函数及其表示练习题

函数及其表示练习题
一．解答题（共40小题）
1．已知f（x）为一次函数，若f[f（x）]=4x+8，求f（x）的解析式．
2．设函数f（x）=．
（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
3．设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．
4．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，函数y=的定义域为B．
（1）求集合A、B．
（2）（∁U A）∪（∁U B）．
5．（1）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数y=f（1﹣x2）的定义域．
（2）已知函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，求函数y=f（x）的定义域．
6．已知函数的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的范围；
（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．7．若函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，求函数f（x﹣1）的定义域．
8．（1）已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域；
（2）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域．
9．已知f（x）的定义域为，求函数的定义域．
10．已知函数f（x）的定义域为[7，15），设f（2x+1）的定义域为A，B={x|x＜a或x＞a+1}，若A∪B=R，求实数a的取值范围．
11．已知函数y=f（x）的定义域是[0，4]，求y=f（x+1）+f（x2﹣3）的定义域．
12．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f[f（﹣2）]的值；
（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；
（Ⅲ）当﹣4≤x＜3时，求函数f（x）的值域．
13．设函数f（x）=x2+x﹣．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[﹣，]，求a的值．
14．求函数y=的值域．
15．求下列函数的值域：
（Ⅰ）y=（x＞0）；
（Ⅱ）y=3x+4﹣．
16．求函数的值域．
17．已知一次函数f（x）=kx﹣2满足f（2）﹣f（0）=6．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（）的值域．
18．已知函数f（x）=
（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；
（2）求f（x）的值域．
19．按要求求下列函数的值域：
（1）y=3﹣1（观察法）；
（2）y=（配方法）；
（3）y=2﹣x+（换元法）；
（4）y=（分离常数法）．
20．求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）．
21．求函数f（x）=，x∈[0，3]的值域．
22．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（5）的值．
23．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．
24．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．25．求下列各题中的函数f（x）的解析式．
（1）已知f（）=x+4，求f（x）
（2）已知函数t=f（x）满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）
26．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．
27．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．
28．已知函数y=|x+1|+|1﹣x|．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）画出该函数的大致图象．
29．例2、（1）已知，求f（x）．
（2）已知，求f（x）．
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）．（4）已知f（x）满足，求f（x）．
30．设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|，g（x）=k
（1）画出函数f（x）的图象．
（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值．
31．已知函数．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．
32．已知函数f（x）=x2﹣|x﹣1|+3．
（1）用分段函数表示函数f（x）解析式；
（2）列表并画出该函数图象；
（3）指出该函数的单调区间．
33．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．
（1）求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；
（2）作出函数f（x）的简图；
（3）写出函数f（x）的单调区间及最值．
34．已知函数f（x）=．
（1）求f（π）；
（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；
（3）若f（a）=3，求a的值．
35．已知一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，若f（x）是减函数，且f（1）=0．（1）求m的值；
（2）若f（x+1）≥x2，求x的取值范围．
36．已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
37．已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=x﹣1，求函数f（x）的解析式．
38．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．
39．设函数f（x）=x2﹣2|x|﹣1 （﹣3≤x≤3），
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；（4）求函数的值域．
