莱布尼茨微积分

莱布尼茨微积分
1从离散到连续
莱布尼茨的微积分思想发源于其对数列的研究，进一步由离散类比到连续情形。

数列的求差与求和
想象眼前铺成一条台阶，每一阶相对于地面的高度为，而阶差高度为，那么从登到共升高。

图3
差和分定义：设为一个数列，令数列为（简记为）。

我们称为数列的（第一阶）差分。

叫做定积分（简称和分）。

我们可以得到差和分基本定理。

（我们这里只是为了方便描述，事实上莱布尼茨也没有明确给出过这样的定理。

）
定理1：（差和分基本定理）对于给定的一个数列，如果可以找到另一个数列，使得，那么就有，其中且。

图4
定理1引出两个基本问题：
1. 研究差分在运算上的基本性质。

2. 已知一个数列，求另一个数列，使得，我们称为的原数列或不定积分。

差和分的学习对于微积分的了解非常有帮助，因为两者不过是离散与连续之间的类推与观照而已。

离散的差和分简单明了，再连续化就得到了微积分。

[3]
函数的求差与求和
首先考虑面积函数。

作的有限分割：
, 由差和分基本定理知：
图5
差分变成微分、和分变成积分
现在想象将分割成无穷多个的无穷小段（即微分），把它想成是差分的极致，然后考虑无穷小矩形的面积，从连续地累积到。

这样的求和跟和分有关但却不同，为了区别起见，Leibniz在1686年首度将记号改为。

理由是：表示求和Sum的第一个字母，将稍微拉伸变成，表示连续地求和。

因此，就用美妙的记号来表示图中黄色区域的面积，将说
成在上的积分。

换言之，阴影部分的面积就是无穷多个无穷小矩形面积的连续求和，即定积分（definite integral）。