高二数学选修2-1全套导学案
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变式：如图， 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 已知 ,求 的长.
※动手试试
练1.如图，已知线段AB在平面α内，线段 ，线段BD⊥AB，线段 ， ，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
练2.如图，M、N分别是棱长为1的正方体 的棱 、 的中点．求异面直线MN与 所成的角.
⑸向量表示平行、垂直关系：
设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则
① ∥ ∥
② ∥
③ ∥ ∥
（二）深入学习
例1已知两点 ,求直线AB
与坐标平面 的交点.
变式：已知三点 ,点 在 上运动（O为坐标原点）,求当 取得最小值时,点 的坐标.
小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
二、重点难点
1.掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2.掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
三、学法指导
（预习教材P105~P107，找出疑惑之处.
复习1：已知 ， ，且 ，求 .
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
四、教学过程
新知：
⑴点：在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点 的位置向量.
⑵直线：
①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
②对于直线 上的任一点 ,存在实数 ，使得 ，此方程称为直线的向量参数方程.
⑶平面：①空间中平面 的位置可以由 内两个不共线向量确定.对于平面 上的任一点 , 是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对 ,使得 .②空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
问题：如图A 空间一点 到平面 的距离为 ,已知平面 的一个法向量为 ,且 与 不共线,能否用 与 表示 ?
分析:过 作 ⊥ 于O,
连结OA,则
d=| |=
∵ ⊥ ,
∴ ∥ .
∴cos∠APO=|cos |
∴D.=| ||cos |
= =
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A 空间一点 到平面 的距离为 ,平面 的一个法向量为 ，则
变式1：上题中平行六面体的对角线 的长与棱长有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?
探究任务二：用向量求空间图形中的角度
例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离 分别为 ， 的长为 ， 的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
小结：求点到平面的距离的步骤：
⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；
⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法
例2如图，两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 和 ,使得 ,且
.已知 ，求公垂线 的长.
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
§3.2《立体几何中的向量方法（3）》导学案
一、学习目标
1.进一步熟练求平面法向量的方法；
2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
⑴ ；
⑵ .பைடு நூலகம்
五、当堂检测
1.设 分别是直线 的方向向量，则直线 的位置关系是.
2.设 分别是平面 的法向量，则平面 的位置关系是.
3.已知 ，下列说法错误的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
4.下列说法正确的是（）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
A. B. C. D.
6.如图，正方体 的棱长为1， 分别是 的中点，求：
⑴ 所成角的大小；
⑵ 所成角的大小；
⑶ 的长度.
六、反思
1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 ；
2.空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式 求解.
3.解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
二、重点难点
1.进一步熟练求平面法向量的方法；
2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
三、学法指导
复习1：已知 ，试求平面 的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？
四、教学过程
（一）导入
探究任务一：点到平面的距离的求法
三、学法指导
（预习教材P102~P104，找出疑惑之处）
复习1：可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
复习3：设a＝ ，b＝ ，a·b＝
四、教学过程
（一）导入
探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
例2用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
变式：在空间直角坐标系中,已知 ,试求平面ABC的一个法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
※动手试试
练1.设 分别是直线 的方向向量，判断直线 的位置关系：
⑴ ；
⑵ .
练2.设 分别是平面 的法向量，判断平面 的位置关系：
（一）导入
探究任务一：用向量求空间线段的长度
问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 求出线段长度.
试试：在长方体 中，已知 ,求 的长.
反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.
（二）深入学习
例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
⑴设平面的法向量为 ；
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；
⑶根据法向量的定义建立关于 的方程组；
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
§3.2《立体几何中的向量方法（2）》
一、学习目标
1.掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2.掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
D.=
试试：在棱长为1的正方体 中，
求点 到平面 的距离.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.
（二）深入学习
例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
变式：如图, 是矩形, 平面 , , , 分别是 的中点,求点 到平面 的距离.
五、当堂检测
1.已知 ，则 .
2.已知 ，则 的夹角为.