40．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x2﹣2x+13
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画该函数的图象；
（3）当x∈[t，5]时，求函数f（x）的最大值．
函数及其表示练习题
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．（2013秋•菏泽期中）已知f（x）为一次函数，若f[f（x）]=4x+8，求f（x）的解析式．【分析】由题意知，f（x）为一次函数，故可设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），利用函数解析式求得f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，结合待定系数法列出关于a，b的方程，求得a，b．最后写出所求函数的解析式即可．
【解答】解：设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），
则f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，
又f[f（x）]=4x+8，
则有a2x+ab+b=4x+8，得或，
故所求函数的解析式为：或f（x）=﹣2x﹣8．
【点评】本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法．属于基础题．
2．（2014•江苏模拟）设函数f（x）=．
（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
（I）在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象，结合图象写出：|x+1|+|x 【分析】
﹣2|﹣5≥0的解集，就是所求函数的定义域．
（II）由题意知，x∈R时，|x+1|+|x﹣2|≥﹣a 恒成立，故，|x+1|+|x﹣2|的最小值大于或等于﹣a，从而得到a的取值范围．
【解答】解：（I）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0
如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|
和y=5的图象，得定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
（II）由题设知，当x∈R时，
恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，
又由（I）|x+1|+|x﹣2|≥3，
∴﹣a≤3，
∴a≥﹣3．
【点评】本题考查求函数的定义域的方法，绝对值不等式的意义和解法，体现了数形结合的数学思想．
3．（1985•全国）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．
【分析】函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，求解即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，解得x∈[﹣1，1]【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4．（2015秋•晋中期中）已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，函数y=
的定义域为B．
（1）求集合A、B．
（2）（∁U A）∪（∁U B）．
【分析】（1）根据负数没有平方根及分母不为零列出不等式组，求出不等式组的解集确定出集合A，B．
（2）先利用（C U A）（C U B）=C U（A∩B），再结合所求出的集合利用交集的定义即可得到（C U A）∪（C U B）．
【解答】解：（1）由x≥2
A={x|x≥2}
由x≥﹣2且x≠3
B={x|x≥﹣2且x≠3}
（2）A∩B={x|x≥2且x≠3}
∴（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）={x|x＜2或x=3}
【点评】此题属于以函数的定义域、值域为平台，考查了交、并、补集的混合运算，要求学生熟练掌握根式函数的意义．
5．（2016春•陕西校级期中）（1）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数y=f（1﹣x2）的定义域．
（2）已知函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，求函数y=f（x）的定义域．
【分析】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（1）因为函数y=f（x）的定义域是[﹣1，2]，
所以函数f（1﹣x2）中﹣1≤1﹣x2≤2，
∴﹣1≤x2≤2，
即x∈[﹣，]，
∴f（1﹣x2）的定义域为[﹣，]．
（2）∵函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，
∴﹣2＜x≤1，﹣4＜2x≤2，﹣7＜2x﹣3≤﹣1，
即函数y=f（x）的定义域为（﹣7，﹣1]．
【点评】本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．
6．（2017•龙凤区校级模拟）已知函数的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的范围；
（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．
【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．
（II）利用柯西不等式的性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，
4a+7b==，当且
仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．
【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（2015秋•安阳校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，求函数f（x﹣1）的定义域．
【分析】由已知中函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，可以求出函数f（x）的定义域，进而求出函数f（x﹣1）的定义域．
