
f (1)＝7
2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝157
27，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，∴a <7
2
.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，72 4．(2016·山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2
＋(2a －1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(Ⅱ)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(Ⅰ)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax
x
.
当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； 当a >0时，x ∈(0，1
2a
)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，
x ∈(1
2a
，＋∞)时，函数g (x )单调递减．
所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；
当a >0时，g (x )的单调增区间为(0，12a )，单调减区间为(1
2a ，＋∞)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，
所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．
②当0<a <12时，12a >1，由(Ⅰ)知f ′(x )在(0，1
2a
)内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，
f ′(x )<0，x ∈(1，1
2a
)时，f ′(x )>0.
所以f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，1
2a )内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，
不合题意．
③当a ＝12时，1
2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a <1，当x ∈(1
2a ，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意．
综上可知，实数a 的取值范围为a >1
2
.。