【新】高中数学专题10平面向量应用举例同步单元双基双测卷A卷新人教A版必修4

专题十平面向量应用举例
（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.法向量为(3,5)的直线，其斜率为（ ） A.35-
B. 35
C. 53
D. 53
- 【答案】A.
【解析】因为法向量为(3,5)的直线，可知与已知直线垂直的直线的斜率为
5
3
，那么可知已知直线的斜率为3
5
-，选A. 2.
已知向量1(,22
BA =uu v
,1
(),22BC =uu u v 则ABC ∠=（ ）
(A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
【答案】A 【解析】
由题意，得11
2222cos 11||||
BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠=
==⨯30ABC ∠=︒，故选A ．
3.在四边形ABCD 中，(2,4)AC =u u u r ，
(6,3)BD =-uu u r
,则该四边形的面积为（ ）.
A. B.52 C.5 D.15 【答案】D
4.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ）
A ．(1,3);arctan3d α==
B ．(1,3);arctan(3)d α=-=-
C ．(1,3);arctan3d απ==-
D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】
由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=a ,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.
5.M 是ABC ∆所在平面上一点，满足2MA MB MC AB ++=，则ABM
ABC
S S ∆∆为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:1 D ．1:4 【答案】
B
6.在平面四边形ABCD 中，满足AB ＋CD ＝0，(AB －AD )·AC ＝0，则四边形ABCD 是( )． A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形
D ．梯形
【答案】C
【解析】因为AB ＋CD ＝0，所以AB ＝－CD ＝DC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，又(AB －
AD )·AC ＝DB ·AC ＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．
7.【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】已知O 是ABC ∆所在平面上一点，满足
2222||||OA BC OB CA +=+，则点O ( )
A. 在过点C 与AB 垂直的直线上
B. 在A ∠的平分线所在直线上
C. 在过点C 边AB 的中线所在直线上
D. 以上都不对 【答案】A
【解析】由2
2
2
2
||||OA BC OB CA +=+得， 2
2
2
2
||||OA OB CA BC -=-，
2222
OA OB CA BC -=-⇒ ()()
()()OA OB OA OB CA BC CA BC -⋅+=+⋅-⇒
()
()()()BA OA OB CA CB CA BC CA CB BA ⋅+=+⋅+=+⋅⇒
()()20BA OA OB CA CB OA AC OB BC BA OC BA ⋅+--=+++⋅=⋅=⇒ AB OC ⊥
故选A.
8.【2018届江西省南昌市上学期高三摸底】已知,,A B C 是圆22
:1O x y +=上的动点，且AC BC ⊥，若
点M 的坐标是()1,1，则MA MB MC ++的最大值为 A. 3 B. 4 C. 21- D. 321+ 【答案】D
9.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 4===（ ） A.8 B.4 C.2 D.1 【答案】C
=
1111
422222
AB AC AB AC CB +=-==⨯=，故选C. 10.如图，P 是ABC ∆所在的平面内一点，且满足2
3
BA BC BP +=，,D E 是BP 的三等分点，则（ ）
A.BA EC =
B.4PA PC BD +=
C.BA BC DP +=
D.PA PC BC BA -=- 【答案】C
【解析】由于P 是ABC ∆所在的平面内一点，且满足2
3
BA BC BP +=，,D E 是BP 的三等分点，则四边形ABCE 为平行四边形，=，==+.
11.在ABC ∆中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 【答案】A
【解析】由2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，知⋅-⋅=⋅-2
0)()()()(=+⋅⇒-⋅=⋅⇒-⋅=-BC AB CB BC BC CB AB CA BA BC AC AB AB
所以CB CB ⊥⋅⇒=0，故ABC ∆为直角三角形
12. 已知非零向量AB 与C A 满足•0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+
= ⎪⎝⎭
，且1
•2
A B A C
A B A C =-，则ABC ∆的形状为（ ）
A. 等边三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 三边均不相等的三角形
D. 直角三角形 【答案】B 【解析】注意到
AB AB
表示与AB 同向的单位向量，
AC AC
表示与AC 同向的单位向量，所以
AB AB AC AC
+
表示以与AB 同向的单位向量和与AC 同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为(
AB AB
)0AC BC AC
+
⋅=,所以AB = AC ；由
AB AB
1
2AC
AC
⋅
=-可以得出AB 与AC 夹角为
120，所以ABC
∆为等腰非等边三角形,故选B.