【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣，2]，即≤x≤2，
则≤x+1≤3，
若≤x﹣1≤3，
则≤x≤4．
故函数f（x﹣1）的定义域为[，4]，
故答案为：[，4]．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．
8．（2016春•临沂校级月考）（1）已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域；（2）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域．
【分析】（1）设x2=t，根据函数f（t）的定义域为得出t的取值范围，再求出x的取值范围即可；
（2）设2x+1=t，根据函数f（2x+1）的定义域求出t的取值范围即可．
【解答】解：（1）设x2=t，
由题意，函数f（t）的定义域为（0，1），
即0＜t＜1，∴0＜x2＜1，
解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1；
∴f（x2）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；
（2）设2x+1=t，则x=，
∵函数f（2x+1）的定义域为（0，1），
∴0＜＜1，
解得1＜t＜3，
∴f（t）的定义域是（1，3），
即f（x）的定义域是（1，3）．
【点评】本题考查了函数的定义域和应用问题，是基础题目．
9．（2015秋•射洪县校级月考）已知f（x）的定义域为，求函数
的定义域．
【分析】由已知函数的定义域，可得，然后求解二次不等式组得答案．【解答】解：∵f（x）的定义域为，
∴由，得
，解得或1≤x≤．
∴函数的定义域为[]∪[1，]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查二次不等式组的解法，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．
10．（2016秋•南昌期中）已知函数f（x）的定义域为[7，15），设f（2x+1）的定义域为A，B={x|x＜a或x＞a+1}，若A∪B=R，求实数a的取值范围．
【分析】由f（x）的定义域求出f（2x+1）的定义域得到A，再由A∪B=R列关于a的不等式
组得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[7，15），∴由7≤2x+1＜15，得3≤x＜7，
即A={x|3≤x＜7}，又B={x|x＜a或x＞a+1}，且A∪B=R，
∴，解得：3≤a＜6．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了并集及其运算，考查数学转化思想方法，是基础题．
11．已知函数y=f（x）的定义域是[0，4]，求y=f（x+1）+f（x2﹣3）的定义域．
【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．
【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，4]，
∴由得，
即，
解得≤x≤，
故函数的定义域为[，]．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．
12．（2014•海淀区校级模拟）已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f[f（﹣2）]的值；
（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；
（Ⅲ）当﹣4≤x＜3时，求函数f（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）由题意可得f（﹣2）=1﹣（﹣4）=5，f[f（﹣2）]=f（5），运算求得结果．（Ⅱ）由题意可得，f（a2+1）=4﹣（a2+1）2，运算求得结果．
（Ⅲ）分①当﹣4≤x＜0 时、②当x=0、③当0＜x＜3 时三种情况，分别求出函数的值域，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（﹣2）=1﹣（﹣4）=5，f[f（﹣2）]=f（5）=4﹣25=﹣21．（5分）
（Ⅱ）f（a2+1）=4﹣（a2+1）2=﹣a4﹣2a2+3．（10分）
（Ⅲ）①当﹣4≤x＜0 时，∵f（x）=1﹣2x，∴1＜f（x）≤9．（11分）
②当x=0 时，f（0）=2．（12分）
③当0＜x＜3 时，∵f（x）=4﹣x2，∴﹣5＜x＜4．（14分）
故当﹣4≤x＜3 时，函数f（x）的值域是（﹣5，9]．（15分）
【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值以及值域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
13．（2010•郓城县校级一模）设函数f（x）=x2+x﹣．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[﹣，]，求a的值．
【分析】本题考查二次函数的值域问题，第（1）小问考查的是定轴定区间的值域问题，比较容易，第（2）小问是值域逆向问题，由于区间含有参数a，所以需要对函数的对称轴与区间的位置关系进行讨论，有时还需要考虑区间的中点与对称轴的位置关系．
【解答】解：（1）∵f（x）=﹣，
∴对称轴为x=﹣．∵﹣＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即．
（2）∵f（x）的最小值为﹣，
∴对称轴x=﹣∈[a，a+1]．
∴
解得﹣≤a≤﹣．
∵区间[a，a+1]的中点为x0=a+，
当a+≥﹣，即﹣1≤a≤﹣时，
f（x）最大值为f（a+1）=．
∴（a+1）2+（a+1）﹣=．
∴16a2+48a+27=0．
∴a=﹣．
当a+＜﹣，即﹣≤a＜﹣1时，
f（x）最大值为f（a）=，
∴a2+a﹣=．
∴16a2+16a﹣5=0．
∴a=﹣．
综上知a=﹣或a=﹣．
【点评】本题涉及的主要数学思想是分类讨论的思想，对于分类讨论的题目，我们要弄清楚分类的标准，做到不重复不漏掉；
14．（2016春•南通校级月考）求函数y=的值域．
【分析】利用分式函数的性质以及转化法进行求解即可．
【解答】解：方法一：
y===3﹣，
∵x2+2≥2，
∴0＜≤，
0＜≤，﹣≤﹣＜0，
3﹣≤3﹣＜3，
即≤y＜3，
即函数的值域为[，3）．
方法二：
由y=得yx2+2y=3x2﹣1，
即（3﹣y）x2=2y+1，
当y=3时，方程等价为0=7，不成立，
则y≠3，
∴x2=≥0，
得≤y＜3，
即函数的值域为[，3）．
【点评】本题主要考查函数值域的求解，利用分式函数的单调性的性质以及函数的性质是解决本题的关键．
