《结构力学》习题解-2009[1]

第二章 平面体系的机动分析
题2-2.试对图示平面体系进行机动分析。

解析：如图2－2（a ）所示，去掉二元体为（b ），根据两刚片法则，原体系为几何不变
体系，且无多余约束。

题2-3.试对图示平面体系进行机动分析。

解析：图2－3（a ）去除地基和二元体后，如图2－3（b ）所示，刚片Ⅰ、Ⅱ用一实铰3o ；
Ⅰ、Ⅲ用一无穷远虚铰1o 连接；Ⅱ、Ⅲ用一无穷远虚铰2o 连接；三铰不共线，根据三刚片法则，原体系为几何不变体系，且无多余约束。

题2-4.试对图示平面体系进行机动分析。

解析：刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用一实铰1o 和两虚铰2o 、3o 连接，根据三刚片法则，体系为几何
图2－2
（a ）
（
b
）
（b ）
(a)
图2－3
不变体系，且无多余约束。

题2-5.试对图示平面体系进行机动分析。

解析：刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ通过铰1o 、2o 、3o 连接，根据三刚片法则，体系为几何不变体系，
且无多余约束。

题2-7.试对图示平面体系进行机动分析。

解析：刚片Ⅰ、Ⅱ用一无穷远虚铰1o 连接，刚片Ⅰ、Ⅲ用一无穷远虚铰2o 连接，
刚片Ⅱ、Ⅲ通过一平行连杆和一竖向链杆形成的虚铰3o 连接，根据三刚片法则，体系为几何不变体系，且无多余约束。

题2-8.试对图示平面体系进行机动分析
解析：去除二元体如图（b ）所示，j=12,b=20所以，232122031w j b =--=⨯--=，
（a ）
（b ）
图
2－7
图2－5
图
2－4
所以原体系为常变体系。

题2-9.试对图示平面体系进行机动分析
解析：去除地基如图（b ）所示，刚片Ⅰ、Ⅱ用实铰1o 连接，刚片Ⅰ、Ⅲ用虚铰2o 连接，
刚片Ⅱ、Ⅲ用虚铰3o 连接，根据三刚片法则，体系为几何不变体系，且无多余约束。

题2-10.试对图示平面体系进行机动分析
解析：AB,CD,EF 为三刚片两两用虚铰相连（平行链杆），且
三铰都在无穷远处。

所以为瞬变体系（每对链杆各自等长，但由于每对链杆从异侧连接，故系统为瞬变，而非不变）。

题2－11.试对图示平面体系进行机动分析
图2－
9
（b ）
（a ）
（a ）
（b ）
图2－11
图2－8
（a ）
（b ）
图2－10
解析：先考虑如图（b ）所示的体系，将地基看作一个无限大刚片Ⅲ，与刚片Ⅰ用实铰2o
连接，与刚片Ⅱ用实铰3o 连接，而刚片Ⅰ、Ⅱ用实铰1o 连接，根据三刚片法则，图（b ）体系为几何不变体系，且无多余约束。

然后在图（b ）体系上添加5个二元体恢复成原体系图（a ）。

因此，原体系为几何不变体系，且无多余约束。

题2-12. 试对图示平面体系进行机动分析
解析：如图（b ）所示，将地基看作刚片Ⅲ，与刚片Ⅰ用虚铰
2
o 连接，与刚片Ⅱ用虚铰
3
o 连接，而刚片Ⅰ、Ⅱ用实铰
1
o 连接，根据三刚片法则，原体系为几何不变体系，
且无多余约束。

题2-13.试对图示平面体系进行机动分析
解析：将原体系（图（a ））中的二元体去除，新体系如图（b ）所示，其中刚片Ⅰ、Ⅱ
分别与基础之间用一个铰和一个链杆连接，根据两刚片法则，原体系为几何不变体系
2-14.试对图示平面体系进行机动分析
解析：刚片Ⅰ、Ⅱ用实铰连接，而刚片Ⅰ和Ⅲ、Ⅱ和Ⅲ分别通过两平行连杆在无穷远处
形成的虚铰相连接，且四根连杆相互平行，因此三铰共线，原体系为瞬变体系。

（a ）
（b ）
图2－
13
图2－12
（a ）
（b ）
题2-15. 试对图示平面体系进行机动分析
解析：去除原体系中的地基，如图（b ）所示，三个刚片分别通过长度相等的平行连杆
在无穷远处形成的虚铰相连，故为常变体系。

