2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测35含答案

课时跟踪检测(三十五)
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n 。

(1）设b n ＝a n －1，求证：数列｛b n }是等比数列；
（2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2），求{c n }的通项公式．
(1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝错误!。

又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，
得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1。

∴2（a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .
∴数列{b n ｝是首项b 1＝a 1－1＝－错误!，公比为错误!的等比数列．
(2)解:由(1）知,2a n ＋1＝a n ＋1，∴2a n ＝a n －1＋1（n ≥2)， ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1(n ≥2），
即2c n ＋1＝c n (n ≥2)，
又c 1＝a 1＝12，2a 2＝a 1＋1,∴a 2＝34。

∴c 2＝错误!－错误!＝错误!,即c 2＝错误!c 1。

∴数列{c n }是首项为错误!,公比为错误!的等比数列． ∴c n ＝错误!·错误!n －1＝错误!。

2．已知数列｛a n }与｛b n },若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列｛b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .
（1)求数列｛a n｝，｛b n}的通项公式；
（2）求数列错误!的前n项和T n.
解:（1）因为对任意正整数n满足a n＋1－a n＝2，
所以{a n}是公差为2的等差数列．
又因为a1＝3，所以a n＝2n＋1.
当n＝1时，b1＝S1＝4；
当n≥2时，b n＝S n－S n－1＝（n2＋2n＋1）－＝2n＋1，对b1＝4不成立．
所以数列｛b n}的通项公式为b n＝错误!
（2）由（1)知，当n＝1时,T1＝1
b1b2＝错误!。

当n≥2时，错误!＝错误!
＝错误!错误!,
所以T n＝错误!＋错误!错误!
＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!.
当n＝1时仍成立，
所以T n＝错误!＋错误!.
3．已知数列｛a n｝是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10＝28，S8＝92；数列{b n}对任意n∈N＊，总有b1b2b3·…·b n－1b n＝3n＋1
成立．
(1）求数列｛a n｝，｛b n}的通项公式；（2)记c n＝错误!，求数列{c n}的前n项和T n。

解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
则a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋8×7
2
×d＝92,
解得a1＝1,d＝3,所以a n＝1＋3（n－1）＝3n－2。

因为b1b2b3·…·b n－1b n＝3n＋1，
所以b1b2b3·…·b n－1＝3n－2（n≥2）,
两式相除,得b n＝错误!(n≥2)．
因为当n＝1时，b1＝4适合上式，
所以b n＝错误!（n∈N＊）．
(2）由(1)知,c n＝错误!＝错误!，
则T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，①
错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，②
①－②，得错误!T n＝2＋错误!－错误!，
从而错误!T n＝2＋3×错误!－错误!
＝错误!－错误!，即T n＝7－错误!。

4．数列{a n｝满足a1＝1，a n＋1＝2a n（n∈N＊），S n为其前n项和．数
列{b n｝为等差数列,且满足b1＝a1,b4＝S3.
（1）求数列{a n},{b n｝的通项公式；
（2)设c n＝错误!，数列{c n}的前n项和为T n,求证：错误!≤T n〈错误!。

(1)解:由题意知，{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a n＝a1·2n－1＝2n－1.∴S n＝2n－1。

设等差数列{b n}的公差为d，
则b1＝a1＝1,b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，
∴b n＝1＋(n－1）×2＝2n－1.
(2）证明：∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，
∴c n＝错误!＝错误!
＝1
2错误!,
∴T n＝错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!.
∵n∈N*,∴T n〈错误!，
当n≥2时，
T n－T n－1＝错误!－错误!＝错误!〉0，
∴数列{T n}是一个递增数列,∴T n≥T1＝错误!.综上知,错误!≤T n<错误!.
学必求其心得，业必贵于专精
1．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋2a n＝3（n∈N＊),设数列{b n}满足b1＝a1,b n＝错误!（n≥2）．
(1)求数列{a n}，｛b n}的通项公式；
（2）设c n＝错误!，求数列｛c n｝的前n项和T n。

解：(1)∵S n＋2a n＝3(n∈N*),∴当n≥2时，S n－1＋2a n－1＝3，两式相减,得3a n＝2a n－1，即错误!＝错误!。

又当n＝1时,a1＋2a1＝3，∴a1＝1，
∴数列{a n｝是首项为1，公比为错误!的等比数列，
则a n＝错误!n－1.
∵当n≥2时，b n＝错误!,
两边取倒数，得错误!＝错误!＋错误!,
∴错误!－错误!＝错误!，b1＝a1＝1，
∴数列错误!是首项为1，公差为错误!的等差数列，
则错误!＝1＋(n－1）×错误!＝错误!，
∴b n＝错误!。