15．（2014秋•道里区校级期中）求下列函数的值域：
（Ⅰ）y=（x＞0）；
（Ⅱ）y=3x+4﹣．
【分析】（Ⅰ）由函数式，解出x，令x＞0，解出即可得到值域；
（Ⅱ）令=t（t≥0），则x=，化函数为t的二次函数，运用二次函数的值域的求法，即可得到所求值域．
【解答】解：（Ⅰ）由于y=（x＞0），
则x=＞0，
解得，﹣，
则值域为（﹣，）；
（Ⅱ）令=t（t≥0），
则x=，
则有y=+4﹣t
=（t﹣）2﹣，
由于t≥0，则当t=，y取最小值﹣．
则值域为[﹣，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域求法，考查换元法和反解法求值域的方法，考查运算能力，属于中档题．
16．（2016秋•张家口校级月考）求函数的值域．
【分析】设，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．
【解答】解：设，则
函数
∴
故
所以函数的值域为
【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
17．（2014春•西城区期末）已知一次函数f（x）=kx﹣2满足f（2）﹣f（0）=6．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（）的值域．
【分析】（Ⅰ）由已知，得（2k﹣2）﹣（﹣2）=6，求出k值，可得f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（）的解析式，分x＞0和x＜0两种情况结合基本不等式求
出函数值的取值范围，综合讨论结果可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得（2k﹣2）﹣（﹣2）=6，（3分）
解得k=3．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=3x﹣2．（6分）
（Ⅱ）．
当x＞0时，，
当且仅当，即x=1时等号成立，（8分）
所以g（x）≥2．（10分）
当x＜0时，因为，
所以，
当且仅当，即x=﹣1时等号成立，（11分）
所以g（x）≤﹣10．（12分）
所以，函数g（x）的值域为（﹣∞，﹣10]∪[2，+∞）．（13分）
【点评】本题考查的知识点是函数的值域，函数的解析式，基本不等式的应用，是函数，方程，不等式的综合应用，难度中档．
18．（2015秋•枣阳市期中）已知函数f（x）=
（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；
（2）求f（x）的值域．
【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．
（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．
【解答】解：（1）原式=++=．
（2）∵1+x2≥1，
∴≤1，
即f（x）的值域为（0，1]．
【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．
19．按要求求下列函数的值域：
（1）y=3﹣1（观察法）；
（2）y=（配方法）；
（3）y=2﹣x+（换元法）；
（4）y=（分离常数法）．
【分析】根据所要求的观察法、配方法、换元法、以及分离常数法即可求解本题．
【解答】解：（1）函数的值域为[﹣1，+∞）；
（2）y=，∴该函数的值域为[0，]=[0，]；（3）令，则x=，所以：
；
∴原函数的值域为（﹣∞，]；
（4）y=；
∵，∴；
∴该函数的值域为{y|y≠﹣2}．
【点评】考查函数值域的概念，以及常用方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法，根据不同的函数选择对应方法即可．
20．（2009春•启东市校级月考）求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）本题宜用分离常数法求值域，其定义域为{x|x≠0}函数可以变为y=
﹣1+再由函数的单调性求值域．
（2）令=t，将函数转化成关于t的一道定函数在定区间上的值域问题，通常利用配方法，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域．（3）先把函数化为：2yx2﹣3yx+y﹣1=0，根据判别式△≥0即可得出函数的值域．
【解答】解：（1）由题函数的定义域为{x|x≠﹣1}
=﹣1+≠﹣1
故函数的值域为{y|y≠﹣1}
（2）：令=t，t≥0，则x=，
∴y=，当且仅当t=1时取等号
故所求函数的值域为[﹣1，+∞），
（3）原式可化为：2yx2﹣3yx+y﹣1=0，
∴△=9y2﹣8y（y﹣1）≥0，
∴y（y+8）≥0，
∴y＞0 或y≤﹣8，，
故答案为：（﹣∞，﹣8]∪（0，+∞）
【点评】本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法．（1）小题求值域采用了分离常数法的技巧，对于分式形函数单调性的判断是一个好办法，注意总结这种技巧的适用范围以及使用规律．（2）是通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）．
21．求函数f（x）=，x∈[0，3]的值域．
【分析】先利用换元法设t=将函数转化为y===，然后再次化简转化为基本x+型函数，求函数的导数，结合分式函数的性质进行求解．
【解答】解：t=，∵x∈[0，3]，∴t∈[1，2]，
则x=t2﹣1，
则函数等价为y===，
令m=t﹣2，则m∈[﹣1，0]，
则函数等价为y=
当t=2时，m=0，此时y=0，
当m∈[﹣1，0），
则函数等价为y=，
设h（m）=m+，则h′（m）=1﹣=，
当m∈[﹣1，0）时，h′（m）＜0，即函数h（m）为减函数，
∴h（m）≤h（﹣1）=﹣1﹣11=﹣12，
则h（m）+4≤﹣12+4=﹣8，
则y=∈[﹣，0），
当m=0时，y=0，
综上y∈[﹣，0]，
即函数的值域为[﹣，0]．
【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合根式和分式的关系，多次使用换元法进行转化，结合函数的导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键．
22．（2015春•南昌校级期末）已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（5）的值．
【分析】（1）对于函数f（g（x）），把g（x）看做一个整体变量代入函数f（x）的表达式即可求出；
（2）代入（1）的解析式求出即可．
【解答】解：（1）∵已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，
∴，且g（x）≠﹣3．