题2-16.
试对图示平面体系进行机动分析
解析：将支座和大地看成一个整体，因此可以先不考虑支座，仅考虑结构体，从一边，
譬如从右边开始向左依次应用二元体法则分析结构体，最后多余一根，因此原体系是有一个多余约束的几何不变体系。

题2-17.
试对图示平面体系进行机动分析。

解析：通过去除多余连杆和二元体，得到的图（c ）为几何不变体系，因此，原体系是
有8个多余约束的几何不变体系。

图2－14
（b ）
去二元体
（a ）
图2－15
（a ）
（b ）
图2－16
题2-18. 添加最少数目的链杆和支承链杆，使体系成为几何不变，且无多余联系。

解析：如图（a ），原体系的自由度32342324w m b r =--=⨯-⨯-=，因此至少需要添
加4个约束，才能成为几何不变体系。

如图（b ）所示，在原体系上添加了4跟连杆后，把地基视为一个刚片，则由三刚片法则得知，变形后的体系为几何不变且无多余约束体系。

题2-19. 添加最少数目的链杆和支承链杆，使体系成为几何不变，且无多余联系。

解析：如图（a ），原体系的自由度2()26(81)3w j b r =-+=⨯-+=，因此需要添加3个
约束，才能成为几何不变且无多余约束体系，如图（b ）所示。

去掉中间8
（a ）
（b ）
（c
）
（
a ）
（b ）
图
2
－18
（b ）
（a ）
图 2－19
图2－17
第三章 静定梁与静定刚架
题3-2. 试作图示单跨梁的M 图和Q 图
解析：
2018044020108067.50
101020052.552.546033040A
B B A B A D D M
V V KN
V V V V KN
M KN m M KN m =∴⨯-⨯--⨯+=∴==∴⨯+--=∴=⨯⨯+∑∑左右＝－＝30＝＝70
题3-4. 试作图示单跨梁的M 图
解析： 2
3
23
20
33
243
8
B
B A B A A V V ql V ql
M V l ql l M M ql =∴-=∴==∴--=∴=∑∑
题3-8. 试做多跨静定梁的M 、Q 图。

解析：
20
1542(1517.5)64063.750
663.752154018.750
618.75830430205555303018.75023.75F
D D G
F D A
C C A A M V V KN
M V V KN
M
V V KN
V V KN l
=∴⨯⨯++⨯-⨯=∴==∴+⨯-⨯=∴==∴-⨯-⨯-⨯=∴=+---=∴=∑∑∑
题3-10. 试不计算反力而绘出梁的弯矩图。

题3-11. 试不计算反力而绘出梁的弯矩图。

题3-14. 试做出图示刚架的M、Q、N图。

题3-16. 试做出图示刚架的M 图。

解析：
15020240201000
010********G
A A A
B
C B C M
H H KN
H V H H V H KN V KN
=∴⨯++⨯-⨯=∴=-==∴+=⨯+-=∴==∑∑∑
02
22
02
344
B
A A
B A B C
B B B A A B M
V l
ql
V l V V ql ql
V V M
H l
V H l ql H H ql ql
H H ==∴-=-=∴=
===∴
-=--=∴=
=∑∑∑∑解析
取右半部分作为研究对象
题3-18. 试做出图示刚架的M 图。

解析：
6.5 6.50.8 6.50.5 6.514022
1.960
01.960
6.590.5 6.5 2.5 1.9670
23.60
0.8 6.50.5 6.504.85A
B B A B A
C B B B A A M
V V KN V V V V KN
M H H KN
H H H H KN
=∴⨯⨯
+⨯⨯-=∴==∴+=∴==⎛
⎫∴-⨯⨯+-⨯= ⎪⎝⎭
∴==∴⨯+⨯--=∴=∑∑∑∑
题3-24. 试做出图示刚架的M 图。

解析：
a 0410420
20b 0420420
400
81220410201042204062.5G
E E H
F F A
B F B M V V KN
M V V KN M
V V V KN
=-⨯⨯=∴==-⨯⨯=∴==∴+-⨯⨯--⨯⨯-⨯=∴=∑∑∑取左半部分为研究对象，如图（）所示
取右半部分为研究对象，如图（）所示
以整体为研究对象
00
42.540A A V H V KN H KN
==∴=∴=∑∑
3-26．已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。