3.若M、N分别是棱长为1的正方体 的棱 的中点,那么直线 所成的角的余弦为（）
A. B. C. D.
4.将锐角为 边长为 的菱形 沿较短的对角线折成 的二面角，则 间的距离是（）
A. B. C. D.
5.正方体 中棱长为 ， , 是 的中点，则 为（）
变式：已知直三棱柱 的侧棱 ,底面 中, ，且 , 是 的中点,求异面直线 与 的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量 ，再在两条直线上分别取一点 ，则两条异面直线间距离 求解.
五、当堂检测
1.在棱长为1的正方体 中，平面 的一个法向量为；
2.在棱长为1的正方体 中，异面直线 和 所成角是；
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若 是直线 的方向向量， ，则
5.已知 ，能做平面 的法向量的是（）
A. B. C. D.
6.在正方体 中，求证： 是平面 的一个法向量.
7．已知 ，求平面 的一个法向量.
六、反思
1.空间点，直线和平面的向量表示方法
2.平面的法向量求法和性质.
求平面的法向量步骤：
⑷平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量 垂直于平面 ,记作 ⊥ ，那么向量 叫做平面 的法向量.
试试：.
1.如果 都是平面 的法向量，则 的关系.
2.向量 是平面 的法向量，向量 是与平面 平行或在平面内，则 与 的关系是.
反思：
1.一个平面的法向量是唯一的吗？
2.平面的法向量可以是零向量吗？
⑴计算 的长；
⑵求点 到平面 的距离.
六、反思
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
§3.2《立体几何中的向量方法（1）》导学案
一、学习目标
1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
二、重点难点
1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
3.在棱长为1的正方体 中，两个平行平面间的距离是；
4.在棱长为1的正方体 中，异面直线 和 间的距离是；
5.在棱长为1的正方体 中，点 是底面 中心，则点O到平面 的距离是.
6.如图，正方体 的棱长为1，点 是棱 中点，点 是 中点，求证： 是异面直线 与 的公垂线，并求 的长.
7.如图，空间四边形 各边以及 的长都是1，点 分别是边 的中点，连结 .
※动手试试
练1.如图，已知线段AB在平面α内，线段 ，线段BD⊥AB，线段 ， ，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
练2.如图，M、N分别是棱长为1的正方体 的棱 、 的中点．求异面直线MN与 所成的角.
⑸向量表示平行、垂直关系：
设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则
① ∥ ∥
② ∥
③ ∥ ∥
（二）深入学习
例1已知两点 ,求直线AB
与坐标平面 的交点.
变式：已知三点 ,点 在 上运动（O为坐标原点）,求当 取得最小值时,点 的坐标.
小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
二、重点难点
1.掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2.掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
三、学法指导
（预习教材P105~P107，找出疑惑之处.
复习1：已知 ， ，且 ，求 .
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
四、教学过程
新知：
⑴点：在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点 的位置向量.
⑵直线：
①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
②对于直线 上的任一点 ,存在实数 ，使得 ，此方程称为直线的向量参数方程.
⑶平面：①空间中平面 的位置可以由 内两个不共线向量确定.对于平面 上的任一点 , 是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对 ,使得 .②空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
问题：如图A 空间一点 到平面 的距离为 ,已知平面 的一个法向量为 ,且 与 不共线,能否用 与 表示 ?
分析:过 作 ⊥ 于O,
连结OA,则
d=| |=
∵ ⊥ ,
∴ ∥ .
∴cos∠APO=|cos |
∴D.=| ||cos |
= =
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A 空间一点 到平面 的距离为 ,平面 的一个法向量为 ，则
变式1：上题中平行六面体的对角线 的长与棱长有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?
探究任务二：用向量求空间图形中的角度
例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离 分别为 ， 的长为 ， 的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
小结：求点到平面的距离的步骤：
⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；
⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法
例2如图，两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 和 ,使得 ,且
.已知 ，求公垂线 的长.