第II 卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

） 13. 如图在平行四边形ABCD 中， ,,3,AB a AD b AN NC M ===为BC 中点，
MN =__________． (用,a b 表示)
【答案】11
44
a b -
+ 【解析】()
1111
,,,,,2424
MC BC AD BC AB DC CN AC AC AB BC MC b CN a b ====-=+∴==-+
()
11112442MN MC NC b a b a b ∴=+=-+=-+ ，故答案为11
44
a b -+
14.【2017届北京市大兴区第一次综合练习】已知圆22
:1O x y +=的弦AB 若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB ⋅=____；若点P 为圆O 上的动点，则AP AB ⋅的取值范围是_____．
【答案】 2 11⎡-⎣
15.【2018届安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考】如图，在平面斜坐标系中，
，
斜坐标定义：如果
（其中，分别是轴，轴的单位向量），则
叫做的斜坐标.
（1）已知得斜坐标为
，则__________．
（2）在此坐标系内，已知，动点满足，则的轨迹方程是__________．
【答案】 1
【解析】（1）∵，
∴
1．
（2）设P （x ，y ），由得|（x ，y ﹣2）|=|（x ﹣2，y ）|，∴
整
理得：y=x ． 故答案为：1；y=x
16. 已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝1
2
(DC ＋DB )，则BE ·DF ＝________. 【答案】3
10-
【解析】如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． 则B (0,0)，E 2(2,)3，D (2,2)．由DF ＝12
(DC ＋DB )知F 为BC 的中点，故BE ＝2
(2,)3，DF ＝(－1，
－2)，∴BE ·DF 4
10233
＝－－＝－
.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）如下图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i （i ＝1，2，…， 7）是小正方形的其余顶点，试确定i AB AP ⋅（i ＝1，2，…，7）的不同值的个数.
【答案】3 【解析】
因为21=⋅，02=⋅AP ，222223=⨯⨯=⋅AP
，45
5
2524=⨯⨯=⋅AP ，05=⋅AP ，4552526=⨯⨯=⋅AP
，42
2
2227=⨯⨯=⋅AP ，所以其数量积共有4,2,0三种不同的可能值.
18.（本小题12分）已知△ABC 内部的一点O ，恰使OA ＋2OB ＋3OC ＝0，求△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积之比.(结果须化为最简) 【答案】3∶2∶1
【解析】∵OA ＋2OB ＋3OC ＝0，∴()
20OA OC OB OC +++=，如图,D E 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知：20OE OD +=，∴O 为三角形ABC 中位线DE 的三等分点（靠近D ），∴
12OAB ABC S S ∆∆=
， 16OBC ABC S S ∆∆=，1
3
OAC ABC S S ∆∆=，∴,,OAB OAC OBC 的面积之比为111
::3:2:1236
=． 19.（本小题12分）已知a 、b 是非零平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，求a 与b 的夹角. 【答案】
3
π
20.（本小题12分）已知
，
，向量
，
的夹角为
,点C 在AB 上，且
.
设，求的值.
【答案】，，.
【解析】试题分析：对向量进行正交分解，结合直角三角形的几何性质，即可得到答案. 试题解析：
解法一：∵ 向量，的夹角为，，，
∴ 在直角三角形中，
又∵，则∽∽，∴、都是直角三角形，
则，
过作交于，
过作交于，
则，，
，，
∴
∴ ，，
解法二提示：在方程两边同乘以向量、得到两个关于、的方程组，解方程组可
得，，
21.（本小题12分）如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，求实数λ的取值范围.
【答案】)4
1
,209(-- 【解析】
以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则
33
(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),E(,1),F(,1)22
A B C D ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则
29511
1(,)444PE PF x λ=⋅=-+∈-；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则
29511
1(,)444PE PF x λ=⋅=-+∈-；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则
22292791
(32)512(,)44204PE PF x x x x λ=⋅=-+-=-+∈--；当P 在AD 边上时，设(,24),(2,1)P x x x +∈--，
则22292791
(32)512(,)44204
PE PF x x x x λ=⋅=-+-=-+∈--；
因此实数λ的取值范围是9151191
(,)(,)(,)20444204
---=--.
22.（本小题12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上．
（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ+的值；
（2）若AB = 2BC =，当1AE BF ⋅=时，求DF 的长．
【答案】(1)
16（2）3
【解析】试题分析：（1）EF EC CF =+ ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =
+，又∵BC AD =,CD AB =-,∴1132EF AB AD =+， 111326
λμ+=-+=；（2）设(0)DF mDC m =>，则()1CF m DC =-，以AB ， AD 为基底，
11
22
AE AB BC AB AD =+
=+ ， ()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+ ，∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣
⎦⎝⎭，解得23m =,故
DF ．
(2)设(0)DF mDC m =>，则()1CF m DC =-，∵11
22
AE AB BC AB AD =+
=+ ， ()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+ ，
又
AB AD ⋅=，
∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛
⎫⎡⎤⋅=+
⋅-+=-+=-+= ⎪⎣
⎦⎝
⎭，解得23m =,
故DF。