（b ）
第五章 静定平面桁架
题5-7．试用较简便的方法求图示桁架中指定杆件的内力。

解析：
111222330,07
()2
I I a 7
2460
2
4(ЦЦb 0o '7
2202
()0
7202()
4A B A B N N N N N N N N M M V V F dF F d dF F F M F d dF Fd F V F F F F F ====
↑-+∙-=∴=--=∑∴∙++-=∴==∑∴-+=∴=∑∑1）以整体为研究对象由得
2）取截面的左半部分为研究对象，如图（）所示
压)3）取截面的左半部分为研究对象，如图（）所示拉压
）以结423c 002()
N N N V C F F F F =∑∴--=∴=-点C 为研究对象，如图（）所示压
题5-12．试用较简便的方法求图示桁架中指定杆件的内力。

解析：
a b c d o
a 0I I ЦЦ10,0,15()5()
2b 05(ЦЦc 0
10630,20(ІІN N N N A B B Nd Nb Nb M V V KN V KN V F KN B M F F =--===↓=↓==∑-=∴⨯-=∴=-∑∑∑如图（）所示，首先去0杆，可知F ；选取截面和截面求F 、F 、F ）以整体为研究对象
由求得支座反力，）以结点B 为研究对象，如图（）所示由得拉）
3）取截面的左半部分为研究对象，如图（）所示
拉）
4）取
截面的下半部分为o
c c
d 0
153533302
21.2()Nd N N M
F F F KN =∴⨯+⨯--
⨯=∴==∑研究对象，如图（）所示
拉
5-18. 试求图示组合结构中各链杆的轴力并做受弯杆件的内力图。

解析：
11o
3365a 0
1125650300
27.327.3c 0
327.33256503072.70
32530250
27.30252B
C C B C B G
N N N N C
C
N N M
X X X X X KN X KN
M F F KN M F F KN X
Y
F F ==∴-⨯-⨯=-=∴===∴+⨯-⨯-⨯=∴==∴+⨯=∴=-==∴++
=+∑∑∑∑∑∑取结构的右半部分进行分析，如图（）所示
如图（）所示，取结构的右上部分为研究对象
（拉）
（压）
55
6451264
202
2.3002225
N N N N N N N N N N F F F KN F F F F F F KN F =∴=-=-+
=+-=∴==-（压）（压）又
（拉）
第六章影响线及其应用
题6-4. 试作图示结构中下列量值的影响线：
BC
S、
D
M、
D
Q、
D
N.1
P 在AE部分移动。

解析：
题6-9. 作主梁B R 、D M 、D Q 、C Q 左、C Q 右的影响线。

题6-10. 试做图示结构中指定量值的影响线。

题6-22. 试求图示简支梁在所给移动荷载作用下截面C 的最大弯矩。

解析：
a 40 2.2560 1.7520 1.25300.75242.5400.7560 2.2520 1.7530 1.25237.5C C C M M KN m M KN m =⨯+⨯+⨯+⨯=∙=⨯+⨯+⨯+⨯=∙如图（）所示为的影响线，可知当外荷载作用在截面C ，且其它荷载均在梁上时才有可能产生最大弯矩。

考虑荷载P=40KN 和P=60KN 分别作用在C 截面两种情况。

1）P=40KN 作用在C 截面
2）P=60KN 作用在C 截面
由此可知，242.5C M KN m ∙当P=40KN 作用在C 截面时，产生最大。

题6-27. 求简支梁的绝对最大弯矩。

解析：
2
2
max
201203601420120601806044
2
6 5.331803
223
1804120426.7224123C C k M KN M KN m R KN m l a a m m R l a M M KN m l ∴=⨯+⨯=∙=+=∙⨯∴=
==-=⎛⎫⎛⎫
∴=-=--=∙ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭
如图跨中截面C 的弯矩影响线，可知临界荷载为120KN ，此时的力已在梁外，
x=--
第七章 结构位移计算
题7-3.图示曲梁为圆弧形，EI =常数，试求B 点的水平位移。

解析：
20
1/2
/2
4
4
10
sin()(1cos )
sin sin (1cos )()
2BH M qRd R qR M R M M qR qR ds d EI EI
EI
ϕ
ϕππϕθϕθϕϕ
ϕϕϕ=⋅-=-=-∴∆=
=
-=←⎰⎰
⎰
不考虑轴力时
题7-4. 图示桁架各杆截面均为32210A m -=⨯, 210E GPa =,40P KN =,2d m =,试求（1）C 点的竖向位移；（2）ADC ∠的改变量。