解得g（x）=（x≠﹣1）．
（2）由（1）可知：=．
【点评】理解函数的定义中的对应法则和复合函数的定义域是解题的关键．
23．（2015春•重庆期末）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f （x）有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）根据f（0）=f（1），求出m的值，再根据方程x=f（x）有两个相等的实数根，得到判别式△=0，求出n的值，从而求出函数的解析式；
（Ⅱ）根据二次函数的性质，求出其对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），
∴n=1+m+n．…（1分）
∴m=﹣1．…（2分）
∴f（x）=x2﹣x+n．…（3分）
∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，
∴方程x=x2﹣x+n有两个相等的实数根．
即方程x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）
∴（﹣2）2﹣4n=0．…（5分）
∴n=1．…（6分）
∴f（x）=x2﹣x+1．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x2﹣x+1．
此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）
∴当时，f（x）有最小值．…（9分）
而，f（0）=1，f（3）=32﹣3+1=7．…（11分）
∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是．…（12分）
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、值域问题，是一道基础题．
24．（2016秋•普宁市校级期末）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．
【分析】由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，利用恒等式的对应项系数相等即可得出．
【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]﹣2[a（x﹣1）+b]=2x+17，
化为ax+（5a+b）=2x+17，
∴，解得．
∴f（x）=2x+7．
【点评】本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质．
25．（2015春•临沂校级月考）求下列各题中的函数f（x）的解析式．
（1）已知f（）=x+4，求f（x）
（2）已知函数t=f（x）满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）
【分析】（1）利用换元法设t=+2（t≥2），则=t﹣2，代入求出即可；（2）将x换成，则换成x，解出f（x）即可．
【解答】解：（1）设t=+2（t≥2），则=t﹣2，即x=（t﹣2）2，
∴f（t）=（t﹣2）2+4（t﹣2）=t2﹣4，
∴f（x）=x2﹣4（x≥2）．
（2）由2f（x）+f（）=2x，①
将x换成，则换成x，得2f（）+f（x）=，②
①×2﹣②，得3f（x）=4x﹣，
∴f（x）=x﹣．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，本题是一道基础题．
26．（2014秋•梧州期末）已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．
【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．
【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，
∴f（t）=4×=2t+2．
故f（x）=2x+2．
则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；
f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．
【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．
27．（2015秋•乐陵市校级期中）（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再根据3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17可确定出k，b的值，进而可求函数解析式
（2）在已知的等式当中，用替换x，联立f（x）和f（）二元一次方程组求解f（x）
即可．
【解答】解：（1）由题意可设f（x）=kx+b
∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17
∴3[k（x+1）+b]﹣2[k（x﹣1）+b]=2x+17
即kx+5k+b=2x+17
∴解方程可得，k=2，b=7
∴f（x）=2x+7
（2）由2f（x）+f（）=3x①
可得2f（）+f（x）=②
①×2﹣②得：3f（x）=6x﹣
所以，f（x）=2x﹣（x≠0）
【点评】本题考查了运用代入法、待定系数法等方法求解函数的解析式，属于基本方法的简单应用
28．（2013春•新会区校级月考）已知函数y=|x+1|+|1﹣x|．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）画出该函数的大致图象．
【分析】（1）由x+1=0，得出x=﹣1．由x﹣1=0，x=1．只要分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1分别去掉绝对值符号，写出y的表达式即可．
（2）根据（1）画出草图如下图．
【解答】解：（1）函数y=|x+1|+|1﹣x|=
（2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示：
【点评】本题考查了含绝对值类型的函数化为分段函数及图象，恰当分类讨论是解决问题的关键．
29．（2009•青羊区校级模拟）例2、（1）已知，求f（x）．
（2）已知，求f（x）．
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）．
（4）已知f（x）满足，求f（x）．
【分析】（1）用配凑法根据可得
答案．
（2）用换元法，令t=，可得x=，代入即可．
（3）设f（x）=ax+b代入可得．
（4）通过联立方程组可得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴f（x）=x3﹣3x（x≥2或x≤﹣2）．
