测试卷01(B卷)-2015-2016学年高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版选修1-1)(解析版)

班级 姓名 学号 分数
（测试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题（每题4分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1. 命题“2
0,320x x x ∀>-+<”的否定是 ． 【答案】20,320x x x ∃>-+≥ 【解析】
试题分析：命题“,x p ∀”的否定为“,x p ∃⌝”，因此命题“2
0,320x x x ∀>-+<”的否定是“2
0,320x x x ∃>-+≥”.
2. 以双曲线22145
x y -=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 .
【答案】x y 122
=
3. 过曲线x x y -=4
上点P 处的切线平行于直线23+=x y ，那么点P 的坐标为_______ 【答案】()0,1 【解析】
试题分析：设P 点的坐标()00,y x ，求导得143
-='x y 由导数的几何意义314|3
00=-='=x y x x ，解得10=x
01140=-=y ，故P 点坐标为()0,1．
4. “x>1”是“>2
x x ”的____________条件(填充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要)． 【答案】充分不必要 【解析】
试题分析：由于>2x x ⇔x ＜0或x ＞1．
∴当“x＞1”时，“>2
x x ”成立 即“x＞1”是“|x|＞1”充分条件；
当“>2
x x ”成立时，x ＞1或x ＜0，即“x＞1”不一定成立． 即“x＞1”是“>2
x x ”不必要条件．
“x＞1”是“>2
x x ”充分不必要条件．故答案为：充分不必要．
5. 【2014-2015学年福建省莆田二十四中高二下学期期中考试】已知}2|1||{<-=x x A ，
}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈，则实数m 的取值范围 ．
【答案】()+∞,2
考点：1．充分条件与必要条件；2．集合间的关系．
6．【2014-2015学年河北省保定市高阳中学高二3月月考】以椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的两个焦点2
1F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且421=F F ，则a 等于________． 【答案】13+ 【解析】
试题分析：根据题意，421=F F ，21=BF ，322=BF ，()
312221+==+a BF BF ，所以31+=a 考点：1．椭圆的定义；2．等边三角形的性质．
7.【2014-2015学年山东省华侨中学高二4月月考】函数g(x)＝ax 3
＋2(1－a)x 2
－3ax 在区间)3
,(a -∞内单调递减，则a 的取值范围是________
【答案】[-1,0] 【解析】
试题分析：由题可知，a x a ax x g 3)1(43)(2
--+='，)(x g 在)3,(a -∞内单调递减，故)(x g '在)3
,(a -∞上小于等于0，当0=a 时，0)(≤'x g ，解得0≤x ，即)(x g 的减区间是)0,(-∞，所以当
03
≤a
时，)(x g 在)3,(a -∞内单调递减，故0=a ，当0>a 时，)(x g '是一个开口向上的抛物线，要使)(x g '在)3
,(a
-∞上小
于等于0，解得a 无解，当0<a 时，)(x g '是一个开口向下的抛物线，设)(x g '与x 轴的左右两交点为
)0,(),0,(21x B x A ，由韦达定理知，a
a x x 3)
1(421--
=+，121-=x x ，解得a a a a x 31210)1(221+-+---=，则在A 左边和B 的右边的部分0)(≤'x g ，又知)(x g 在)3,(a
-∞递减，即)(x g '在)3
,(a -∞上小于等于0，所以3
1a
x ≥
，解得51≤≤-a ，取交集，得01<≤-a ，故a 的取值范围是01≤≤-a ； 考点：利用导数研究函数的单调性
8. 【2015届江西省临川一中高三5月模拟】平面直角坐标系中,若x 与y 都是整数,就称点(,)x y 为整点,下列命题正确的是____
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数,则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤
9．【2015届广东省深圳市高三第二次调研考试】已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线2
4y x =的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于 ．
【解析】
试题分析：抛物线的准线1x =-与双曲线的渐近线b y x a =?的交点分别为(1,),(1,)b b
a a
---，所以对应的
三角形的面积为1
21
12b b
a a
鬃==. 考点：双曲线的离心率.
10. 【2016届河北省定州中学高三第一次月考】设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=，若对于任意的]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为________． 【答案】4
考点：导数的运算、恒成立问题．
11.【2015届山东省潍坊市重点中学高三上学期期中】如图，在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，最大容积是 ．
【答案】16000cm 3
【解析】
试题分析：设箱底边长为xcm ，结合题意可得容积V （x ）=（60x 2
﹣x 3
）（0＜x ＜60）．再用导数工具研究V （x ）在区间（0，60）上的单调性，可知当x=40时V （x ）达到最大值．由此得到本题答案． 解：设箱底边长为xcm ，则箱高h=
，
∴箱子容积V （x ）=x 2
h=（60x 2
﹣x 3
）（0＜x ＜60）． 求导数，得V′（x ）=60x ﹣x 2
，
令V′（x ）=60x ﹣x 2
=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=40，
∵x ∈（0，40）时，V′（x ）＞0；x ∈（40，60）时，V′（x ）＜0 ∴V （x ）在区间（0，40）上为增函数，区间（40，60）上为减函数 由此可得V （x ）的最大值是V （40）=16000． 故答案为：16000cm 3
．
12. 【2013-2014学年河北保定高阳中学、定兴三中高二下学期期末】有下列几个命题： ①函数122++=x x y 在),0(+∞上是增函数；②函数1
1
+=
x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是［－2，+∞）
；④已知)(x f 在R 上是增函数，若0>+b a ，则有)()()()(b f a f b f a f -+->+．其中正确命题的序号是______________．
【答案】①④
13. 【2013-2014学年湖北省咸宁市高二下学期期末】我们把离心率2
1
5+=
e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()
2222
22,0,01b a c b a b
y a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：
①双曲线11
522
2
=+-
y x 是黄金双曲线； ②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；
③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且0
21190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 _________ ．
【答案】①②③④
14. 【2013-2014学年湖北省荆门市高二下学期期末质量检测】对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点” .某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数32115
()33212
f x x x x =
-+-，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
（1）函数32115
()33212f x x x x =-+-的对称中心为 ； （2）计算123()()()201320132013f f f +++ (2012)
()2013f += .