解析：
1
1c 93
3221,1
2101021012()2222(3)(1)22223.5210()
12101P P P DC
N C P N N N l EA P d P d m D C N N N l EA ϕ--=∴∆==⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎛⨯-⨯-+⨯⨯⨯+⨯+-⨯-⨯⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⨯↓∴==
⨯∑
（1）各杆件的轴力如图，在点处施加一虚力其引起的各杆件内力如图（2）在、
两点处施加一对虚力偶，其引起的各杆件内力如图93
33393
31
2(3)2021020.42101
21010210311
22222()2(3)244420.936100.421P AD DC AD P d a rad
D N N N l EA P d P d d P d d d d d rad
ϕϕϕϕ----⎡⎤+⨯-⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦
=-⨯∴==⨯⨯⨯⨯⎡⎤-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯⎢⎥⎣⎦=⨯∴=+=-⨯∑∑
在A 、两点处施加一对虚力偶，其引起的各杆件内力如图33400.93610 5.1610rad
---+⨯=⨯
题7-10. 用图乘法求C、D两点距离改变。

解析：
（a）
在C、D两点施加一对虚力，支座反力和杆件内力如图所示。

绘制M和M图，
3333412121120.40.420.22(0.4)3838231115CD qa a qa a qa a qa a EI
qa EI
⎡⎤⎛⎫∆=
⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=
题7-12. 用图乘法求铰C 左右截面相对转角及CD 两点距离改变，并勾绘变形曲线。

解析：
1）铰C 左右两截面的相对转角，如图p M 和
1M 。

221
111122232236c pa a pa a pa EI
EI ϕ⎡⎤=
⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣
⎦ (↙↘) 2）CD 相对距离的改变，如图p M 和2M 。

1111232CD
a pa EI ∆=-⨯⨯⨯=
第八章 力法
题8-3. 作图示超静定梁的M 、Q 图。

解析：
体系为一次超静定体系，解除支座C 处的多余约束。

如图1M
3
211311111311311
2122()23311/2241603316232
p p p
l l l EI EI pl pl l l EI EI x pl EI p x EI l δδδ=⨯=
⎡⎤
∆=-⨯⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦+∆=∆=-
=⨯=↓解得（）
题8-6. 图示刚架E=常数，2
5
n =
,试做其M 图，并讨论当n 增大和减小时M 图如何变化。

解析：
体系为一次超静定体系，解除支座B 处的一个约束，基本体系、p M 和1M 如图所示。

计算11δ、1p ∆求解1x ，并绘制M 图。

111111121
12111111
11
02122288(666)610623123751237523000
106106323253000125
28812
62.5p p p
P CD DC CA DB x EI EI EI EI EI EI x M M x M M M M M KN m δδδ+∆==
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=∆=-
⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=-∆=-
=
==+∙====∙解得 题8-7. 作刚架的M 图。

解析：
体系为二次超静定体系，解除铰C 处的两个约束，基本体系、p M 、 1M 、2M 如图所示。

计算11δ、12δ、22δ、1p ∆和2p ∆求解1x 、2x ，并绘制M 图。

11
1221
22
1
2
1111221
2222112
112144
6662
23
111
6636630
22
212126
333363
23
1151260
31686
26
11756
31683
2
p
p
p
p
EI EI
EI
EI EI
EI EI
EI EI
x x
x x
δ
δδ
δ
δδ
δδ
⎡⎤
=⨯⨯⨯⨯⨯=
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤==⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
∆=⨯⨯⨯⨯=-
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
∆=-⨯⨯⨯=
⎢⎥
⎣⎦
++∆=
++∆
1
2
1122
8.75
6
97.5
P
AC
x KN
x KN
M M M x M x
M KN m
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
=
⎧
⎨
=-
⎩
=+∙+∙
=∙
解得
题8-9. 试求图示超静定桁架各杆的内力。

解析：
体系为一次超静定体系，p N 、 N 如图所示。

计算11δ、1p ∆求解1x 、计算各杆内力。

(
11112222111110111212(412()(2(30.896p P p P x Nl a
a a a EA EA EA NN l Pa Pa Pa EA EA EA x P
N N x N
N δδ+∆=⎡⎤==∙+∙+∙+⨯=+⎢⎥⎣
⎦⎡⎤∆==+⨯⨯+=+⎣⎦===+∙∑
∑解得各杆的内力见图。