（2）令（t＞1），
则，∴，∴．
（3）设f（x）=ax+b（a≠0），
则3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=3ax+3a+3b﹣2ax+2a﹣2b=ax+b+5a=2x+17，
∴a=2，b=7，∴f（x）=2x+7．
（4）①，把①中的x换成，得②，
①×2﹣②得，∴．
【点评】本题主要考查求函数解析式的一般方法﹣﹣配凑法、换元法、待定系数法、方程组法．
30．（2014秋•深圳校级期中）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|，g（x）=k
（1）画出函数f（x）的图象．
（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值．
【分析】（1）由于函数f（x）的解析式画出函数f（x）的图象如如所示：
（2）∵函数f（x）与g（x）有3个交点，可得g（x）的图象经过y=﹣（x2﹣4x﹣5）的最高点（2，9），从而求得k的值．
【解答】解：（1）根据函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|=|（x﹣5）（x+1）|，
画出函数f（x）的图象如如所示：
（2）∵函数f（x）与g（x）有3个交点，
∴由（1）的图可知此时g（x）的图象经过y=﹣（x2﹣4x﹣5）的最高点（2，9），
可得k=f（2）==9．
【点评】本题主要考查函数的图象的作法，两个函数的图象的交点个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
31．（2015秋•菏泽期中）已知函数．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）
（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．
【分析】（1）利用函数的解析式直接求出函数的图象；
（2）通过函数的图象直接写出函数的单调区间以及函数的值域．
【解答】解：（1）图象如下图所示；…（5分）
（2）由图可知f（x）的单调递增区间[﹣1，0]，[2，5]， (8)
值域为[﹣1，3]；…（12分）
【点评】本题考查函数的图象的作法，函数的值域以及函数的单调区间，考查基本知识的应用．
32．（2013秋•大姚县校级期末）已知函数f（x）=x2﹣|x﹣1|+3．
（1）用分段函数表示函数f（x）解析式；
（2）列表并画出该函数图象；
（3）指出该函数的单调区间．
【分析】（1）讨论绝对值化简f（x）=x2﹣|x﹣1|+3=；
（2）列表画图，
（3）由图象直接写出单调区间．
【解答】解：（1）f（x）=x2﹣|x﹣1|+3=；
﹣
（3）由图象知，函数的减区间为（﹣∞，﹣）；
增区间为（﹣，+∞）．
【点评】本题考查了函数的图象的作法与应用，属于基础题．
33．（2016春•朔州校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．
（1）求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；
（2）作出函数f（x）的简图；
（3）写出函数f（x）的单调区间及最值．
【分析】（1）利用函数的奇偶性求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；（2）结合函数的表达式进行作图；
（3）根据函数的表达式写出函数f（x）的单调区间及最值．
【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣1=x2+2x﹣1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x﹣1，
∴f（x）=．
（2）函数f（x）的简图：
（3）单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞），
单调减区间为（﹣∞，﹣1]和[0，1]，
当x=1或﹣1时，f（x）有最小值﹣2．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握函数奇偶性的性质．
34．已知函数f（x）=．
（1）求f（π）；
（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；
（3）若f（a）=3，求a的值．
【分析】（1）由π＞2，代入求值；
（2）作函数的图象；
（3）由题意，a2=3．
【解答】解：（1）f（π）=2π；
（2）如下图：
（3）由图可知，f（a）=3时，a2=3，
解得，a=．
【点评】本题考查了学生对分段函数的掌握情况及学生的作图能力，属于基础题．
35．（2016秋•舒城县校级期中）已知一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，若f（x）是减函数，且f（1）=0．
（1）求m的值；
（2）若f（x+1）≥x2，求x的取值范围．
【分析】（1）由一次函数f（x）是减函数，且f（1）=0，求出m的值；
（2）由（1）知m的值，把f（x+1）≥x2化为﹣（x+1）+≥x2，求出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，
且f（x）是减函数，f（1）=0，
∴，解得m=；
（2）当m=时，f（x）=﹣x+，
∴f（x+1）≥x2可化为﹣（x+1）+≥x2，
解得﹣≤x≤0；
∴x的取值范围是[﹣，0]．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质的应用以及解不等式的问题，是基础题．
36．（2016秋•临猗县校级月考）已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数f（x）是增函数，设出一次函数的表达式，代入f（f（x））=4x ﹣3，利用系数相等可求一次函数解析式；
（2）根据（1）中求出的函数是增函数，直接求出f（x）在[﹣2，2]上的最大值，则实数m 的取值范围可求．
【解答】解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．
由f（f（x））=4x﹣3，得：a（ax+b）+b=4x﹣3，
即a2x+ab+b=4x﹣3，所以，，
解得：或，
因为a＞0，所以a=2，b=﹣1．
所以f（x）=2x﹣1；
（2）由f（x）＜m，得m＞2x﹣1．
不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，
即为m＞2x﹣1对于一切x∈[﹣2，2]恒成立，
因为函数f（x）=2x﹣1在[﹣2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．
