四川省成都七中嘉祥外国语学校2015-2016学年八年级(上)周考数学试卷(二四班)(解析版)

2015-2016学年四川省成都七中嘉祥外国语学校八年级（上）周
考数学试卷（二四班）
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等
2．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，
②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4 B．4C．4D．28
4．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
5．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A．2B．3C．5 D．6
6．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（）
A．60cm2B．70cm2C．120cm2D．140cm2
7．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y=B．y=C．y=2D．y=3
8．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（）
A．B．C．D．
9．已知点P的坐标是（，），这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD
=2+．其中正上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S
正方形ABCD
确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在题中横线上.
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．
12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为．
13．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．
14．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为．
15．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．
16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过p i（i=1，2，…，2013）作P i E i⊥AB于E i，P i F i⊥AD于F i，则
P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为．
三、解答题（共1小题，满分6分）
17．计算：（）﹣1﹣（3.14﹣π）0+0.254×44．
四．解答题：本大题分为3小题，总共28分.
20．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．
22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE 的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；
（2）求证：AM=BG+GM．
四．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
23．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有个．24．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．
26．如图，矩形ABCD中，BC=10，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，求这个最小值．
27．如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行
线，分别与直线，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．
当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是．
28．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作
MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；
③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是．
二．解答题：本大题共4小题，总共20分.
18．解方程组．
19．已知关于x、y的方程组的解为，求m、n的值．
29．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=2，CC1=x，四边形ABC1D1的面积为S．
（1）线段AD1的长度最小值是，此时x=；
（2）当x为何时，四边形ABC1D1是菱形？并说明理由；
（3）求S与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象．
30．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD 三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
2015-2016学年四川省成都七中嘉祥外国语学校八年级（上）周考数学试卷（二四班）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等
【考点】正方形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质．
【解答】解：A、不正确，菱形的对角线不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C、正确，三者均具有此性质；
D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
2．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，
②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【考点】正方形的判定．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4 B．4C．4D．28
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
4．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．
【分析】由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边
形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了．
【解答】解：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
∴AD=BC，AB=DC，
∴四边形变成平行四边形，
故A正确；
BD的长度增加，
故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，
∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，
∴周长没变，
故D正确，
故选C．
5．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A．2B．3C．5 D．6
【考点】菱形的性质；矩形的性质．
【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求
出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故选C．
6．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（）
A．60cm2B．70cm2C．120cm2D．140cm2
【考点】矩形的性质．
【分析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%﹣15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，用除法即可得出矩形的面积．
【解答】解：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；
∴矩形的面积=21÷（50%﹣15%）
=21÷35%
=60（cm2）．
故选：A．
7．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y=B．y=C．y=2D．y=3
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】由在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，可得△OCD
与△OCE 是等腰直角三角形，即可得OC 垂直平分DE ，求得DE=2x ，再由
∠DFE=∠GFH=120°，可求得C 与DF ，EF 的长，继而求得△DF 的面积，再由菱形FGMH 中，FG=FE ，得到△FGM 是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
【解答】解：∵ON 是Rt ∠AOB 的平分线，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE ⊥OC ，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x ，
∴DF=EF ，DE=CD+CE=2x ，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE •tan30°=
x ， ∴EF=2CF=x ，
∴S △DEF =DE •CF=
x 2， ∵四边形FGMH 是菱形，
∴FG=MG=FE=x ，
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，
∴△FMG 是等边三角形，
∴S △FGH =x 2，
∴S 菱形FGMH =
x 2， ∴S 阴影=S △DEF +S 菱形FGMH =x 2．
故选B ．
8．如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′．若边A ′B 交线段CD 于H ，且BH=DH ，则DH 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】矩形的性质；一元二次方程的应用；旋转的性质．
【分析】设DH的值是x，那么CH=8﹣x，BH=x，在Rt△BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程，解方程就可以求出DH．
【解答】解：设DH的值是x，
∵AB=8，AD=6，且BH=DH，
那么CH=8﹣x，BH=x，
在Rt△BCH中，DH=，
∴x2=（8﹣x）2+36，
∴x=，
即DH=．
故选C．
9．已知点P的坐标是（，），这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【分析】可由矩形面积入手，由点P的坐标可得其乘积为或﹣，进而求解即可得出结论．
【解答】解：由题意得（+a）（+b）=①
或（+a）（+b）=﹣②，
由①得（ab+2）+（a+b﹣1）=0，则，解得或，
同理由②得或，
所以，P（+2，﹣1）或（﹣1，+2）或（﹣2，+1）或（+1，﹣2），P点出现在第一、二、四象限，
故选C．
10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD
=2+．其中正上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S
正方形ABCD
确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
∴S
=2+，
正方形ABCD
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选C．
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在题中横线上.