题8-11. 试分析图示组合结构的内力，绘出受弯杆的弯矩图并求出各杆轴力。

已知上
弦横梁的42110EI KN m =⨯∙，腹弦和下弦的5
210EA KN =⨯。

解析：
体系为一次超静定体系，基本体系、p M 和1M 如图所示。

计算11δ、1p ∆求解1x ，绘制M 图。

111122
251141111011221(3112311)[21()2)3155.12102333
1121
[212031120312 1.5601]69010232
125.2p p p x m EI EA m EI x KN M M M x δδ-+∆==
⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯=⨯∆=-
⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯==+∙解得
题8-13. 试计算图示排架，作M 图。

解析：
体系为一次超静定体系，基本体系、p M 和1M 如图所示。

计算11δ、1p ∆求解1x ，并绘制M 图。

1111111021221111.6
333(39)6 6.5235221144(39)61052p p x EI EI EI EI EI
δδ+∆=⎛⎫⎡⎤=
⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤∆=⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，
1111
11
1.29p
p x KN
M M M x δ∆=-
=-=+∙
题8-16. 试绘制图示对称结构的M 图。

解析：
将原结构体系分解成正对称和反对称两个结构体系，基本体系如下图所示，多余
未知力中1x 、2x 是正对称的，3x 是反对称的。

如上图所示的基本体系、p M 正、p M 反、1M 、2M 和3M ，计算11δ、12δ、22δ、33δ、
1p ∆、2p ∆、3p ∆求解1x 、2x 和3x 、，并绘制M 图。

111222*********
666231118661211 4.518.25
16121121
136.68754.5 4.5 4.5[4.56 4.5]2231127206660231166012p p EI EI EI EI EI EI
EI EI EI EI EI EI δδδδ⎛⎫=
⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫
=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
⨯⨯⎛⎫=+⨯⨯=
⎪⎝⎭⎡⎤=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆=⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎡⎤
∆=⨯⨯⨯⎢⎣⎦311112212112222333318011810660 4.52000
p
p p p EI EI EI
x x x x x δδδδδ=-⎥⎡⎤∆=⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎧++∆=⎪
++∆=⎨⎪
+∆=⎩
123
112233
100
5.93P P x KN x x KN M M M x M x M M x =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩=+∙+∙++∙正反解得
题8-18. 试绘制图示对称结构的M 图。

解析：
原结构体系上下左右均对称，因此取四分之一体系作为研究对象，如图所示是二次超静定体系，解除支座处的两个约束，基本体系见右图。

1M 、2M 和P M 见下图，计算11δ、
12δ、22δ、1p ∆和2p ∆，求解1x 和2x ，根据对称性绘制M 图。

3
311112233l l EI EI
δ⎛⎫=⨯=
⎪⎝⎭
2212224
213221111221211222212
211111221311112211133248111132600
512136p p
p p P l l EI EI l l l EI EI
l ql l ql EI EI ql l ql EI EI
x x x x x ql x ql M M M x δδδδδδ⎛⎫=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭
⎛⎫=
⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫∆=-⨯⨯=-
⎪⎝⎭⎛⎫∆=⨯⨯= ⎪⎝⎭++∆=⎧⎪⎨++∆=⎪⎩⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
=+∙解得2222222211512361291113636
BA AB
M x M ql ql ql ql M ql ql +∙=+-==⨯=
题8-26. 结构的温度改变如图所示，EI =常数，截面对称于形心轴，其高度10
l
h =,材料的线膨胀系数为α，（1）作M 图；（2）求杆端A 的角位移。

解析：
体系为一次超静定体系，解除支座B 处的一个约束，基本体系如下图所示。

（1）1M 和1N ,如上图所示。

3
3112111111112
1112233525102[25(5)]32020
480(t p l l EI EI t
N tl M dS l
l l h
l
x EI
x l M M x δαα
αααδα=⨯=
∆-+∆=+=--⨯--⨯=-+∆==
=∙∑∑
⎰解得如下图所示）
（2）M 、k M 和k N ,如上图所示。

