浙江省2019年中考数学总复习专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明试题(含答案)257

专题提升七 以圆的切线为背景的计算与证明
热点解读
直线与圆相切时，常用的辅助线是过切点的半径，且构造直角三
角形来解决问题；动圆与直线相切(或动直线与圆相切)时，要注意有两种位置．直线与圆相切是中考常见题型．
母题呈现
(2017·常德)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，
BE ∥CO .
(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；
(2)若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．
对点训练 1．(2016·台州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，
以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连结PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )
A ．6
B ．213＋1
C ．9 D.322
第1题图
2．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相
切于点D ，则∠C ＝____________________度．
第2题图
3．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G .且AB ∥CD .BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，则BE 的长为____________________cm.
第3题图 4．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y ＝－33x ＋6分别与x 轴、y 轴相交于B 、A 两点．点C 在射线BA 上以3厘米/秒的速度运动，以C 点为圆心作半径为1厘米的⊙C .点P 以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l ∥x 轴．若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，设运动时间为t 秒，则在整个运动过程中直线l 与⊙C 最后一次相切时t ＝____________________秒．
第4题图
5．(2016·天津)在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．
(1)如图1.过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝27°，求∠P 的大小；
(2)如图2，D 为弧AC 上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连结DC
并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．
第5题图
6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB.
第6题图
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF 的长；
(3)填空：在(2)的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为______________________．
7.(2017·山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第7题图
8．(2017·玉林)如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β.
(1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
(2)连结OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
第8
题图
参考答案
专题提升七 以圆的切线为背景的计算与证明
【母题呈现】
(1)∵DE 是切线，∴OC ⊥DE ，∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠CBE ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠CBE ＝∠CBO ，∴BC 平分∠ABE . (2)在Rt △CDO 中，∵DC ＝8，OC ＝OA ＝6，∴OD ＝CD 2＋OC 2＝10，∵OC ∥BE ，∴DC CE ＝DO OB ，∴8CE ＝106，∴CE ＝4.8. 【对点训练】
1．C 2.45 3.3.6 4.267
5．(1)如图，连结OC ，∵⊙O 与PC 相切于点C ，∴OC ⊥PC ，即∠OCP ＝90°，∵∠CAB ＝27°，∴∠COB ＝2∠CAB ＝54°，在Rt △COP 中，∠P ＋∠COP ＝90°，∴∠P ＝90°－∠COP ＝36°；
(2)∵E 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ，即∠AEO ＝90°，在Rt △AOE
中，由∠EAO ＝10°，得∠AOE ＝90°－∠EAO ＝80°，∴∠ACD ＝12
∠AOD ＝40°，∵∠ACD 是△ACP 的一个外角，∴∠P ＝∠ACD －∠A ＝40°－10°＝30°.
第5题图
6．(1)如图，∵∠CBF ＝∠CFB ，∴CB ＝CF .又∵AC ＝CF ，∴CB ＝12
AF ，∴△ABF 是直角三角形，∴∠ABF ＝90°，即AB ⊥BF .又∵AB 是直径，∴直线BF 是⊙O 的切线．
第6题图
(2)如图，连结DO ，EO ，∵点D ，点E 分别是弧AB 的三等分点，∴∠AOD ＝60°.又∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴OA ＝AD ＝OD ＝5，∠OAD ＝60°，∴AB ＝10.∴在Rt △ABF 中，∠ABF ＝90°，BF ＝AB ·tan60°＝103；
(3)如图，连结OC .则OC 是Rt △ABF 的中位线，∵由(2)知，BF ＝103，∴中位线OC ＝53，∵⊙O 半径OA ＝5.∴53－5＜r ＜53＋5.
7．(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，由
勾股定理得：AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22
＝25，∴OA ＝12AB ＝5，∵OD ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠ACB ＝90°，又∵∠A ＝∠A ，∴△AOE ∽△ACB ，∴OE BC ＝OA AC ，即OE 2＝54，解得：OE ＝52
.
第7题图
(2)∠CDE ＝2∠A ，理由如下：连结OC ，如图所示：∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠2＋∠CDE ＝90°，∵OD ⊥AB ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE ，∵∠3＝∠A ＋∠1＝2∠A ，∴∠CDE ＝2∠A .
8．(1)连结OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD ∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α，∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°(0°＜α＜
45°)．
第8题图
(2)连结OF交AC于O′，连结CF.∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF，∴
FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形
AFCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF＝AO＝
OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO＝2α＝60°，∴α＝30°，∵
2α＋β＝90°，∴β＝30°，∴α＝β＝30°.。