甘肃省武威市高三数学第一次模拟考试试题 理-人教版高三全册数学试题

某某省某某市2017届高三数学第一次模拟考试试题 理
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{0，1，2，3}
D ．{－1，0，1，2，3} 2．设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z|＝( )
A ．1 B.2C. 3 D ．2
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1
x
B ．y ＝|x|－1
C ．y ＝lg x
D ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x|
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
5．已知cos(π－α)＝4
5
，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于( )
A.34B ．－34C －247D ．.247
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋23π
B.13＋23π
C.13＋26π D ．1＋26
π 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，
如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 8．若等比数列{a n }的各项均为正数，4622321
,4,32a a a a a a 则==+＝(
)
A.38
B.245
C.316
D.9
16
9．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，π6
C.⎝
⎛⎭⎪⎫π6，2π3 D.⎝
⎛⎭⎪⎫π3，5π6
10．过抛物线px y
22
=(p>0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象
限分别交于A ，B 两点，则|AF|
|BF|的值等于( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．43 11．若圆
()()
22
2
53r y x =++-上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，
则半径r 的取值X 围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．[4,6)
D ．(4,6]
12．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧x 3
，x ≤0，g （x ），x ＞0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－2，1) D ．(1，2) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知m ∈R ，向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－6)，且a ⊥b ，则|a －b |＝________.
14．若随机变量服从正态分布ξ～N(2,1)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>1)＝________.
15．若⎝
⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 16．.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭
圆的离心率为________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本题满分12分)
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . ①求C ；
②若c ＝7，△ABC 的面积为33
2，求△ABC 的周长．
18. (本题满分12分)
某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：
组号 第一组 第二组 第二组
第四组
分组 [70，80)
[80，90)
[90，100) [100，110)
频数 6 4 22 20 频率 0.06 0.04 0.22 0.20 组号
第五组
第六组
第七组
第八组
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 18
a
10 5 频率
b
0.15
0.10
0.05
(1)c a b c (2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(3)估计该校本次考试的数学平均分．
19. (本题满分12分)
如图，三棱锥P­ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π
2.D ，E 分别为线段AB ，BC
上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.
(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A­PD­C 的余弦值．
20. (本题满分12分)
已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于
3
2
，以椭圆E 的长轴和短轴为
对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．
(1)求椭圆E 的方程； (2)若PB AP
3=，求m 2
的取值X 围．
21. (本题满分12分)
设函数f (x )＝1
x
＋2ln x .
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求a 的取值X 围．
选考题（请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评分。

） 22. (本题满分10分)(选修4－4)：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2t (t 为参数)，在以O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA |·|PB |的值．
23. (本题满分10分) (选修4－5)：不等式选讲 设f (x )＝|ax －1|.
(1)若f (x )≤2的解集为[－6，2]，某某数a 的值；
(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，某某数m 的取值X 围．
理科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
D
B
D
C
B
C
A
A
A
C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 答案：52 14.答案：0.841 315.答案 21 16.答案15
4 17. (本题满分12分) [解] ①由已知及正弦定理得
2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .
可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (6)
分
②由已知得12ab sin C ＝33
2.
又C ＝π
3
，所以ab ＝6.
由已知及余弦定理得a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝7， 故a 2
＋b 2
＝13，从而(a ＋b )2
＝25.
所以△ABC 的周长为5＋7.……………………..12分 18. (本题满分12分)
解：(1)因为频率和为1，所以b ＝0.18，
又因为频率＝频数
样本容量
，所以c ＝100，a ＝15.………………4分
(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为1
5
.
所以从第七组中抽取的样本数为1
5×10＝2.
所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2.
P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25；P (ξ＝1)＝C 12C 1
4C 26＝8
15；
P (ξ＝2)＝C 22C 0
4C 26＝1
15.
随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
25
815
115
所以E (ξ)＝0×25＋1×815＋2×15＝3
.………………..10分
(3)根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110……12分 19. (本题满分12分)
解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 得PC ⊥DE .
由CE ＝2，CD ＝DE ＝2，得△CDE 为等腰直角三角形， 故CD ⊥DE .
由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线， 故DE ⊥平面PCD .……………………6分
(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π
4.
如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1. 又已知EB ＝1，故FB ＝2. 由∠ACB ＝
π2
， 得DF ∥AC ，DF AC ＝
FB BC ＝2
3
，
故AC ＝32DF ＝3
2
.
以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空
间直角坐标系，则C (0,0,0)，P (0,0,3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0,2,0)，D (1,1,0)，ED ＝(1，
－1，0)，DP ＝(－1，－1,3)，DA ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1，0.
设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1·DP ＝0，n 1·DA ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧
－x 1－y 1＋3z 1＝0，1
2
x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2,1,1)．
由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ，即n 2＝(1，－1,0)， 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝3
6
，
故所求二面角A ­PD ­C 的余弦值为3
6
.………………………12分 20. (本题满分12分)
解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，焦距为2
c ，
由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2
＝a 24
.
∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a 2
＋b 2
＝25a ＝45， ∴a ＝2，b ＝1.
∴椭圆E 的方程为y 2
4＋x 2
＝1.…………………….4分
(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2
－4＝0得，(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0. 由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2
－4)>0， 即k 2
－m 2
＋4>0，
且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2
－4k 2＋4.
由
得x 1＝－3x 2.
∴3(x 1＋x 2)2
＋4x 1x 2＝12x 2
2－12x 2
2＝0.
∴12k 2m 2
（k 2＋4）2＋4（m 2
－4）k 2
＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2
－4＝0.…………..8分 当m 2
＝1时，m 2k 2
＋m 2
－k 2
－4＝0不成立，
∴k 2
＝4－m 2
m 2－1
.
∵k 2－m 2
＋4>0，
∴4－m 2
m 2－1－m 2
＋4>0，即（4－m 2
）m 2
m 2－1>0. ∴1<m 2<4.
∴m 2
的取值X 围为(1，4)．……………………12分 21. (本题满分12分)
解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x
2，
所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >1
2
时，f ′(x )>0，
故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增．………..4分 (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1
x
2，
令h (x )＝2ln x x ＋1x
2(x ≥1)，
则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2（x －x ln x －1）x
3
， 令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ， 当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，
所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1， 即a 的取值X 围是[1，＋∞)． …………………12分
22. (本题满分10分)解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2
＝4ρsin θ－2ρcos θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5.…………….5分
(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2t
(t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，得
到t 2
＋22t －3＝0，
∴t 1t 2＝－3，
∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.………………………10分 23. (本题满分10分) (选修4－5)
解：(1)显然a ≠0，当a >0时，解集为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a
＝2，无解；
当a <0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3
a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－
1
2
.……………………..4分 (2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝
⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－1
4
，
6x －2，－14<x <32
，2x ＋4，x ≥32
， 由此可知，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单
调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－7
2
，
由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤7
2
，
则实数m 的取值X 围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，72. ……………………….10分。