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
§3.2《立体几何中的向量方法（3）》导学案
一、学习目标
1.进一步熟练求平面法向量的方法；
2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
⑴ ；
⑵ .பைடு நூலகம்
五、当堂检测
1.设 分别是直线 的方向向量，则直线 的位置关系是.
2.设 分别是平面 的法向量，则平面 的位置关系是.
3.已知 ，下列说法错误的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
4.下列说法正确的是（）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
A. B. C. D.
6.如图，正方体 的棱长为1， 分别是 的中点，求：
⑴ 所成角的大小；
⑵ 所成角的大小；
⑶ 的长度.
六、反思
1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 ；
2.空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式 求解.
3.解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
二、重点难点
1.进一步熟练求平面法向量的方法；
2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
三、学法指导
复习1：已知 ，试求平面 的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？
四、教学过程
（一）导入
探究任务一：点到平面的距离的求法
三、学法指导
（预习教材P102~P104，找出疑惑之处）
复习1：可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
复习3：设a＝ ，b＝ ，a·b＝
四、教学过程
（一）导入
探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
例2用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
变式：在空间直角坐标系中,已知 ,试求平面ABC的一个法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
※动手试试
练1.设 分别是直线 的方向向量，判断直线 的位置关系：
⑴ ；
⑵ .
练2.设 分别是平面 的法向量，判断平面 的位置关系：
（一）导入
探究任务一：用向量求空间线段的长度
问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 求出线段长度.
试试：在长方体 中，已知 ,求 的长.
反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.
（二）深入学习
例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
⑴设平面的法向量为 ；
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；
⑶根据法向量的定义建立关于 的方程组；
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
§3.2《立体几何中的向量方法（2）》
一、学习目标
1.掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2.掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
D.=
试试：在棱长为1的正方体 中，
求点 到平面 的距离.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.
（二）深入学习
例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
变式：如图, 是矩形, 平面 , , , 分别是 的中点,求点 到平面 的距离.
五、当堂检测
1.已知 ，则 .
2.已知 ，则 的夹角为.
3.若M、N分别是棱长为1的正方体 的棱 的中点,那么直线 所成的角的余弦为（）
A. B. C. D.
4.将锐角为 边长为 的菱形 沿较短的对角线折成 的二面角，则 间的距离是（）
A. B. C. D.
5.正方体 中棱长为 ， , 是 的中点，则 为（）
变式：已知直三棱柱 的侧棱 ,底面 中, ，且 , 是 的中点,求异面直线 与 的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量 ，再在两条直线上分别取一点 ，则两条异面直线间距离 求解.
五、当堂检测
1.在棱长为1的正方体 中，平面 的一个法向量为；
2.在棱长为1的正方体 中，异面直线 和 所成角是；
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若 是直线 的方向向量， ，则
5.已知 ，能做平面 的法向量的是（）
A. B. C. D.
6.在正方体 中，求证： 是平面 的一个法向量.
7．已知 ，求平面 的一个法向量.
六、反思
1.空间点，直线和平面的向量表示方法
2.平面的法向量求法和性质.
求平面的法向量步骤：
⑷平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量 垂直于平面 ,记作 ⊥ ，那么向量 叫做平面 的法向量.
试试：.
1.如果 都是平面 的法向量，则 的关系.
2.向量 是平面 的法向量，向量 是与平面 平行或在平面内，则 与 的关系是.
反思：
1.一个平面的法向量是唯一的吗？
2.平面的法向量可以是零向量吗？
⑴计算 的长；
⑵求点 到平面 的距离.
六、反思
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
§3.2《立体几何中的向量方法（1）》导学案
一、学习目标
1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
二、重点难点
1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
3.在棱长为1的正方体 中，两个平行平面间的距离是；
4.在棱长为1的正方体 中，异面直线 和 间的距离是；
5.在棱长为1的正方体 中，点 是底面 中心，则点O到平面 的距离是.
6.如图，正方体 的棱长为1，点 是棱 中点，点 是 中点，求证： 是异面直线 与 的公垂线，并求 的长.
7.如图，空间四边形 各边以及 的长都是1，点 分别是边 的中点，连结 .