复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
内 容 标 准 学 科 素 养
1. 熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；
2. 理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结
合”的思想解题.
严格数学定义熟练数形结合提升数学运算
授课提示：对应学生用书第 54 页
[基础认识]
知识点一 复数代数形式的加减法 预习教材P 107－108，思考并完成以下问题
类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减运算？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋ d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.
知识梳理 (1)运算法则
设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋ b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.
(2)加法运算律
对任意 z 1，z 2，z 3∈C ，有 z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义 思考并完成以下问题
1. 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的 几
何意义吗？
提示：如图，设 → ， →
分别与复数 a ＋b i ，c ＋d i 对应，
OZ 1 OZ 2
则
→ → OZ 1＝(a ，b )，OZ 2＝(c ，d
)，
由平面向量的坐标运算，得 → ＋ →
＝(a ＋c ，b ＋d )，
所以
→ → OZ 1 OZ 2
OZ 1＋OZ 2与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以
按照
向量的加法来进行．
2. 怎样作出与复数 z 1－z 2 对应的向量？
提示：z 1－z 2 可以看作 z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z 1
－z 2 对应的向量(如图)．图中 → 对应复数 z 1， →2对应复数 z 2，则 →
对应复数 z 1－z 2.
知识梳理
OZ 1 OZ Z 2Z 1
复数加法的几何意义
复数 z 1＋z 2 是以 → ， →
为邻边的平行四边形
OZ 1 OZ 2 的对角线→
所对应的复数
OZ
复数减法的几何意义
复数 z 1－z 2 是从向量 →2的终点指向向量 →
的
OZ OZ 1
终点的向量 →
所对应的复数
Z 2Z 1
提示：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．
(2) 运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中 仍
然成立．
(3) 运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数． (4) 适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算．
(5) 虚数单位 i ：在进行复数加减运算时，可将虚数单位 i 看成一个字母，然后去括号，
合并同类项即可．
2．怎样理解复数加减法运算的几何意义？
提示：(1)复数的加法：根据复数加法的几何意义知，两个复数的和就是两个复数对应 向量的和所对应的复数．
(2)复数的减法：根据复数减法的几何意义，两个复数的差就是两个复数对应向量的差 所对应的复数．
[自我检测]
1．已知复数 z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则 z 1＋z 2 等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i
D ．6－8i
2．若复数 z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋7i ，则复数 z ＝z 1－z 2 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝____ __.
授课提示：对应学生用书第 54 页 探究一 复数的加、减运算 [例 1] 计 算 ： (1)(－2＋3i)＋(5－i)；
(2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．
方法技巧 复数加、减运算法则的记忆
(1) 复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2) 把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
(3) 在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应 的
实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差，注意中间用“＋”号，如 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ，而不是 z 1－z 2＝(a －c )－(b －d )i(a ，b ，c ，d ∈R )．
(4) 复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把 实
部与虚部分别相加．
提醒：注意运算格式及范围，避免出错
跟踪探究 1.(1)已知 z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i.求 z 1＋z 2，z 1－z 2；
⎛1 1 ⎫ ⎛4 3 ⎫
(2)计算：⎝3＋2i ⎭＋(2－i)－⎝3－2i ⎭.
探究二 复数加减法的几何意义
[例 2] 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O ，A ，C 分别对应的复数为 0,3＋2i ，－2＋4i.
求： →
表示的复数．
(1) AO
→
(2) CA 表示的复数．
AB BC AC 延伸探究 (1)若本例条件不变，试求点 B 所对应的复数．
(2)若本例条件不变，求对角线 AC ，BO 的交点 M 对应的复数．
方法技巧 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1) 技巧．
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之 中．
(2) 常见结论：在复平面内，z 1，z 2 对应的点分别为 A ，B ，z 1＋z 2 对应的点为 C ，O 为坐
标原点，则四边形 OACB ：
①为平行四边形；
②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形 OACB 为菱形；
④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形 OACB 为正方形．
跟踪探究 2.在复平面内 A ，B ，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i ，－1＋2i. (1)求→， → ， →
对应的复数；
(2) 判断△ABC 的形状； (3) 求△ABC 的面积．
探究三 复数模的最值问题
[例 3] 复数 z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为 A ，B ，C ， 若∠BAC 是钝角，求实数 c 的取值范围．
延伸探究(1)在本例中，若∠BAC 为锐角，求实数c 的取值范围．
(2)在本例中，求|z1＋z3|的最小值．
方法技巧(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r 表示以z0对应的点为圆心，r 为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
跟踪探究 3.已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
授课提示：对应学生用书第56 页
[课后小结]
(1)复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
(2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
[素养培优]
误解复数代数形式的几何意义致错
易错案例：已知复平面上的四个点A，B，C，D 构成平行四边形，顶点A，B，C 对应的复数分别为－5－2i，－4＋5i,2，则点D 对应的复数为_____ _．
B ． 3i
5 5 CD
C. 5
D. 2
单独成册：对应学生用书第 105 页
[A 组 学业达标]
1. 已知复数 z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数 z ＝z 1－z 2 在复平面内对应的点 Z 位于复平
面内的( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知 x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若 1＋x i ＝(2－y )－3i ，则|x ＋y i|＝( ) B ．3
3. 如果一个复数与它的模的和为 5＋ 3i ，那么这个复数是( )
A.11 C.11
＋ 3i
11
D. 5 ＋2 3i
4. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若向量→ ， →
对应的复数
OA OB 分别是 3＋i ，－1＋3i ，则 → 对应的复数是( )
A ．2＋4i
B ．－2＋4i
C ．－4＋2i
D ．4－2i
5. A ，B 分别是复数 z 1，z 2 在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，
则△AOB 一定是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
6．设复数 z 满足 z ＋|z |＝2＋i ，则 z ＝ ____ _ .
7．已知复数 z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i(a ∈R )，且复数 z 1－z 2 在复平面内对应的点位于第二象限，则 a 的取值范围是 ___
．
8．若复数 z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋a i ，且 z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋c i ，则实数 a ＝_ ______ ， b ＝____
，c ＝_ _ .
9．已知 z (a ＋1)i ，z ＝－3 3b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且 z －z ＝4 3，求复数
1 2 1 2
z ＝a ＋b i.
A. 10
B ． 2 BA B
C [B 组 能力提升]
10．复数 z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i(a ∈R )在复平面内对应的点位于虚轴上，则 z －1－i 等 于 ( )
A ．－1－3i 或－1－i
B ．－1－i
C ．－1－3i
D ．－1＋i 或－1＋3i
11．如果复数 z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 C ．2
12．已知在复平面内的正方形 ABCD 有三个顶点对应的复数分别是 1＋2i ，－2＋i ，－1 －2i ，则第四个顶点对应的复数是___ ____ ．
13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是____ ___ ．
14. 已知|z |＝2，求|z ＋1＋ 3i|的最大值和最小值．
15. 已知在复平面内的平行四边形 ABCD 中，A 点对应的复数为 2＋i ，向量→
对应的
复数为 1＋2i ，向量→ 对应的复数为 3－i. (1)
求点 C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形 ABCD 的面积．
D. 5。