2024年济南市高三数学5月第三次模拟考试卷附答案解析

2024年济南市高三数学5月第三次模拟考试卷
全卷满分150分．考试用时120分钟．
2024.05
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}20A x x =+>∣，{}
220B x x x =--<∣，则A B = （）
A ．{21}x
x -<<∣B ．{22}x x -<<∣C ．{11}x x -<<∣D ．{12}x
x -<<∣2．已知双曲线22
:14y x C m
-=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（）
A ．1
B ．2
C ．8
D ．16
3．
已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（
）
A ．0
B ．1
2
C ．
2
2
D ．
2
4．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用πe ϕ
ρα=表达，其中α为正实数，ϕ是极角，ρ是极径．若ϕ每增加π
2
个单位，则ρ变为原来的（）
A ．1
3e 倍
B ．1
2e 倍
C ．π
2e 倍
D ．πe 倍5．已知平面向量(1,1),(2,0)a b =-=
，则a 在b 上的投影向量为（
）A ．(1,0)-B ．(1,0)
C ．
(D ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．10π
7．已知复数1212,,z z z z ≠，若12,z z 同时满足||1z =和|1||i |z z -=-，则12z z -为（
）
A ．1B
C ．2
D ．
8．在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（
）
A ．
B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y
5
m
8
9
10.5
若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆ125 4.25y
x =+．，则（）
A ．y 与x 正相关
B ．7
m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数()()()2
ln 1ln 1f x x x x
=+--+，则（）
A ．()f x 的图象关于()0,0对称
B ．()f x 在2⎛ ⎝⎭
上单调递增
C ．()f x 的极小值点为
2
2
D ．()f x 有两个零点
11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别为棱1,DD DC 的中点，点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，则（）
A ．1A
B ∥平面AMN
B ．点P
C ．存在点P ，使得MP ⊥平面AMN
D ．点P 到平面AMN 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．写出函数()sin cos 1f x x x =+图象的一条对称轴方程．
13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为3
4，每步上2阶的概率为14
，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为
．
14．设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线
2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =
；若斜率为
3
2
的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则(,)d P M 的最小值为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的底面为菱形，14,3,60AB DD BAD ==∠=︒，点E 为BC 中点，
11,D E BC D E ⊥=
(1)证明：1DD ⊥平面ABCD ；
(2)若112AD =，求平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值．
16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离心率为1
2，椭圆E 上的点
到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；
(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为p ．
(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；(2)某同学不知道比例p ，为估计p 的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球5次．
分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p 的值更合理．18．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x '为()f x 的导数(1)讨论()f x '的单调性；
(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；
(3)若π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，证明：sin 1cos 1e e ln(sin cos )1θθθθ--++<．
19．若数列{}n a 的各项均为正数，对任意*N n ∈，有2
12n n n a a a ++≥，则称数列{}n a 为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数23
1234()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．
证明：数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列；
(3)若数列{}n c 的各项均为正数，21c c >，记{}n c 的前n 项和为n S ，1
n n W S n
=，对任意三个不相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得()()()r p q p q W q r W r p W t -+-+-=．证明：数列{}n S 为“对数凹性”数列．1．D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，
所以{}
{}21220|B x
x x x x <-=-=<-<∣，又{}{}202A x
x x x =+>=>-∣∣，所以{}12A B x x =-<< ∣.故选：D 2．A
【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得0m >，
令
220
4y x y x m -=⇒=，即C 的渐近线方程为y x =，21m
=⇒=.故选：A 3．D
【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为ππcos ,sin 33P ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，即12P ⎛ ⎝⎭
，
即角α的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭
，所以sin α=，1cos 2α=，
所以πππ11cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛
⎫-=+=⨯+⨯= ⎪⎝
⎭.
故选：D 4．B
【分析】设0ϕ所对应的极径为0ρ，10π2
ϕϕ=+所对应的极径为1ρ，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.
【详解】设0ϕ所对应的极径为0ρ，则0
π0
e ϕρα=，
则10π
2ϕϕ=+所对应的极径为
0π
2π
1e
ϕρα+
=，所以0000
ππ2
2
2π
1ππ
π
1
e e e e ϕϕϕϕραρα++
-===，
故ϕ每增加π
2
个单位，则ρ变为原来的12e 倍.故选：B 5．A
【分析】根据已知条件分别求出a b ⋅ 和b ，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.