【答案】（1）1
(,1)2
， （2）2012
【解析】
试题分析：()12
5
3213123-+-=
x x x x f ，()()12,3''2'-=+-=∴x x f x x x f 令()2
1
012'
'=⇒=-=x x x f ，因为
112521321212131212
3
=-⨯+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，所以函数
32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1(,1)2；因为函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1
(,1)2
，
所以()()21=-+x f x f ，所以123(
)()()201320132013f f f +++…2012()2013
f +=201210062=⨯. 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知命题p ：“任意的x ∈[1,2]，x 2
－a≥0”；
命题q ：“存在x 0∈R ，x 02
＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q”是真命题． 求实数a 的取值范围． 【答案】a≤－2或a ＝1.
16. 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+ （1）若2
'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围 （2）证明：(1)()0x f x -⋅≥
【答案】（1）1-≥a （2）见解析
17. 抛物线的顶点是椭圆16x 2+25y 2
=400的中心，而焦点是椭圆的右焦点，求此抛物线的方程． 【答案】y 2
=12x ． 【解析】
试题分析：将椭圆16x 2
+25y 2
=400的方程标准化，求得其焦点坐标，依题意即可求得抛物线的方程． 解：椭圆方程可化为+=1，
∵c 2
=25﹣16=9，c=3，
故中心（0，0），右焦点为（3，0）． 设抛物线的方程为y 2
=2px （p ＞0），
则=3，故p=6，
所以抛物线方程为y 2=12x ．
18. 【2015届湖北省浠水实验高中高三上学期期中】对于函数2
()()1
x
f x a a R e =-∈+. （1）确定()f x 的单调区间；
（2）求实数a ，使()f x 是奇函数，在此基础上，求()f x 的值域.
【答案】（1）()f x 的递增区间是(,)-∞+∞. （2）1a =，()f x 的值域是(1,1)-
19. 【2014-2015学年江苏省阜宁中学高二10月第一次学情测试】已知椭圆C 过点M ，点(F 是椭圆的左焦点，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且PF 、MF 、QF 成等差数列． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .
【答案】（1）22
142
x y +=；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）求椭圆C 的标准方程，设椭圆C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
+=>>，由已知点(F 是
椭圆的左焦点，可得c =
C 过点M ，将点M 代入椭圆方程解出,a b 即可得
椭圆C 的标准方程；（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ，由已知PF 、MF 、QF 成等
差数列，可得2MF PF QF =+
，由于2=+
，而点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，可设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，这样
得12PF x =
，22QF x =，代入2MF PF QF =+，求得122x x +=，因此可设线段PQ 的中点为(1,)N n ，再由221122
2224
24
x y x y ⎧+=⎨+=⎩，可得12121212
12y y x x
x x y y -+∴
=--+，得斜率为12PQ
k n =-，写出线段PQ 的垂直平分线即可证出.
122x x ∴+=. 8分
（ⅰ）当12x x ≠时，由221122222424
x y x y ⎧+=⎨+=⎩得222212122()0x x y y -+-=， 12121212
12y y x x x x y y -+∴=--+. 设线段PQ 的中点为(1,)N n ，由121212PQ y y k x x n -=
=--， 得线段PQ 的中垂线方程为2(1)y n n x -=-， 11分
(21)0x n y ∴--=，该直线恒过一定点1(,0)2
A . 12分 （ⅱ）当12x x =时，
(1,P
，Q
或P
，(1,Q ， 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点1(,0)2A .
综上，线段PQ 的中垂线过定点1
(,0)2
A . 16分
可得122x x +=，从而1222y y k b +=+ 8分
由（3）式及122x x +=得2
122k b k
+=- 所以直线PQ 的中垂线为1212()122y y x x y x k ++⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦
10分 化简得11()2
y x k =-
- 11分 故：直线PQ 的中垂线过定点1(,0)2A 13分 （ⅱ）若PQ 斜率不存在时：同解法一. 16分
18. 【2015届湖北省浠水实验高中高三上学期期中】对于函数2()()1
x f x a a R e =-
∈+. （1）确定()f x 的单调区间；
（2）求实数a ，使()f x 是奇函数，在此基础上，求()f x 的值域.
【答案】（1）()f x 的递增区间是(,)-∞+∞. （2）1a =，()f x 的值域是(1,1)-
：。