2021年高三艺术班数学午间小练173含答案

2021年高三艺术班数学午间小练173含答案
1. 设集合A ＝{1，a}，B ＝{a}，若BA ，则实数a 的值为__________．
2. 已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z ·z －z －z －＝__________．
3. 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的离心率为___．
4. 已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________．
5. 函数f(x)＝coscos 的最小正周期为__________．
6. 函数f(x)＝log 2(4－x 2
)的值域为__________．
7. 已知点A(1，1)和点B(－1，－3)在曲线C ：y ＝ax 3＋bx 2＋d(a ，b ，d 为常数)上，若曲线C 在点A 、B 处的切线互相平行，则a 3＋b 2＋d ＝____________．
8. 已知向量a 、b 满足a ＋2b ＝(2，－4)，3a －b ＝(－8，16)，则向量a 、b 的夹角的大小为________．
9. 给出下列命题：
① 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
② 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③ 若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；
④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，真命题是__________．(填序号)
10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x≥2，（x －1）3，0＜x ＜2，
若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是______________．
11. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M 、N 两
点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN →的最大值为____________．
12.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，PD⊥底面ABCD ，AD⊥AB，CD∥AB，AB ＝2AD ＝2，CD ＝3，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点．求证：
(1) MN∥平面PCD ；(2) 四边形MNCD 是直角梯形；(3) DN⊥平面PCB.
13. (本小题满分14分)第八届中国花博会将于xx年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状为矩形ABCD，已知BC＝a，CD＝b，a、b为常数且满足b＜a.组委会决定，从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区(点E、F分别在线段AB、AD上)，△AEF 的周长为l(l＞2b)，如图．设AE＝x，△AEF的面积为S.
(1) 求S关于x的函数关系式；
(2) 试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，
并求出S的最大值．
xx 届高三调研测试试卷(七)(常州)
1. 0
2. －i
3. 5
4. 815
5. 2
6. (－∞，2]
7. 7
8. π
9. ①③④ 10. ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 11. 4＋4 2 12. 证明：(1) 因为点M 、N 分别是PA 、PB 的中点，所以MN∥AB.
因为CD∥AB，所以MN∥CD.(2分)
又CD 平面PCD ，MN 平面PCD ，所以MN∥平面PCD.(4分)
(2) 因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以CD⊥PD.
因为AD∩PD＝D ，所以CD⊥平面PAD.(6分)
因为MD 平面PAD ，所以CD⊥MD.
又MN∥CD，MN≠CD，
所以四边形MNCD 是直角梯形．(8分)
(3) 因为PD⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角，
从而∠PAD＝60°.(9分)
在Rt △PDA 中，AD ＝2，PD ＝6，PA ＝22，MD ＝ 2.
在直角梯形MNCD 中，MN ＝1，ND ＝3，CD ＝3，CN ＝MD 2＋（CD －MN ）2＝6， 从而DN 2＋CN 2＝CD 2，所以DN⊥CN.(11分)
在Rt △PDB 中，PD ＝DB ＝6，N 是PB 的中点，则DN⊥PB.(13分)
又PB∩CN＝N ，所以DN⊥平面PCB.(14分)
13 .解： (1) 当l ＞a ＋b ＋a 2＋b 2时，不能构成满足条件的三角形；当l≤a＋b ＋a 2＋b 2时，
设AF ＝y ，则x ＋y ＋x 2＋y 2＝l ，整理，得y ＝2lx －l 22（x －l ）.(2分) S ＝12xy ＝l （2x 2
－lx ）4（x －l ）
，x∈(0，b]．(4分) (2) S′＝l 4·2x 2－4lx ＋l 2（x －l ）2，x∈(0，b]．(6分) 令S′＝0，得2x 2－4lx ＋l 2＝0，x ＝2±22
l.(8分) 因为0＜x ＜b ＜l 2，所以
当2b ＜l ＜(2＋2)b 时，b ＞2－22l ，S 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－22l 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－22l ，b 上单调递减；所以当x ＝2－22l 时，S 的极大值也是最大值，S max ＝3－224
l 2；(10分) 当l≥(2＋2)b 时，b≤2－22l ，S 在(0，b]上单调递增，当x ＝b 时，S max ＝bl （2b －l ）4（b －l ）
；(12分)
故当△AEF 的周长l 满足2b ＜l ＜(2＋2)b 时，取AE ＝2－22
l ，直角三角形地块AEF 的面积S 最大，S max ＝3－224
l 2；当△AEF 的周长l 满足(2＋2)b≤l≤a＋b ＋a 2＋b 2时，取AE ＝b ，直角三角形地块AEF 的面积S 最大，S max ＝bl （2b －l ）4（b －l ）
.(14分)
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