【详解】
(1,1),(2,0)a b =-=
，2a b ⋅=- ，2b =
,
a 在b
上的投影向量为()()22,01,04a b b b
b
⋅-⋅
==-
.
故选：A.6．C
【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.
【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r ，
则r =，故该球的表面积为2
4π8πr =.
故选：C 7．C
【分析】设()i ,R z x y x y =+∈，根据||1z =和|1||i |z z -=-求出交点坐标，即可求出12,z z ，再计算其模即可.
【详解】设()i ,R z x y x y =+∈，则()11i z x y -=-+，()i 1i z x y -=+-，由||1z =和|1||i |z z -=-，
所以221x y +=且()()2
2
2211x y y x -+=-+，
即22
1x y +=且x y =
，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以1z =
+
、2z =
（或1z =
、2z =），
则212222i i 2222z z ⎛⎫
-=
--- ⎪ ⎪⎝⎭
（或21z z -=），所以
122z z -=.
故选：C 8．B
【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出
CB ，CD ，再在BCD △中利用正弦定理得
cos sin(60)x θ
θ-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.
【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛
⎫<<
⎪⎝
⎭，令AC x =()0x >，
则2CB x =，cos CD x θ=，
在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理
sin sin BC
CD
CDB CBD
=∠∠，
cos sin(60)x θθ=
=
-︒
=
，
可得tan θ=
tan ACD ∠=故选：B ．
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.9．AD
【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：1.250>，所以y 与x 正相关，即A 正确；由表格数据及回归方程易知32.53, 1.253 4.257.55m
x y m +==⨯+=
⇒=，即B 错误；易知560%3⨯=，所以样本数据y 的第60百分位数为
89
8.52
+=，即C 错误；由回归直线方程知1,2,3,4,5x =时对应的预测值分别为 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y
=，对应残差分别为0.5,0.75,0,0.25,0--，显然残差之和为0，即D 正确.故选：AD 10．AC
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.
【详解】对于函数()()()2
ln 1ln 1f x x x x =+--+，令10100
x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩
，解得10x -<<或01x <<，
所以函数的定义域为()()1,00,1-U ，又()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡
⎤-=--+-
=-+--+=-⎢⎥⎣⎦
，所以()f x 为奇函数，函数图象关于()0,0对称，故A 正确；又()2222
11211222
11111f x x x x x x x x x
---'=
--=+-=-+-+--222
2222
22(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--，
当22x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，即()f x 在22⎛ ⎝⎭上单调递减，故B 错误；
当2x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即()f x
在⎫⎪⎪
⎝⎭
上单调递增，根据奇函数的对称性可知()f x
在1,2
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，
所以()f x 的极小值点为22，极大值点为2
2
-，故C 正确；
又(
()ln 320f x f ==++⎝⎭
极小值，且当x 趋近于1时，()f x 趋近于无穷大，当x 趋近于0时，()f x 趋近于无穷大，所以()f x 在()0,1上无零点，根据对称性可知()f x 在()1,0-上无零点，故()f x 无零点，故D 错误．故选：AC ．11．ABD
【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.
【详解】对于A ，在正方体中易知1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒，又1⊄A B 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以1A B ∥平面AMN ，即A 正确；对于B ，因为点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，11MD =，
则1DP =
P 点轨迹为以1D
所以点P
的轨迹长度为12π4⨯，故B 正确；
对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则()()(
))
π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,,20,2A M N P
θθθ⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，
所以()(
))
2,0,1,2,1,0,,1AM AN MP θθ=-=-=
，
若存在点P ，使得MP ⊥面AMN
，则100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪
⎨⋅=-=⎪⎩
，
解之得sin ,cos θθ=
即不存在点P ，使得MP ⊥面AMN ，故C 错误；
对于D ，设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则20
20AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，
取12x y z =⇒==，即()1,2,2n =
，
则点P 到平面AMN
的距离
()221πtan ,0,3322n MP d n θϕθθϕϕ⋅++⎛⎫++⎛⎫====∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ，
显然π2θϕ+=
时取得最大值max d =D 正确.故选：
ABD
【点睛】思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．π
4
x =
（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知1()sin 212f x x =+，所以()()πππ
2πZ Z 242
k x k k x k =+∈⇒=+∈，不妨取0k =，则π4
x =.故答案为：π
4
x =（答案不唯一）13．
1316
【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：
第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为339
4416
⨯=；第二种：
只上一步且上两个台阶，则概率为14
，所以到达第3阶台阶的概率为911316416
+=，故答案为：1316
.14．
2
32
【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作//PN x 并构造直角三角形，根据
(,)d P M 的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.
