高等数学(下)(适用于经济类、管理类各专业)6.1-6.2

该直线的方程为x－x0l=y－y0m=z－z0n，
称其为空间直线的点向式方程.
特别地， 当l=0时， 直线方程为x=x0， y－y0m=z－z0n，
该直线是平面x=x0上的一条直线.
y=y0，
当l=m=0时， 直线方程为x=x0，
该直线是过点（x0， y0， 0）且平行于z轴的一条直线.
例7
解
求过两点P1（1， 2， -1）与P2（3， -2， 5）的直线方程.
类似于平面直角坐标系，
空间中的任意一点也可与三元有序数组（x， y， z）建立一一对应关系.
图6-2
如图6-3所示，对于空间中任意一点P，
可以过点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的三个平面，
这三个平面与坐标轴分别交于A、 B、 C三点，
这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次记为x、 y、 z.
这样一来， 点P就对应到了三元有序数组（x， y， z）；
即平面Oxy上的单位圆.
思考
平面Oxy上的单位圆还可以用其他的方程组来表示吗？
三、 平面与空间直线
1. 平面的方程
平面是特殊的曲面.
因此空间直角坐标系中的平面方程也是关于x、 y、 z的三元方程，
且平面方程的一般形式为Ax+By+Cz+D=0，
且A、 B、 C不全为零.
其中A、 B、 C、 D是常数，
该平面的方程为A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0，
称其为平面的点法式方程.
例6
在空间直角坐标系中，
求到两定点A（x1， y1， z1）和B（x2， y2， z2）距离相等的点的轨迹.
解
设P（x， y， z）是轨迹上的任意一点， 则|PA|=|PB|，
即√（x－x1）2+（y－y1）2+（z－z1）2=√（x－x2）2+（y－y2）2+（z－z2）2，
2. 空间直线的方程
在空间直角坐标系中， 直线可看作是两个平面的交线，
反之，
两个不平行的平面相交于一条直线. 当| A1， B1， C1 |和| A2， B2， C2 |不对应成比例时，
方程组
A1x+B1y+C1z+D1=0，
A2x+B2y+C2z+D2=0
称其为空间直线的一般式方程.
表示的是两个不平行平面的交线的方程，
各坐标轴的正向通常符合右手法则：
先使右手的大拇指、食指、中指互相垂直，
以大拇指和食指分别指向x轴和y轴的正向，
则中指指向z轴的正向.
图6-1
每两条坐标轴确定一个平面， 分别称为平面Oxy、平面Oyz、平面Ozx，
统称为坐标平面.
三个坐标平面将空间分为八个卦限， 如图6−2所示，
第一至第八卦限分别记为Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅵ、 Ⅶ、 Ⅷ.
二、 曲面与空间曲线
在空间直角坐标系中，如果曲面S上任意一点的坐标都满足三元方程F（x， y， z）=0；
同时， 坐标满足方程F（x， y， z）=0的所有点都在曲面S上，
则称方程F（x， y， z）=0为曲面S的方程.
思考
在空间直角坐标系中， 方程x2+y2=1表示怎样的曲面？
在空间直角坐标系中， 如何表示平面Oxy上的单位圆？
进而通过代数运算讨论这些几何对象的性质及其位置关系等.
类似地， 借助空间直角坐标系，
也可以用代数方法来研究空间中的点、线、面等几何对象.
一、 空间直角坐标系
建立如图6-1所示的空间直角坐标系O-xyz， 其中点O为坐标原点，
三条两两垂直的数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），
统称为坐标轴， 各坐标轴的单位长度通常是相同的，
记这两个曲面方程分别为F（x， y， z）=0和G（x， y， z）=0.
于是， 曲线C上任意一点的坐标都同时满足这两个曲面方程；
反之， 坐标同时满足这两个曲面方程的所有点都在曲线C上，
因此， 称方程组F（x， y， z）=0， G（x， y， z）=0为空间曲线C的方程.
例如， 方程组 x2+y2+z2=1， z=0 就表示单位球面与平面Oxy的交线，
在空间直角坐标系中， 坐标轴上点的坐标有怎样的特点？
坐标平面上点的坐标呢？
不同卦限中点的坐标有怎样的特点？
在平面直角坐标系中， 已知点A和点B的坐标，
可以确定线段AB的中点坐标以及A、 B两点间的距离.