所以m＞3．
所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[﹣2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，考查了利用代入法求函数解析式，本题的（2）实则是分离变量的解题思想，此题是基础题．
37．已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=x﹣1，求函数f（x）的解析式．
【分析】设出函数f（x）的解析式，利用f（f（x））=x﹣1，求出函数f（x）的解析式．
【解答】解：设一次函数f（x）=ax+b，
∴f（f（x））=f（ax+b）
=a（ax+b）+b
=a2x+ab+b=x﹣1，
∴，
解得；
∴f（x）=x﹣．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题目．
38．（2011•泰兴市校级模拟）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．
【分析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[﹣2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．
（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣﹣1，根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．
【解答】解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两实根．
∴，解得a=1，b=﹣2
∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，
f（x）min=f（1）=1，即m=1；
当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．
（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，
根据韦达定理得到：，即，
∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其对称轴方程为x==1﹣
又a≥1，故1﹣
∴M=f（﹣2）=9a﹣2
m=
则g（a）=M+m=9a﹣﹣1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=
【点评】考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．
39．（2013春•荔城区校级期中）设函数f（x）=x2﹣2|x|﹣1 （﹣3≤x≤3），
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；（4）求函数的值域．
【分析】（1）由﹣3≤x≤3得到函数的定义域关于原点对称，求出f（﹣x）化简得到与f（x）相等得证；
（2）讨论x的取值分别得到f（x）的解析式，画出函数图象即可；
（3）在函数图象上得到函数的单调区间，分别指出增减函数区间即可；
（4）分区间[﹣3，0）和（0，3]上分别利用二次函数求最值的方法得到函数的最值即可得到函数的值域．
【解答】解：：（1）证明∵x∈[﹣3，3]，
∴f（x）的定义域关于原点对称．
f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|﹣1
=x2﹣2|x|﹣1=f（x），
即f（﹣x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，
当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，
即f（x）=
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
（3）函数f（x）的单调区间为[﹣3，﹣1），[﹣1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在区间[﹣3，﹣1）和[0，1）上为减函数，在[﹣1，0），[1，3]上为增函数．
（4）当x≥0时，函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的最小值为﹣2，最大值为f（3）=2；
当x＜0时，函数f（x）=（x+1）2﹣2的最小值为﹣2，最大值为f（﹣3）=2．故函数f（x）的值域为[﹣2，2]．
【点评】考查学生会利用数形结合的数学思想解决实际问题，会证明函数的奇偶性，会根据图象得出函数的单调区间，会求函数的值域．
40．（2005秋•金湖县校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x2﹣2x+13
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画该函数的图象；
（3）当x∈[t，5]时，求函数f（x）的最大值．
【分析】（1）由f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，得到f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2﹣2x+13，由此求出a，b，c的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）先求出该函数的对称轴和顶点为坐标，再求出它与y轴的交点坐标，然后结合函数的对称性作出这条开口向上的抛物线．
（3）x∈[t，5]，f（x）=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，当﹣3≤t≤5时，函数f（x）的最大值为f （5）=f（﹣3）=9+6+7=22．当t＜﹣3时，函数f（x）的最大值为f（t）=（t﹣1）2+6．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）=ax2+bx+c+a（x+1）2+b（x+1）+c=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c
∵f（x）+f（x+1）=2x2﹣2x+13∴∴f（x）=x2﹣2x+7
（2）该函数是对称轴为x=1，顶点为（1，6），与x轴无交点，与y轴交于（0，7），开口向上的抛物线．
（3）∵x∈[t，5]，f（x）=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，
∴当﹣3≤t≤5时，函数f（x）的最大值为f（5）=f（﹣3）=9+6+7=22．。