江苏省连云港市2017-2018学年度第二学期高二期末考试数学(选修历史)试题(解析版)

2017～2018学年第二学期期末考试
高二数学（选修历史）
第Ⅰ卷（共70分）
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1. 已知集合，，则__________．
【答案】
【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.
详解：因为集合，，
所以由交集的定义可得，
故答案为
点睛：本题考查集合的交集的定义，意在考查对基本运算的掌握情况，属于简单题.
2. 命题“，”的否定是__________．
【答案】
【解析】试题分析：特称命题的否定只需将改为，并对结论加以否定，的否定是，所以的否定是
考点：特称命题的否定
点评：特称命题的否定是
3. 复数（其中为虚数单位）的虚部为__________．
【答案】-2
【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．
详解：由题意，复数，
所以复数的虚部为．
点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4. 某高中共人，其中高一、高二、高三年级学生人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取人，那么高二年级学生被抽取的人数为__________．
【答案】16
【解析】试题分析：设高一、高二、高三年级的人数分别为，x，x+d，则3x=1200，即高二年级的人数为1200，所以高二年级被抽取的人数为；
考点：1．等差数列的概念；2．抽样方法；
5. 已知一组数据：，，，，，则该数据的方差是__________．
【答案】0.1
【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数，再利用方差公式即可得结果.
详解：，，，，的平均数为
，
的方差为
，
故答案为.
点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式，属于基础题.样本数据的算术平均数公式；样本方差公式，标准差.
6. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是__________．
【答案】
【解析】试题分析：考查古典概型的计算公式及分析问题解决问题的能力. 从个元素中选个的所有可能有种，其中连续有共种，故由古典概型的计算公式可知恰好为连续天的概率是
.
考点：古典概型的计算公式及运用.
7. 函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】分析：考虑根式有意义，结合对数的真数大于零列不等式即可得结果.
详解：要使函数有意义，
则，
即的定义域为，故答案为.
点睛：本题考查具体函数的定义域，对数函数的性质，属于简单题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
8. 求值：__________．
【答案】-5
【解析】分析：直接利用对数与指数的运算法则求解即可.
详解：
，故答案为.
点睛：本题主要考查对数与指数的运算法则，意在考查计算能力以及对基本运算法则的掌握情况，属于简单题.
9. 记函数的值域为.在区间上随机取一个数，则的概率是__________．
【答案】
【解析】分析：利用二次函数的性质求出为，由几何概型概率公式可得结果.
详解：，，
即为，在上随机取一个数，
则的概率是，故答案为.
点睛：本题主要考查二次函数的性质以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件长度.
10. 已知是定义在上的奇函数，时，，则时，__________．
【答案】
【解析】分析：设，则，然后将代入时的解析式，结合奇函数的性质可求得此时函数的解析式. 详解：设，则，又函数是奇函数，
，
故答案为.
点睛：本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数
为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
11. 已知实数，满足则的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：先根据条件画出可行域，表示可行域内的点到原点距离的平方，结合图象，可得到最小值.
详解：
先根据实数满足不等式组，画出可行域，如图，
，表示可行域内点到原点距离的平方，
由图可知，的最小值就是
直线与原点的距离的平方，
所以最小值，故答案为.
点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义.
12. 设函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】分析：根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为一元二次不等式，进而可得结论.
详解：函数满足为奇函数，
，在上单调递减
若，
则，
即,
解得，故答案为.
点睛：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档.根据函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组求解.
13. 已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是该双曲线上的任意一点.若直线，的斜率都存在，则的值为定值.试类比上述双曲线的性质，得到椭圆的一个类似性质为：设，
是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点.若直线，的斜率都存在，则
的值为定值，该定值为__________．
【答案】
【解析】分析：利用斜率公式可得，利用“点差法”可得结果.
详解：设，则，
，
，②，①
②-①
可得，
故，故答案为.