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE 的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为14．
【考点】矩形的性质．
【分析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
【解答】解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
13．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N
与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB==6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
14．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为20．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】延长BG，交AE与点C，则易证△ABC是等腰直角三角形，因而AB=AC，则CE=5，△CED是等腰直角三角形，则CD=5，根据CD=GF，即中间的小正方形的边长是5，因而周长是20．
【解答】解：延长BG，交AE与点C，
∵∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC
∴CE=5
∵△CED是等腰直角三角形，
∴CD=5
∵CD=GF，
∴中间的小正方形的边长是5，因而周长是20．
故答案为20
15．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．
【分析】根据题意得出OA=OC=1，OB=m，得出AB=m﹣1，分三种情况：①以BC为对角线时；②以AC为对角线时；③以AB为对角线时；分别得出点P的坐标即可．
【解答】解：根据题意得：OA=OC=1，OB=m，∴AB=m﹣1，
分三种情况：如图所示，
①以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；
②以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；
③以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；
综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；
故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．
16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过p i（i=1，2，…，2013）作P i E i⊥AB于E i，P i F i⊥AD于F i，则
P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为2013．
【考点】菱形的性质．
【分析】连接AP1，根据菱形性质得出AB=AD，AO=OC=AC=1，AC⊥BD，得出代表性
三角形ABD，推出AD=AB=BD，根据三角形面积公式求出
P1E1+P1F1=P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1，求出即可．
【解答】解：连接P1A，设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=AC=×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S△ABD=S+S，
∴×BD×AO=AB×P1E1+×AD×P1F1，
∴P1E1+P1F1=AO=1，
同理P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1，
∴P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为2013×1=2013，
故答案为：2013．
三、解答题（共1小题，满分6分）
17．计算：（）﹣1﹣（3.14﹣π）0+0.254×44．
【考点】负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂．
【分析】此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果．
【解答】解：原式=2﹣1+
=2﹣1+1
=2．
四．解答题：本大题分为3小题，总共28分.
20．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质．
【分析】（1）利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；
（2）利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；
（3）利用S ABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），
∴C（4，﹣2），D（1，2）；
（2）线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；
（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，
A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，
∴S ABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，
∴S ABCD=5×4=20．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．
【考点】菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形．
【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出
∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长是4，
∴AB=BC=AD=DC=，
∵tanα=，
∴设CO=x，则BO=2x，
∴x 2+（2x）2=（）2，
解得：x=，
∴四边形OBEC的面积为：×2=4．
22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE 的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；
（2）求证：AM=BG+GM．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；
（2）连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，所以△ABG 和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根据GM⊥CF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC=∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG=DG，∠2=∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1=90°，
又∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3=∠4（已证），
∴AM=DM，
∵DM=DG+GM=BG+GM，
∴AM=BG+GM．
四．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
23．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有9个．
【考点】正方形的性质；等腰三角形的判定．
【分析】根据把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，可得正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四点，据此解答即可．
【解答】解：如图，，
正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点．故答案为：9．
24．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以
