第37讲-阅读理解题

第37讲┃ 阅读理解题
1 1 3． [2012· 莱芜 ] 对于非零的两个实数 a， b，规定 a⊕ b＝ － . b a 若 2⊕ (2x－ 1)＝ 1，则 x 的值为 ( ) A 5 5 3 1 A. B. C. D．－ 6 4 2 6
1 1 1 1 [ 解析] 因 a⊕ b＝ － ，所以 2⊕ (2x－ 1)＝ － ，故有 b a 2x－ 1 2 1 1 1 3 5 5 － ＝ 1，所以 ＝ ，解之得 x＝ ，经检验，x＝ 是原方 6 6 2x－ 1 2 2x－ 1 2 程的根，故选 A.
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【解题方法点析】 解决问题的策略为：从图示或特例中迅速、准确地理 解新概念是解决问题的关键，不断回顾新概念，从新概念 出发思考问题、解决问题，加强概念的联系性是灵活应用 知识的基础．
第37讲┃ 阅读理解题
[答案] B
[解析] 因为 f(a， b)＝ (－ a， b)， h(a， b)＝ (－ a，－ b)， 所以 f[h(5，－ 3)]＝ f(－ 5， 3)＝ (5， 3)．故应选 B.
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7． [ 2 0 1 3 · 临 沂] 对于实数 a， b，定义运算“*”： a*b＝
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(1)类似于将(a，b)关于 y 轴对称，坐标变为 (－ a，b)，其特 征是将横坐标变为相反数，纵坐标不变． (2)a， b 的符号不变，只是交换了 a，b 的位置． (3)类似于将 (a， b)关于原点对称，坐标变为 (－ a，－b)， 其特征是将横坐标、纵坐标都变为该数的相反数． (4)f(a， b) (5)h(a，b) f(a，b)
放在直线 l1 上， OA 边与直线 l1 重合， 然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120°，此时点 O 运动到了点 O1 处，点 B 运动 到了点 B1 处；小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋 转 120°，此时点 A 运动到了点 A1 处，点 O1 运动到了点 O2 处(即 顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处)． 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动 所形成的图形是两段圆弧，即弧 OO1 和弧 O1O2，顶点 O 所经过的 路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线 l1 围成的图 形面积等于扇形 AOO1 的面积、△ AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面 积之和．
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问题 (1)：若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶 点 O 经过的路程， 并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积；若正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转，求 顶点 O 经过的路程； 问题 (2)：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 41＋ 20 2 O 经过的路程是 π？ 2 请你解答上述两个问题．
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问题 (2)：∵正方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为 90·π · 1 90·π · 2 2 × 2＋ ＝1＋ π ， 180 180 2 41＋ 20 2 1 2 又∵ π ＝ 20×1＋ π ＋ π. 2 2 2 ∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转．
1 点 O 前 4 次的旋转轨迹长， π 是点 O 第一次旋转轨迹长，故可 2 41＋20 2 知 π 可以看作点 O 连续经过 20 个前 4 次旋转变换， 再 2 经过 1 次第 1 次旋转变换得到的，共经过了 81 次旋转变换．
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【解题方法点析】
第37讲┃ 阅读理解题
解：问题(1)：如图，正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转，顶点 O 运动所形成的图形是三段弧，即弧 OO1、弧 O1O2 以及弧 O2O3， ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为 90·π · 1 90·π · 2 2 × 2＋ ＝1＋ π . 180 180 2 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形 90·π · 1 与直线 l2 围成图形的面积为 × 360 90·π ·（ 2）2 1 2＋ ＋ 2× × 1× 1＝ 1＋π . 360 2 正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为 90·π · 1 90·π · 2 2 3 × 3＋ ＝ ＋ π. 180 180 2 2
第37讲┃ 阅读理解题
变式题 [2013· 永州 ] 我们知道，一元二次方程 x2＝－ 1 没有 实数根，即不存在一个实数的平方等于－ 1，若我们规定一个新数 “i” ，使其满足 i2＝－ 1(即方程 x2＝－ 1 有一个根为 i)，并且进一步 规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算 法则仍然成立，于是有 i1＝ i， i2＝－ 1， i3＝ i2· i＝ (－ 1)· i＝－ i， i4 ＋ ＝ (i2)2＝ (－ 1)2＝ 1，从而对任意正整数 n，我们可得到 i4n 1＝ i4n· i ＋ ＋ ＝ (i4)n· i＝ i，同理可得 i4n 2＝－ 1， i4n 3＝－ i，i4n＝ 1，那么 i＋ i2 ＋ i3＋i4＋„＋ i2012＋i2013 的值为 ( D ) A． 0 B． 1 C．－ 1 D． i
[ 解析] 如图，开口向下，经过点 (0，0)，(1，3)，(3， 3) 的抛物线的解析式为 y＝－ x2＋ 4x，然后向右平移 1 个单位， 向上平移 1 个单位一次得到一条抛物线，可平移 6 次，所以， 一共有 7 条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有 7 条，所 以满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7＋7＝ 14.故选 C.
[解析 ] 到 l1 的距离是 2 的点，在与 l1 平行且与 l1 的距离是 2 的两条直线上．到 l2 的距离是 3 的点，在与 l2 平行且与 l2 的距离 是 3 的两条直线上．以上四条直线有四个交点，故“距离坐标” 是 (2， 3)的点共有 4 个．故选 C.