点睛：本题主要考查斜率公式与“点差法”的应用，属于中档题.利用“ 点差法”解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
14. 已知函数，若，且，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：由，且可得且，可得，化为
，利用基本不等式可得结果.
详解：，，
，且，
由，
得，
，
所以，
可得，，
即，
当且仅当时等号成立，
即的最大值为，故答案为.
点睛：本题考查指数函数的性质，以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
第Ⅱ卷（共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）实数的取值范围为.
【解析】分析：（1）利用指数函数的性质化简集合集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，根据集合补集与交集的定义求解即可；（2）利用一元二次不等式的解法化简集合，根据包含关系列不等式求解即可.
详解：（1），
，
，
（2），
，解得
实数的取值范围为
点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
16. 已知函数，，是的导函数，且.
（1）求在区间上的值域；
（2）求过点的曲线的切线方程.
【答案】(1) 值域为;(2) 切线方程为和.
【解析】分析：（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，比较极值与区间端点处的函数值的大小，即可得到在区间上的值域；（2）①若是切点，又，故切线方程为；②若不是切点，设切点为，
则切线斜率为，求得，从而可得结果.
详解：（1）
，
令解得
在上的值域为
（2）①若是切点，又，故切线方程为；
②若不是切点，设切点为，
则切线斜率为
又根据导数的几何意义，切线的斜率为
故解得，
切线方程为
综上，所求切线方程为和.
点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
17. 如图（1）是一直角墙角，，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.是一块长为米，宽
为米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物.
（1）若按如图（1）放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？
（2）由于墙面使用受限，面只能使用米，面只能使用米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图（2），如何折叠板材才能使这个空间最大？
【答案】(1) 板材与墙面成45°角;(2)见解析.
【解析】分析：（1）设，且因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，利用基本不等式可得；（2）因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又的面积为定值，只需寻找面积的最大值，作只需最大即可，设则
，可得，利用二次函数的性质可得结果.
详解：（1）设，且
因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大
，
当且仅当取到等号.
即板材放置时，使得板材与墙面成45°角.
（2）因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又的面积为定值，只需寻找面积的最大值.
又在中，只需寻找AB边上高的最大值即可.
如图：作
设则
当时PH最大,此时
即板材放置时，沿中间折叠，使得PA=PB.
点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及利用基本不等式、二次函数求最值，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
18. （1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，，，求的最小值.
【答案】（1）的最小值为；（2）的最小值为4.
【解析】分析：（1）由可得，所以；（2），即，所以，将上式展开后.，利用基本不等式求解即可.
详解：（1）
，，
当且仅当时取等号，
即的最小值为
（2），，
即，当且仅当时取等号，
，
当且仅当时取等号，
即的最小值为4.
点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
19. 已知，.
（1）若在区间上的值域也是，求，的值；
（2）若对于任意都有，且有且只有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）或;(2) .
【解析】分析：（1）由在区间上的值域也是，讨论函数在区间上的单调性，利用单调性求值域，列方程组求解即可得到，的值；（2）有且只有两个零点，设，记的两个根为
，所以，进而可得结果.
详解：（1）
①当时在上单调递增，；
即解得
②当时，或，所求解均不满足；
③当时在上单调递减，；
即解得
综上满足条件的值为或.
（2）因为任意x都有得到为函数的对称轴
有且只有两个零点，
设，记的两个根为
解得
点睛：本题主要考查二次函数的定义域、值域、复合函数的零点以及分类讨论思想的应用，属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
20. 设，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且.
（1）求，的解析式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) ，；（2）.
【解析】分析：（1）由，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且可得解得，；（2）令，对于任意，不等式恒成立，等价于恒成立，令，利用导数研究函数的单调性可得，从而可得结果.
详解：（1）因为，又，分别是定义在上的奇函数、偶函数，
所以，即.
由解得，.
（2）令，由在上是增函数，，得.
所以，
，
由对于任意，不等式恒成立，
即对于，恒成立.
令，
则在是增函数，时，.
所以时，，时，.
所以，
所以.
点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求得的范围的.。