每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为（，﹣）．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A 所需的时间，进而可得出结论．
【解答】解：∵A（1，0），B（0，），
∴AB==2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵=125…15，
∴移动到第2015秒和第15秒的位置相同，当P运动到第15秒时，如图所示，可得，如图所示，根据相似的性质可知，，，
∴PE=×=，PF=1×
∴P（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；
（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；
②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．
【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），
∴OA=10，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，
∵D是OA的中点，
∴AD=OD=5，
分情况讨论：
（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，
∴点P的坐标为：（﹣4，3）；
（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：
①如图1所示：作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE==4，
∴PC=OE=5﹣4=1，
∴点P的坐标为：（﹣1，3）；
②如图2所示：作PF⊥OA于F，
则DF==4，
∴PC=OF=5+4=9，
∴点P的坐标为：（﹣9，3）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；
故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．
26．如图，矩形ABCD中，BC=10，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，求这个最小值15．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】作点B关于AC的对称点B′，由轴对称图形的性质可知：BM=B′M，AB=AB′，∠BAC=∠B′AC=30°，从而可知△BAB′为等边三角形，过点B′作B′N⊥AB，交AC于点M，则MB+MN=B′N，然后依据特殊锐角三角函数可求得B′N的长．
【解答】解：如图所示：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB，交AC于点M．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=BC=10．
∵点B与点B′关于AC对称，
∴AB=AB′，∠BAC=∠B′AC=30°．
∴∠BAB′=60°．
∴△BAB′是等边三角形．
∵B′N⊥AB，
∴B′N=BB′×=10=15．
∵点B与点B′关于AC对称，
∴BM=B′M．
∴BM+MN=B′M+MN=B′N=15．
故答案为：15．
27．如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．
当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是＜t＜3．
【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点P的横坐标表示出AB，由点C的横坐标大于3列出不等式求解即可．
【解答】解：∵点P（t，0），AB∥y轴，
∴点A（t，t），B（t，﹣t），
∴AB=|t﹣（﹣t）|=|t|，
∵t＞0时，点C的横坐标为t+t=t，
∵点（2，0）在正方形ABCD内部，
∴t＞3，且t＜3，
解得t＞且t＜3，
∴＜t＜3；
故答案为：＜t＜3．
28．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；
③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是①②③④．
【考点】四边形综合题．
【分析】由题意可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM=∠NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故①正确；
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；
先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，得出═，故④正确．
因为∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，
∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，DQ=UQ，即可得出结论，故③正确；
【解答】解：如图1所示：
作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴AM=MN，故①正确．
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
在△AHM和△MPN中，
，
∴△AHM≌△MPN（AAS），
∴MP=AH=AC=BD，故②正确，
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，
则∠RAQ=90°，△ABR≌△ADQ，
∴AR=AQ，∠RAN=90°﹣45°=45°=∠NAM，
在△△AQN和△ANR中，
，
∴△AQN≌△ANR（SAS），
∴NR=NQ，
则BN=NU，DQ=UQ，
∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．
如图2所示，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，
∴MS=MW=BS=BW，∠SMW=90°，
∴∠AMS=∠NMW，
在△AMS和△NMW中，
，
∴△AMS≌△NMW（ASA），
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW：BM=1：，
∴==，故④正确．
故答案为：①②③④．
二．解答题：本大题共4小题，总共20分.
18．解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
由②得：x=5y﹣3③，
把③代入①得：25y﹣15﹣11y=﹣1，即y=1，
把y=1代入③得：x=2，
则方程组的解为
19．已知关于x、y的方程组的解为，求m、n的值．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】把x与y的值代入方程组得出关于m、n的二元一次方程组，求得方程组的解即可．【解答】解：∵关于x、y的方程组的解为，
∴，
解得：，
即m=1，n=1．
29．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=2，CC1=x，四边形ABC1D1的面积为S．
（1）线段AD1的长度最小值是，此时x=3；
（2）当x为何时，四边形ABC1D1是菱形？并说明理由；
（3）求S与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象．
【考点】矩形的性质；菱形的判定；平移的性质．
【分析】（1）当AD1⊥AC时，线段AD1的长度最小，再根据解直角三角形求解．
（2）四边形ABC1D1是菱形，可以得出△AD1C1是等边三角形，进而求出x的值．
（3）作C1E⊥AB于点E，求出EC1用平行四边形的面积公式求出关于S与x的函数关系式，注意函数关系式分两种情况并画出图象．
【解答】解：（1）当AD1⊥AC时，线段AD1的长度最小；
∵矩形ABCD中，∠ACB=30°，AB=2，
∴∠D1A1C1=∠DAC=∠ACB=30°，C1D1=CD=AB=2，∠A1D1C1=∠D=90°，
∴∠A1C1D1=60°，
∴AC 1=C1D1•cos60°=2×=1，AD1=C1D1•sin60°=2×=，
∵AC=2CD=4，
∴x=AC﹣AC1=4﹣1=3；
故答案为：，3．
（2）当x=2时，四边形ABC1D1是菱形．
理由：四边形ABC1D1是菱形
∴C1D1=AD1
∵∠A1C1D1=60°，C1D1=2，。