湘教版九年级数学下册函数的图象与性质

《22.1.3 函数的图象与性质（一）》
一．选择题
1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）
A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（﹣1，0）
2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（）
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）
A．直线B．直线C．y轴D．直线x=2
6．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）
A．4 B．4+4 C．12 D．2+4
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（）A．B．C．D．
二．填空题
8．函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象是一条______，对称轴是______，顶点是______，当a ＞0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______，当a ＜0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______．
9．抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x______时，y 随x 的增大而增大，当x______时，y 随x 的增大而减小．
10．若二次函数y=ax 2+c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）
时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为______． 11．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y=x 2+k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是______．
12．点A （3，m ）在抛物线y=x 2﹣1上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为______．
13．若抛物线y=x 2+（m ﹣2）x+3的对称轴是y 轴，则m=______．
14．若一条抛物线与y=
的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为______．
15．与抛物线y=﹣+3关于x 轴对称的抛物线的解析式为______．
16．已知A （﹣1，y 1），B （
，y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣1（a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是______．（用“＜”连接）
三．解答题
17．已知抛物线y=ax 2+b 过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）
（1）求这个函数的关系式；
（2）当为何值时，函数y 随x 的增大而增大．
18．已知直线y=2x 和抛物线y=ax 2+3相交于点A （2，b ），求a ，b 的值．
19．如图，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，点D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．
《22.1.3 函数的图象与性质（一）》
参考答案
一．选择题
1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）
A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（﹣1，0）
【解答】解：抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故选：B．
2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（）
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
【解答】解：∵开口向上，∴a＞0；
∵抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，∴0﹣4ab＞0，∴b＜0．
故选A．
3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
【解答】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=x2+3.5中得：
x=±1.5（舍去负值），
即OB=1.5，
所以l=AB=2.5+1.5=4．
令解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得：
x 1=1.5，x
2
=﹣1.5（舍去），
∴L=2.5+1.5=4米．
故选：B．
4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣3顶点坐标为（0，﹣3），
抛物线y=2x2顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2向下平移3个单位长度得到的，
故选B．
5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）
A．直线B．直线C．y轴D．直线x=2
【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴对称轴是直线x=0（y轴），
故选C．
6．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）A．4 B．4+4 C．12 D．2+4
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4与x轴交于B、C两点，顶点为A，
∴B（﹣2，0），C（2，0），A（0，﹣4）．
∴AB=4，BC=AC==2，
∴△ABC周长为：AB+BC+AC=4+4．
故应选B ．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致所示中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、由一次函数的图象可知a ＞0 c ＞0，由二次函数的图象可知a ＜0，两者相矛盾；
B 、由一次函数的图象可知a ＜0 c ＞0，由二次函数的图象可知a ＜0，两者相吻合；
C 、由一次函数的图象可知a ＜0 c ＞0，由二次函数的图象可知a ＞0，两者相矛盾；
D 、由一次函数的图象可知a ＜0 c ＜0，由二次函数的图象可知a ＞0，两者相矛盾．
故选B ．
二．填空题
8．函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象是一条 抛物线 ，对称轴是 y 轴 ，顶点是 （0，c ） ，当a ＞0，抛物线开口 向上 ，顶点是抛物线的 最低点 ，当a ＜0，抛物线开口 向下 ，顶点是抛物线的 最高点 ．
【解答】解：函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点是（0，c ），当a ＞0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a ＜0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点． 故答案为：抛物线，y 轴，（0，c ），向上，最低点，向下，最高点．
9．抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口 向下 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 （0，﹣3） ，当x ＜0 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0 时，y 随x 的增大而减小．
【解答】解：抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，﹣3），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．
故答案为：向下，y 轴，（0，﹣3），＜0，＞0．
10．若二次函数y=ax 2+c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）
时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为 c ． 【解答】解：∵在y=ax 2+c 中，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，
∴抛物线的对称轴是y 轴，
∴x
1，x
2
互为相反数，
∴x
1+x
2
=0，
当x=0时，y=c．
故填空答案：c．
11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是
①②③④．
【解答】解：抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都向上，故相同，正确；
②对称轴都是y轴，故相同；正确，
③形状相同；正确，
④都有最底点．正确．
其中判断正确的是①②③④．
故答案为：①②③④
12．点A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．
【解答】解：∵A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，
∴m=9﹣1=8，
∴A点坐标为（3，8），
∴点A关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．
故答案为（3，﹣8）．
13．若抛物线y=x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m= 2 ．
【解答】解：
∵y=x2+（m﹣2）x+3，
∴其对称轴方程为x=﹣，
∵其对称轴为y轴，
∴﹣=0，解得m=2，
故答案为：2．
14．若一条抛物线与y=
的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为 y=x 2+2 ． 【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=x 2+b ，
把x=0，y=2代入得：2=b ，
则抛物线解析式为y=x 2+2，
故答案为：y=x 2+2
15．与抛物线y=﹣
+3关于x 轴对称的抛物线的解析式为 y=x 2﹣3 ． 【解答】解：y=﹣
+3的顶点坐标为（0，3），而点（0，3）关于x 轴对称的点的坐标为（0，﹣3），
所以抛物线y=﹣+3关于x 轴对称后抛物线的解析式为y=x 2﹣3． 故答案为y=x 2﹣3．
16．已知A （﹣1，y 1），B （，y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣1（a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是 y 1＜y 2＜y 3 ．（用“＜”连接）
【解答】解：∵二次函数的解析式为y=ax 2﹣1（a ＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵A （﹣1，y 1）、B （，y 2）、C （2，y 3），
∴点C 离直线x=0最远，点A 离直线x=0最近，
而抛物线开口向上，
∴y 1＜y 2＜y 3．
故答案为y 1＜y 2＜y 3．
三．解答题
17．已知抛物线y=ax 2+b 过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）
（1）求这个函数的关系式；
（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y=ax2+b得
，解得
所以这个函数的关系式为y=﹣3x2+9；
（2）∵这个函数的关系式为y=﹣3x2+9；
∴对称轴x=0，
∵a=﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．
18．已知直线y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点A（2，b），求a，b的值．
【解答】解：把A（2，b）代入y=2x得b=2×2=4，则A点坐标为（2，4），
把A（2，4）代入y=ax2+3得4a+3=4，解得a=．
19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线的顶点为A（0，1），
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵四边形CDEF为矩形，
∴C、F点为抛物线上的对称点，
∵矩形其面积为8，OB=2
∴CF=4，
∴F点的坐标为（2，2），
设抛物线解析式为y=ax2+1，
把F（2，2）代入得4a+1=2，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+1．。