【详解】设2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()()222
1,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，322
p
⇒-
=，即2p =，p m =时取得最小值；易知39
:22
l y x =
-，2:4C x y =，联立有26180x x -+=，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过P 作//PN x 交l 于N ，过M 作ME PN ⊥，
则(,)d P M PE EM PE EN PN =+≥+=（,M N 重合时取得等号），
设2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则223,6
4n n N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22
133336622n PN n n =-+=-+≥，
故答案为：2，
3
2
【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析
【分析】（1）连接DE 、DB ，即可证明BC ⊥平面1D DE ，从而得到1BC DD ⊥，再由勾股定理逆定理得到1DD DE ⊥，即可证明1DD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接DE 、DB ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= 所以BDC 是边长为4的正三角形，
因为E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，DE =又因为11,D E BC D E DE E ⊥⋂=，1,D E DE ⊂平面1D DE ，所以BC ⊥平面1D DE ，又1DD ⊂平面1D DE ，所以1BC DD ⊥，
又1D E =13DD =，DE =所以222
11DD DE D E +=，所以1DD DE ⊥，
又因为,,DE BC E DE BC =⊂ 平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD .
（2）因为直线1,,DA DE DD 两两垂直，以D 为原点，1,,DA DE DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则()()()()
()10,0,0,4,0,0,0,,2,2,2,0,3D A E C A -，
所以()(
)
1111,2,2
A C AC EA ==-=-
设平面11A C E 的一个法向量为(),,n x y z =
，
则11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，即43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令3x =
，得4y z ==
，所以()
4n =
，
由题意知，()0,0,1m =
是平面ABCD 的一个法向量，
设平面11A C E 与平面ABCD 的夹角为θ，则
cos 13m n
m n
θ⋅===⋅ ，
所以平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值为
213
13
.16．(1)22
1
43
x y
+=(2)105x y +
-=或105
x y --=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；
（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.
【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c
，则
2PF =
00c c x a a x a a =-=-，
显然0x a =时2min PF a c =-，
由题意得2221
2
1c a a c a b c
⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪
=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）设()()1122,,,C x y B x y ，
因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A ==所以122y y =-①
设直线l 的方程为1x my =+，联立得22
143
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，整理得()
22
34690m y my ++-=，由韦达定理得()
1221226349
34m y y m y y m ⎧
+=-⎪+⎪
⎨=-
⎪+⎪⎩
，把①式代入上式得22222
6349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-
⎪-+⎩
，得()()22222236923434m y m m ==++，解得255
m =±
，所以直线l 的方程为：25105x y +
-=或25
105
x y --=
.17．(1)1p -(2)答案见解析
【分析】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得；
（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，X 的可能取值为1111
0,,,,,15432
，求出所对应的
概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，则()55,Y B p ~，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.