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6．[2013· 湖州] 如图 37－ 2，在 10× 10 的网格中，每个小方格 都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点． 若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三 角形称为抛物线的“内接格 点三角形”．以 O 为坐标原 点建立如图所示的平面直角 坐标系，若抛物线与网格对 角线 OB 的两个交点之间的 距离为 3 2，且这两个交点 与抛物线的顶点是抛物线的 内接格点三角形 的三个顶点， ．．．．．．． 则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 ( C ) A．16 B．15 C．14 D．13 第37讲┃ 阅读理解题
2． [2012· 湘潭 ] 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此 程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小 1.若 输入 7，则输出的结果为 ( B ) A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
[解析 ] ∵输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小 1， ∴输入 7，则输出的结果为( 7)2－ 1＝ 7－ 1＝ 6.故选 B.
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[解析 ] 由于 i＋ i2＋i3＋ i4＝ i－ 1－ i＋ 1＝ 0，而 2013＝ 4× 503＋ 1，所以 i＋ i2＋i3＋i4＋„＋i2012＋i2013＝i，所以本 题选 D.
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探究二
方法学习、类比迁移
例 2 如图 37－ 1①，小慧同学把一个正三角形纸片 (即△ OAB)
第37讲
阅读理解题
操作探究题可分为折叠操作题、平移旋转变换题和图形分 割操作题三种类型，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、 猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活 运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
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┃考向互动探究┃
探究一
新概念或新运算
a＋ 2b＝ 14， a＝ 6， 2b＋ c＝ 9， b＝ 4， [解析 ] 由题意得， 解得 故选 C. 2c＋ 3d＝ 23， c＝ 1， 4d＝ 28， d＝ 7，
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5． [2012· 随州 ] 定义：平面内的直线 l1 与 l2 相交于点 O，对 于该平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1， l2 的距离分别为 a， b，则称有序非负实数对(a， b)是点 M 的“距离坐标”． 根据上述定义，距离坐标为(2， 3)的点的个数是 ( C ) A． 2 B． 1 C． 4 D． 3
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小慧进行类比研究： 如图②， 她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上， OA 边与直线 l2 重合， 然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°，此时点 O 运动到了点 O1 处(即点 B 处 )， 点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将正方形纸 片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°，„，按上述方法经过 若干次旋转后，她提出了如下问题：
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┃考题实战演练┃
1 1 1． [2012· 菏泽 ] 定义一种运算☆，其规则为 a☆b＝ ＋ ， a b 根据这个规则，计算 2☆3 的值是 ( A ) 5 1 A. B. C．5 D． 6 6 5
1 1 5 [解析] 2☆ 3＝ ＋ ＝ . 2 3 6
第37讲┃ 阅读理解题
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4． [2012· 德阳 ] 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由 明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规 则为：明文 a， b， c， d 对应密文 a＋ 2b， 2b＋ c， 2c＋ 3d， 4d.例如：明文 1， 2， 3， 4 对应密文 5， 7， 18，16.当接收 方收到密文 14， 9， 23， 28 时，则解密得到的明文为 ( C ) A． 4， 6， 1， 7 B． 4， 1， 6， 7 C． 6， 4， 1， 7 D． 1， 6， 4， 7
例 1 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a， b)，
若规定以下三种变换： ① f(a， b)＝ (－ a， b)．如， f(1， 3)＝(－ 1， 3)； ② g(a， b)＝(b， a)．如， g(1， 3)＝ (3， 1)； ③ h(a， b)＝(－ a，－ b)．如， h(1， 3)＝ (－ 1，－3)． 按照以上变换有： f[g(2，－ 3)]＝ f(－ 3， 2)＝ (3，2)， 那么 f[h(5，－ 3)]等于 ( ) A． (－ 5，－ 3) B． (5， 3) C． (5，－ 3) D． (－ 5， 3)
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【例题分层探究】 (1)通过观察正方形旋转变换过程，类比三角形旋转变换， 画出点 O 经过三次旋转运动的轨迹； (2)通过观察点 O 运动的轨迹，能发现有什么规律吗？ (3)根据(2)发现的规律能计算出点 O 经过多少次旋转其路 41＋20 2 程为 π吗？ 2
第37讲┃ 阅读理解题
第37讲┃ 阅读理解题
【例题分层探究】 (1)观察变换① 与轴对称变换有什么联系？ (2)观察变换② ，a，b 的符号发生变化了吗？位置发生变化了吗？ (3)观察变换③ 与中心对称有什么联系？ (4)观察变换 f[g(2，－ 3)]，是先进行 g(a，b)变换，再把所得的结 果进行________变换； (5)f[h(5，－3)]是先进行____变换，再把所得结果进行____变换．
(1)轨迹如下图：
(2)通过观察点 O 的运动轨迹，第五次旋转与第一次旋 转的轨迹一样，所以可知点 O 的运动轨迹是以前四次点 O 的运动轨迹为单位，依次进行的．
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41＋ 20 2 1 2 2 (3)由于 π ＝20×1＋ π ＋ π ，且1＋ π是 2 2 2 2