北师大版数学高一(北师大)必修2学案 1.5直线、平面平行的判定与性质

1.5《直线、平面平行的判定与性质》导学案
【学习目标】
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；理解并掌握两平面平行的判定定理。

（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； （3）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； （4）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

【导入新课】
观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。

新授课阶段
1. 直线与平面平行的判定定理：
简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示： a α
b β => a ∥α a ∥ b
例1 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD ∶∶，求证：EF //平面PBC ．
α
a α
a
b
P E
A C
B
D
F
证明：
例2 如图，长方体1111ABCD A B C D 中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．
证明：
2.两个平面平行的判定定理
：
A
B
C
D
1A
1D 1B
1C 1F
1E
符号表示： a β b β a∩b = P β∥α a ∥α b ∥α
指出：判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

例3 如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，求证：平面1A BD //平面11CD B ． 证明：
3. 直线与平面平行的性质定理。

1D
1A
1C
1B
A
B
D
C
定理：。

符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

4. 两个平面平行的性质定理
定理：。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
例4 如图，线段AB，CD所在直线是异面直线，E，F，G，H分别是线段AC，CB，BD，DA的中点．
（１）求证：EFGH共面且AB∥面EFGH，CD∥面EFGH；
（２）设P，Q分别是AB和CD上任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分．
A
E H
C
F
B
G
D M P
Q N
证明：
课堂小结
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理和性质定理；
3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行。

在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决。

作业
见同步练习部分
拓展提升
1. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面
MNPQ 的周长是（ ）
Ａ．4a Ｂ．2a Ｃ．
32
a Ｄ．周长与截面的位置有关
2. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）
Ａ．a b //
Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a 、b 相交但不垂直
Ｄ．a 、b 异面
3. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于
ABC '''，23PA AA =∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶''' 。

4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点。

求证：MN //平面PAD 。

5. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且::PE EA BF FD ，求证：EF //平面PBC 。

参考答案
新授课阶段
1. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示： a α
b β => a ∥α a ∥b 例1
证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，
AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴
，又由已知PE BF EA FD =，PE MF
EA FA
=
∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ，
∴EF //平面PBC ．
例2
α
a α
a
b
A
B
C
D
1A
1D 1B
1C 1F
1E
P E
A
C
B
D
F
证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．
∵长方体1AC 的各个面为矩形，
11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，
故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．
1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，
四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．
EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，
∴11E F //平面ABCD ．
2.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行。

符号表示： a β
b β β∥α a∩b = P
A
B
C
D
1A
1D 1B
1C 1F
1
E E
F
a ∥α
b ∥α
指出：判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

例3
证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩
∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形
⇒ 111111D B DB DB A BD D B A BD
⎧⎪
⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//
⇒1111111
11D B A BD
B C A BD D B B C B
⎧⎪
⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．
3. 直线与平面平行的性质定理。

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

4. 两个平面平行的性质定理
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

例4
证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是AC ，CB ，BD ，DA 的中点．，
EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面． CD EH ∵//，CD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ， CD ∴//平面EFGH ．同理AB //平面EFGH ．
（２）设PQ
平面EFGH ＝N ，连接PC ，设PC
EF M =．
PCQ △所在平面平面EFGH ＝MN ，
CQ ∵//平面EFGH ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．
EF ∵ 是ABC △是的中位线，
M ∴是PC 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分．
拓展提升 1.Ｂ． 2.Ａ． 3. 425∶
4. 证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME
∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点， NE PD ∴//，ME AD //，
可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NE
ME E =，
打印版本
高中数学 ∴平面MNE //平面PAD ，
又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．
5 证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，
AD BC ∵//，BF MF FD FA
=∴， 又由已知PE BF EA FD =，PE MF EA FA
=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，
又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．。