（2）由(1)可知，c n＝错误!＝n错误!n－1，
T n＝1＋2×错误!＋3×错误!2＋4×错误!3＋…＋(n－1）×错误!n－2＋n×n－1，①
错误!
错误!T n＝错误!＋2×错误!2＋3×错误!3＋…＋（n－1）×错误!n－1＋n×错误!n.②
①－②,得－1
2
T n＝1＋错误!＋错误!2＋…＋错误!n－1－n×错误!n＝－2＋（2
－n）×错误!n,
∴T n＝4＋2(n－2)×错误!n。

2．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1＝2,且a2，a4,a8成等比数列．
（1)求数列｛a n｝的通项公式;
（2）若｛b n－（－1）n a n｝是等比数列,且b2＝7，b5＝71，求数列{b n｝的前n项和T n.
解：(1）设数列{a n｝的公差为d（d≠0)，
因为a1＝2，且a2，a4,a8成等比数列，
所以（3d＋2）2＝（d＋2）（7d＋2），解得d＝2,
故a n＝a1＋(n－1)d＝2＋2（n－1)＝2n.
（2）令c n＝b n－（－1）n a n，设数列{c n｝的公比为q,
因为b2＝7，b5＝71，a n＝2n，
所以c2＝b2－a2＝7－4＝3，c5＝b5＋a5＝71＋10＝81,
所以q3＝错误!＝错误!＝27，故q＝3，
所以c n＝c2·q n－2＝3×3n－2＝3n－1，
即b n－（－1）n a n＝3n－1,
所以b n＝3n－1＋（－1）n·2n.
故T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝(30＋31＋…＋3n－1）＋．
当n为偶数时，T n＝错误!＋2×错误!＝错误!；
当n为奇数时，T n＝错误!＋2×错误!－2n＝错误!。

所以T n＝错误!
3．函数f(x）对任意x∈R都有f（x）＋f(1－x)＝错误!.
（1）数列｛a n}满足:a n＝f（0）＋f错误!＋f错误!＋…＋f错误!＋f(1)，数列｛a n｝是等差数列吗？若是,给予证明;若不是，请说明理由; (2）令b n＝错误!，T n＝b错误!＋b错误!＋b错误!＋…＋b错误!，S n＝32－错误!，试比较T n与S n的大小．
解：(1)数列｛a n}是等差数列，证明如下：
令x＝错误!，得f错误!＋f错误!＝错误!，
即f错误!＋f错误!＝错误!。

a n＝f（0）＋f错误!＋…＋f错误!＋f(1），
又a n＝f(1）＋f错误!＋…＋f错误!＋f(0)，
两式相加，得2a n＝＋错误!
＋…＋＝错误!.
所以a n＝错误!，n∈N*。

又a n＋1－a n＝错误!－错误!＝错误!，故数列｛a n｝是等差数列．
（2）b n＝
4
4a n－1＝错误!,
T n＝b2，1＋b错误!＋…＋b错误!＝16错误!
≤16错误!
＝16错误!
＝16错误!＝32－错误!＝S n,
所以T n≤S n。

4．设数列｛a n｝的前n项和为S n，a1＝10，a n＋1＝9S n＋10。

（1）求证：{lg a n}是等差数列;
(2）设T n是数列错误!的前n项和，求T n；
（3)求使T n>错误!(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．
(1)证明：依题意，当n＝1时，a2＝9a1＋10＝100,
故错误!＝10。

当n≥2时，a n＋1＝9S n＋10，a n＝9S n－1＋10，
两式相减，得a n＋1－a n＝9a n,即a n＋1＝10a n，错误!＝10，
故｛a n｝为等比数列,且a n＝a1q n－1＝10n(n∈N*),∴lg a n＝n。

∴lg a n＋1－lg a n＝(n＋1）－n＝1，即{lg a n}是等差数列．
(2)解：由（1)知，
T n＝3错误!
＝3错误!
＝3－错误!.
（3)解:∵T n＝3－错误!，
∴当n＝1时，T n取最小值错误!。

依题意有错误!〉错误!（m2－5m)，解得－1<m〈6，故所求整数m的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．。