类似地， 在空间直角坐标系中，
点A（x1， y1， z1）和点B（x2， y2， z2）的中点坐标为(x1+x2)/2， (y1+y2)/2， (z1+z2 )/2，
称与直线平行的非零向量为该直线的方向向量.
如果已知直线上一点P0（x0， y0， z0）和直线的方向向量s = |l， m， n|，
就可以唯一确定该直线且可以写出该直线的方程.
设P（x， y， z）是该直线上任意一点，
则向量P0P={x－x0， y－y0， z－z0}与直线的方向向量s={l， m， n}平行，
（2） x=－3表示过点（－3， 0， 0）且垂直于x轴（即平行于平面Oyz）的平面.
（3） z=0， x<0， y>0表示平面Oxy的第二象限.
（4） －1≤y≤1表示两个垂直于y轴的平行平面（y=－1和y=1）所夹的空间，
其中一个平面过点（0， -1， 0）， 另一个平面过点（0， 1， 0）.
其中6、 3、 2分别是该平面在x轴、y轴、z轴上的截距.
称与平面垂直的非零向量为该平面的法向量.
如果已知平面上一点P0（x0， y0， z0）和这平面的法向量n={A， B， C}，
就可以唯一确定该平面且可以写出该平面的方程.
设P（x， y， z）是该平面上任意一点，
则向量→P0P= | x－x0， y－y0， z－z0 |与平面的法向量n= | A， B， C |垂直，
P（x， y）是轨迹上的任意一点， 则|P0P|= （x－x0）2+（y－y0）2=R，
因此，在平面直角坐标系中到定点的距离等于定长R的点的轨迹方程是
（x－x0）2+（y－y0）2=R2，
它是坐标平面内以P0（x0， y0）为圆心、以R为半径的圆.
类似地， 在空间直角坐标系中， 设定点为P0（x0， y0， z0），
解得x = ±4√6， 因此，
所求点P的坐标为（ 4√6 ， 4， 2）或（- 4√6 ， 4， 2）.
例3
解释下列代数式在空间直角坐标系中表示的几何意义：
（1） z≥0；
解
(2） x=－3；
(3） z=0， x<0， y>0； (4） －1≤y≤1.
（1） z≥0表示平面Oxy上方（包含平面Oxy）的半空间.
图6-3
反之， 对于任意一个三元有序数组（x， y， z），
依次找到x轴上坐标为x的点A、 y轴上坐标为y的点B、 z轴上坐标为z的点C，
过这三点分别作垂直于该点所在坐标轴的平面， 这三个平面相交于点P.
于是， 三元有序数组（x， y， z）就对应到了点P.
这样就建立了空间中点P与三元有序数组（x， y， z）之间的一一对应关系.
点P在x轴上的射影点是Px(2， 0， 0)， 点P在y轴上的射影点是Py(0， -1， 0)，
点P在z轴上的射影点是Pz(0， 0， 3).
点P(2， -1， 3)关于平面Oxy的对称点是(2， -1， -3)，
关于x轴的对称点是(2， 1， -3)， 关于原点的对称点是(－2， 1， -3).
思考
可以求出该平面与坐标轴的三个交点的坐标.
若令其中一个变量为零，
则可以确定该平面与坐标平面的交线方程：
（1） 与平面Oxy的交线方程为
（2） 与平面Oyz的交线方程为
（3） 与平面Ozx的交线方程为
注
在空间直角坐标系中，
方程x+2y－6=0表示一个平行于z轴（即垂直于平面Oxy）的平面.
思考
在下列情形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 平面Ax+By+Cz+D=0具有怎样的特点：
并且， 不在轨迹上的点的坐标不满足该方程. 因此， 所求点的轨迹方程是
2（x1－x2）x+2（y1－y2）y+2（z1－z2）z=x12－x22+y12－y22+z12－z22.
如果将上述方程变形得，
可以看出， 所求的轨迹是过线段AB的中点( x1+x2/2， y1+y2/2， z1+z2/2)，
且垂直于向量AB= | x2－x1， y2－y1， z2－z1 |的平面.
A、 B两点间的距离为 （x1－x2）2+（y1－y2）2+（z1－z2）2
例2
设一直线过点A(6， 4， 2)， 且垂直于坐标平面Oyz，
求直线上一点P， 使它与点B(0， 4， 0)的距离为10.