11248014801(255)(255)12322260()
k K K k M M t
dS N tl M ds EI h
EI EI l l l l l EI l l l h ααααααα∆∆=++-+⎡⎤⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=↵∑∑∑⎰
⎰ 题8-30.图示结构的支座B 发生了水平位移30a mm =（向右），40b mm =（向下），0.01rad ϕ=，已知各杆的46400,210I cm E GPa ==。

试求（1）作M 图；（2）求D 点竖向位移及F 点水平位移。

解析：
体系为二次超静定 ，解除铰D 处的约束，基本体系、1M 、2M 如上图所示， （1）计算11δ、12δ、22δ、1p ∆和2p ∆求解1x 和2x 、，并绘制M 图。

331112221211112212112222212128
212112
402242233233(14)(4)(12)(2)0
i i i i EI EI
EI EI
R C a a R C b b x x x x δδδϕϕϕϕδδδδ∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫=
⨯⨯===
⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∆=-=-+=-+∆=-=--=--++∆=⎧⎨
++∆=⎩∑∑
120.211280.06112
x EI x EI ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得
1122
M M x M x =∙+∙（如上图所示）
（2）
第十章 位移法
题10-2．用位移法计算刚架，绘制弯矩图，E=常数。

解析：刚架有两个刚性结点1、2，因此有两个角位移1Z 、2Z ，基本体系、1M 、2M 和
P M 如下图所示，计算11r 、12r 、22r 、1p R 和2p R ，求解1Z 、2Z ，绘制M 图。

22
111227.952(73.827.95)2223(20.0110.03)(0.00880.05)41.2()
F F i i
F M Mds
R c EI
EI m mm ∆=-⎡⎤=-⨯⨯+⨯-⨯⨯
⎢⎥⎣⎦--⨯-⨯=-+=→∑
∑求
点的水平位移
21121214.4(14.4102.6)42023236.3()
F F i i
D M Mds
R c EI
EI mm ∆=-⎡⎤=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⎢⎥⎣⎦=↓∑∑求点的竖向位移
12
2 1112212212
2
121
2
2
12
2
1122
1 84124884200
12
1
1240
672
1
3
4200
12
672
p
p p
p
M M M
r i i i r r i r i i i i R R ql
iZ iZ Z ql
i
iZ iZ ql
Z ql
i
M M Z M Z M
=+====++===-
⎧
+==-
⎧⎪
⎪⎪
∴⎨⎨
+-=
⎪⎪=
⎩⎪
⎩
=+
由、和可得出
解得
+
题10-5．用位移法计算刚架，绘制弯矩图，E =常数。

解析:
刚架有一个刚性结点和一个铰结点，因此未知量为一个角位移1Z 和一个线位移2Z ，
基本体系、1M 、2M 和P M 如下图所示，计算11r 、12r 、22r 、1p R 和2p R ，求解1Z 、
2Z ，绘制M 图。

11122122222
1211212
2121122641063121583561218835
61050615180
3.132
4.21324.2118.163.132p p P p
BD AC r i i i i r r l
i i i r l l l R KN m R KN R i iZ Z l i i Z Z l
l Z i Z i M M Z M Z M i M KN m l i
M i =+===-
=+==-=∙=--=-=-=⎧
-+=⎪⎪∴⎨
⎪-+-=⎪⎩⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
=+=
∙=∙=-∙解得+624.21
8
38.05i i l i
KN m +∙+=∙ 题10-7. 图示等截面连续梁支座B 下沉20mm ，支座C 下沉12mm, E =210GPa,
44210I m -=⨯，试作其弯矩图。

解析：
4455553350.4664()250.4662()4 5.6C C B B c B BA B B BC B B c C CB B B c C l l l l
i
M i KN m
l
i i
M i i KN m
l l i i
M i i KN m
l l
ϕϕϕϕϕϕϕ∆∆∆∆=
-=-=-∆=-∙=--∆+-∆=∙=--∆+-∆=∙
33() 5.6CD B C i
M i KN m l
ϕ=-
-∆=-∙
题10-9. 用位移法计算图示结构，绘制弯矩图，E=常数。

解析：
1441255236634152634152632
411452256336696121812421317
14
7
i i i M M M M M M l l l
i i i Q Q Q Q Q Q P
l l
l
pl i M M pl M M pl M M pl ==-∆==-∆==-
∆=∆=
∆=∆
+=∴∆=
==-
==-
==-
＋
第十一章 渐进法
题11-1. 用力矩分配法计算图示刚架并绘制M 图。