【详解】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，则()()2
1P A p =-，()()3
1P B p =-，
所以()()()
()
()3
2
(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -=
===--；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，
则X 的可能取值为：1111
0,,,,,15432
，
且()()5
01P X p ==-，()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3114P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝
⎭，
()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112P X p p ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭，()1P X p ==，
所以X 的分布列为：X
01
5
14
13
12
1
P
5
(1)p -4(1)p p
-3(1)p p
-2(1)p p
-()1p p
-p
则()()()3542
11110(1)(1)1(1)115432
E X p p p p p p p p p p
=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯()4321(1)(1)(1)5432
p p
p p p p p p p ----=++++，
“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，因为()55,Y B p ~，
所以5Y 的分布列为：()555C (1),0,1,2,3,4,5k k k
P Y k p p k -==-=，
即Y 的分布列为：Y
015
25
35
45
1P
5
(1)p -45(1)p p
-32
10(1)p p -3
210(1)p p -()4
51p p -5
p 所以()55E Y p =，则()E Y p =，
因为()E X p >，()E Y p =，所以“方案二”估计p 的值更合理.18．(1)答案见解析(2)12
a >
(3)证明见解析
【分析】（1）令()()g x f x '=，求出导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）结合（1）分0a ≤、102a <<、12a =、1
2
a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；
（3）利用分析法可得只需证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，只需证对任意10x -<<，
有()2
e ln 1(1)x x x ++<+，结合（2）只需证明()ln 1(10)x x x +<-<<，构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1）由题知()e 21x
f x ax =--'，
令()()21x g x f x ax =-'=-e ，则()e 2x
g x a '=-，
当0a ≤时，()()0,g x f x ''>在区间(),-∞+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '=，解得ln2=x a ，
当(),ln2x a ∞∈-时，()0g x '<，当()ln2,x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x '在区间(),-∞+∞上单调递增；
当0a >时，()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增.（2）当0a ≤时，()00f '=，
由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<在(),0∞-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当1
02
a <<
时，ln20a <，且()00f '=，由（1）知，当()ln2,0x a ∈时，()()0,f x f x '<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当1
2
a =
时，ln20a =，则当(),x ∈-∞+∞时，()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 无极值点，不合题意；当1
2
a >
时，ln20a >，且()00f '=；当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '>在(),0∞-上单调递增；当()0,ln2∈x a 时，()()0,f x f x '<在()0,ln2a 上单调递减；
所以0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12
a >.（3）要证()sin 1
cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<，
只要证()()sin 1
cos 122e
e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+，
只要证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，因为π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈，
所以只要证对任意01x <<，有12e ln x x x -+<，
只要证对任意10x -<<，有()2
e ln 1(1)x x x ++<+（※），
因为由（2）知：当1a =时，若0x <，则()()01f x f <=，所以2e 1x x x --<，即2e 1x x x <++①，令函数()()ln 1(10)h x x x x =+--<<，则()1111x h x x x
-'=
-=++，所以当10x -<<时()0h x '>，所以()h x 在()1,0-单调递增；则()()00h x h <=，即()ln 1(10)x x x +<-<<，
由①+②得()22
e ln 121(1)x x x x x ++<++=+，
所以（※）成立，所以()sin 1
cos 1e
e ln sin cos 1θθθθ--++<成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；
（2）利用导数研究三次函数的性质结合()1,f f x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；
（3）将,p q 互换计算可得0=t ，令1,2p q ==，可证明{}n W 是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11n W c n d =+-，利用1
n n W S n
=及,n n S c 的关系可得()121n c c d n =+-，并判定{}n c 为单调递增的等差数
列，根据等差数列求和公式计算()2
124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.
【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234≥⨯不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；
而数列1，2，4，3，2中22
2214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩
均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知2
234()23f x b b x b x =++'有两个不等实数根，
所以22
1324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>，
又0(1,2,3,4)i b i >=，所以2
324243b b b b b >>，
显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2
3
12341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
令1t x
=
，则()23
1234f t b b t b t b t =+++也有三个零点，即32
1234
3
1b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭
有三个零点，则()32
1234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()2
12332g x b x b x b =++'有两个零点，
所以同上有22
221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>，
故数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列
（3）将,p q 互换得：()()()r q p t q p W p vr W r q W t =-+-+-=-，所以0=t ，令1,2p q ==，得()()(2210r W r W r W -+-+-=，
所以()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--，故数列{}n W 是等差数列，
记221211022S c c d W W c -=-=
-=>，所以()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫
=+-=+- ⎪⎝⎭
，所以()2
1n n S nW dn c d n ==+-，
又因为11,1
,2
n n n c n c S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，所以()121n c c d n =+-，
所以120n n c c d +-=>，所以{}n c 为单调递增的等差数列，所以()
11210,2,2
n n n n n n n n c c c c c c c S ++++>>+==
.所以()
()()()()
2
22
12111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()
()()()2
2
112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤
+++>++-+⎢⎥
⎣⎦()
()2
2
2112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫
=++-+ ⎪
⎝⎭
()()()
2
2
21111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()
2
2
11(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2
110
n c c +=+>所以2
12n n n S S S ++≥，数列{}n S 是“对数凹性”数列
【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2
324243b b b b b >>，再判定
()1,f f x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133b b b b b >>即可；第三问根据条件将,p q 互换得0=t ，利用赋值法证明{}n W 是等差数列，再根据1
n n W S n
=及,n n S c 的关系可得n c 从而判
定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2
124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即
可.。