解
根据题意， 设点P的坐标为（x， 4， 2），
则|PB|=√（x－0）2+（4－4）2+（2－0）2=10，
（1） D=0；
（2） A、 B、 C中恰有一个为零；
（3） A、 B、 C中恰有两个为零.
特别地， 当D≠0时，平面方程Ax+By+Cz+D=0可以化为x/a+y/b+z/c=1的形式，
称其为平面的截距式方程， 其中a、 b、 c称为平面在三条坐标轴上的截距.
若将例5中的方程化为截距式方程，
可得x/6+y/3+z/2=1，
P（x， y， z）是轨迹上的任意一点，
则|P0P|= （x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R，
因此，
在空间直角坐标系中到定点P0的距离等于定长R的点的轨迹方程是
（x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R2，
它是以P0（x0， y0， z0）为球心、以R为半径的球面.
由于空间曲线C可以看作两个曲面的交线，
即两向量的坐标对应成比例.
由此可得方程x－x0l=y－y0m=z－z0n，
因此， 直线上任意一点P（x， y， z）的坐标满足该方程；
反过来，
如果点P（x， y， z）不在直线上， 那么向量P0P与方向向量s不平行，
即两向量的坐标对应不成比例，
从而点P的坐标不满足该方程.
于是， 已知直线上一点P0（x0， y0， z0）和直线的方向向量s={l， m， n}，
该方程称为平面的一般式方程.
例5
解
画出方程x+2y+3z－6=0所表示的平面.
该平面与三条坐标轴的交点分别为P1(6， 0， 0)， P2(0， 3， 0)，
P3(0， 0， 2)， 可知， 这三点确定的平面即为平面x+2y+3z－6=0，
图6-4是该平面在第一卦限的部分.
图6-4
在例5所给定的方程中， 分别令其中两个变量为零，
可取方向向量P1P2={3－1， -2－2， 5－（－1）}={2， -4， 6}，
因此直线方程为x－12=y－2－4=z+16， 即x-11=y-2-2=z+13.
本章讨论以二元函数为主， 不仅因为二元函数有很好的几何直观，
而且因为二元函数的相关概念和方法很容易直接推广到三元函数或更多元的函数上去.
希望读者在学习中应重点掌握一元函数与二元函数在许多知识点上的相同点和不同点.
6.1 空间解析几何
借助平面直角坐标系， 可以将二维平面中的点、直线、圆、椭圆、
抛物线、双曲线等几何对象用代数方式表示出来，
称有序数组（x， y， z）为点P在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作P(x， y， z).
例1
求点P(2， −1， 3)在坐标平面和坐标轴上的射影点的坐标，
并分别求该点关于平面Oxy、关于x轴、关于原点的对称点的坐标.
解
点P在平面Oxy上的射影点是Pxy(2， −1， 0)，
点P在平面Oyz上的射影点是Pyz(0， -1， 3)， 点P在平面Ozx上的射影点是Pzx(2， 0， 3)，
在空间解析几何中， 关于曲面的研究包含两类基本问题：
（1） 已知某方程F（x， y， z） = 0， 研究该方程所表示的曲面的形状；
（2） 已知某曲面的几何特征， 求该曲面的方程.
例4
分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系中，
求到定点的距离等于定长R的点的轨迹.
解
在平面直角坐标系中， 设定点为P0（x0， y0），
即n·→P0P=0. 由此可得方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
因此， 平面上任意一点P（x， y， z）的坐标满足该方程；
反过来，
如果点P（x， y， z）不在平面上，
那么向量→P0P与法向量n不垂直，即n· →P0P ≠0，
从而点P的坐标不满足该方程.
于是， 已知平面上一点P0（x0， y0， z0）和平面的法向量n= | A， B， C | ，
第6章
多元函数微分学
前五章讨论的函数都只有一个自变量， 这种函数称为一元函数.
但在科学技术、经济现象等实际问题中， 更多的是一个变量依赖于多个变量的情况，
这就产生了多元函数的概念， 以及多元函数的微分和积分问题.
多元函数是一元函数的发展，
虽然一元函数微积分的部分性质和方法可以移植到多元函数中去，
但与一元函数相比， 由于变量的增加又有许多本质上的区别.