解析：
44 1.52331933
331919
19
19
A A
B A
C A
D A
E S i i i i i M μμμμ=+⨯+⨯+=∴=
==
=
图见下图
题11-3. 用力矩分配法计算题8-22所示连续梁。

解析：
（1）计算分配系数
24,8123
3916391644252525253434
BA BC CD CB EI EI i BC i i
i i i i i μμμμ========
+⨯+⨯令
则杆的线刚度为
题11-6. 用力矩分配法计算图示刚架并绘制M 图，E=常数。

解析：
（1）计算分配系数
2,266
4128221
42433884555
AD AB BA BC BE EI EI i AD BE i AB BC i i i i i i i i μμμμμ=========
+⨯++令
则、两杆的线刚度为，、两杆的线刚度为。

11-8．图示刚架支座D 下沉了0.08D m ∆=，支座E 下沉了0.05E m ∆=并发生了顺时针方向的转角0.01E rad ϕ=，试计算由此引起的各杆端弯矩。

已知各杆的4610EI KN m =⨯∙
解析：
3660400()30066()3000
F F F
AB BA D BC D E F F F
CB
D E BD DB i
i i
M M KN m M KN m l
l l
i i
M KN m
M M l l
==-
∆=-∙=-
-∆--∆=∙=--∆--∆=∙==
第十四章 极限荷载
题14-1. 已知材料的屈服极限240s MPa σ=，试求图示T 形截面的极限弯矩值。

解析：
计算等分截面轴
126920y 202020(100-y)
y 90mm
()
24010(8020202010520945)1027.36u s s s M w S S KN m
σσ-=⨯+⨯===+=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=∙
题14-3. 试求等截面静定梁的极限载荷。

已知2a m =，300U M KN m =∙
.
解析：
解法（一）
静定梁出现一个塑性铰而丧失稳定，分析以下三种情况：
（a ）图
222
42003U U
a P a P M M P KN a
θ
θθ∙-∙
=∙=
=解得
（b ）图
22300U U
P a M M P KN a
θθ
∙=∙=
=解得 （b ）图
2300U P a M P KN
θθ∙=∙=解得
因此，min 200U P P KN ==
解法（二）
用静力法作出弯矩图，如图 （d ）所示。

34
42003U U U
U
P a M M P KN a =
∴==
题14-7. 求图示连续梁的极限荷载。

解析：
二次超静定梁 试算法：
假定破坏机构形式如图（b ）所示
2
22
3222276(2)0.08358276U U U U U
E U
U
U
u qa a M M M M q a M q a M M
M M q a θθθθθ
∙=∙+∙+∙∴=
∙=-=<∴=
弯矩图如图(b)所示近似计算右跨中点的弯矩
题14-10. 试求图示钢架的极限荷载。

解析：
体系为一次超静定结构，需两个塑性铰
产生才能破坏机构，分以下五种情况讨论。

（a ）图
3290U U P M M P KN
θθθ∙=∙+∙=解得
（b ）图
3260U P M P KN
θθ∙=∙=解得
（c ）图
6322120U U P P M M P KN
θθθθ∙-∙=∙+∙=解得
（d ）图
6322120U U P P M M P KN
θθθθ∙-∙=∙+∙=解得
（e ）图
632240U U P P M M P KN
θθθθ∙+∙=∙+∙=解得 因此，min 40U P P KN ==
第十五章
题15-1. 图示结构各杆刚度均为无穷大，k 为抗移弹性支座的刚度（发生单位位移所需的力），试用静力法确定其临界荷载。

解析：
如左图所示，红线代表压杆稳定的临界状态。

(2)()0
(2)0
220(2)220
(2)2A
A cr M
F k a b R a b k a b F R a b a b M F k a Ra R k a b a Fa F k a a b a b
F b a kab
kab
F b a
=∆-∆+++=∆+∆∴=-
++=∆-∆+=∆+∆
∆-∆+-=+++=∴=
+∑∑将的表达式带入此式得化简得：
题15-2. 图示结构各杆刚度均为无穷大，k 为抗移弹性支座的刚度（发生单位位移所需的力），试用静力法确定其临界荷载。

解析：
如左图所示，红线代表结构稳定的临界状态。

20(2)02
A
cr M
q a a ka a q k k q θθθ=∙∙-∙=∴-∙=∴=
∑。