2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章 导数及

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)
学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．
知识点 复合函数的概念及求导法则
已知函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)． 思考1 这三个函数都是复合函数吗？
答案 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 试说明函数y ＝ln(2x ＋5)是如何复合的？
答案 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数． 思考3 试求函数y ＝ln(2x ＋5)的导数． 答案 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.
梳理
类型一 简单复合函数求导 例1 求下列函数的导数． (1)cos 1
e
x y +=； (2)y ＝log 2(2x ＋1)；
(3)y ＝2sin(3x －π6); (4)y ＝1
1－2x .
解 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x ) ＝－e cos x ＋
1sin x .
(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，
则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2
(2x ＋1)ln 2.
(3)设y ＝2sin u ，u ＝3x －π
6，
则y x ′＝y u ′·u x ′＝2cos u ×3 ＝6cos(3x －π
6)．
(4)设12
y u
-=，u ＝1－2x ，
则y x ′＝y u ′·u x ′＝(12
u
-)′·(1－2x )′
3
3
221(2)(12).2
u x --⨯＝－－＝－
反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝103x －
2；
(2)y ＝ln(e x ＋x 2)； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .
解 (1)令u ＝3x －2，则y ＝10u ， 所以y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 10·(3x －2)′ ＝3×103x －
2ln 10.
(2)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u ， 所以y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(e x ＋x 2)′
＝1e x ＋x 2·(e x
＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.
(3)因为y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－1
4(1－cos 4x )
＝34＋1
4
cos 4x ， 所以y ′＝(34＋1
4cos 4x )′＝－sin 4x .
类型二 复合函数导数的综合应用
命题角度1 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3x e x ；
(2)y ＝x 1＋x 2；
(3)y ＝x cos(2x ＋π2)sin(2x ＋π
2)．
解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1
x ，
∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′
(e x )2
＝1
x －ln 3x e x
＝1－x ln 3x x e x . (2)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2
＋x 2
1＋x 2
＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2
.
(3)∵y ＝x cos(2x ＋π2)sin(2x ＋π
2)
＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－1
2x sin 4x ，
∴y ′＝(－1
2x sin 4x )′
＝－12sin 4x －x
2cos 4x ·4
＝－1
2sin 4x －2x cos 4x .
反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝sin 2 x
3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；
(3)y ＝
1
1－x
；(4)y ＝x ln(1＋x )． 解 (1)∵y ＝1－cos 2
3
x
2，
∴y ′＝(12－cos 23x
2)′＝13sin 2
3
x .
(2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.
(3)y ′＝0－(1－x )′
1－x ＝1
21
(1)(1)'
21x x x
-----
＝
1
2(1－x )1－x
.
(4)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋
x 1＋x
. 命题角度2 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝3
2x
在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得 f ′(x )＝1x ＋1＋1
2x ＋1＋a ，
则f ′(0)＝1＋12＋a ＝3
2
＋a ，
此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得32＋a ＝3
2
，故a ＝0.
反思与感悟 本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． 跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．
解 设u ＝sin x ，
则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x ， 即y ′|x ＝0＝1，
则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.
若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|
2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.
故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.
1．函数y ＝(2 016－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 016－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 016－8x )2 D ．24(2 016－8x )2
答案 C
解析 y ′＝3(2 016－8x )2×(2 016－8x )′ ＝3(2 016－8x )2×(－8)＝－24(2 016－8x )2. 2．函数y ＝x 2cos(2x －π
3)的导数为( )
A ．y ′＝2x cos(2x －π3)－x 2sin(2x －π
3)
B ．y ′＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π
3)
C ．y ′＝x 2cos(2x －π3)－2x sin(2x －π
3)
D ．y ′＝2x cos(2x －π3)＋2x 2sin(2x －π
3)
答案 B
解析 y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π
3)]′
＝2x cos(2x －π3)＋x 2[－sin(2x －π3)](2x －π
3
)′
＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π
3)．
3．函数y ＝1
(3x －1)2的导数是( )
A.6(3x －1)3
B.6(3x －1)2 C ．－6
(3x －1)3
D ．－
6
(3x －1)2
答案 C
解析 y ′＝[1
(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′ ＝
－6
(3x －1)3
，故选C.
4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 答案 32
解析 ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1
，∴f ′(1)＝3
2.
5．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 2
解析 由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.
求简单复合函数f (ax ＋b )的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键．
课时作业
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1
x ＋1
B ．y ＝cos(x ＋π
4)
C ．y ＝1
ln x
D ．y ＝(2x ＋3)4
答案 A
解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π
4
，y ＝cos u 的复合函数，
C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1
u 的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4
的复合函数，故选A.
2．函数y ＝(x ＋1
x )5的导数为( )
A ．y ′＝5(x ＋1
x )4
B ．y ′＝5(x ＋1x )4(1＋1
x )
C ．y ′＝5(x ＋1x )4(1－1
x 2)
D ．y ′＝5(x ＋1x )4(x ＋1
x )
答案 C
解析 函数y ＝(x ＋1x )5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1
x 的复合函数，
∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(x ＋1x )4(1－1
x 2)．
3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x
2x ＋5
B ．ln(2x ＋5)＋2x
2x ＋5
C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5
答案 B
解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·1
2x ＋5·(2x ＋5)′
＝ln(2x ＋5)＋2x
2x ＋5
.
4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2
答案 B
解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
1x 0＋a ＝1，
x 0＋1＝ln (x 0＋a )，
由此得x 0＝－1，a ＝2.
5．曲线y ＝e －2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )
A.13
B.12
C.23 D ．1
答案 A
解析 y ′|x ＝0＝－2e
－2×0
＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋2，y ＝x ， 得x ＝y ＝23，
∴A (23，23
)，
则围成的三角形的面积为12×23×1＝1
3
.
6．已知点P 在曲线y ＝4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π
4)
B ．[π4，π2)
C ．(π2，3π4]
D ．[3π
4
，π)
答案 D
解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x
(e x )2＋2e x ＋1
＝
－4
e x
＋1e
x ＋2
. ∵e x ＋1e x ≥2，∴e x ＋1
e x ＋2≥4，
∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)， ∴α∈[3π
4，π)．
二、填空题
7．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________________． 答案 2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x
解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，
∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 8．曲线y ＝x e x －1
在点(1,1)处切线的斜率为________．
答案 2
解析 y x ′＝e x －
1＋x e x －
1＝(x ＋1)e x －
1，
故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2.
9．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案 1
解析 令u ＝2x ＋a ，
则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )， 则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.
10．若曲线y ＝e －
x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．
答案 (－ln 2,2) 解析 设P (x 0，0
e
x -)，
00'|e 2x x x y -==-=-，得x 0＝－ln 2，
∴P (－ln 2,2)． 三、解答题
11．求函数y ＝a sin x
3＋b cos 22x (a ，b 是实常数)的导数．
解 ∵(a sin x 3)′＝a cos x 3(x 3)′＝a 3cos x
3，
又(cos 22x )′＝(12＋1
2cos 4x )′
＝1
2(－sin 4x )×4＝－2sin 4x ， ∴y ＝a sin x
3
＋b cos 22x 的导数为
y ′＝(a sin x 3)′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x
3
－2b sin 4x .
12．曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程． 解 由y ′＝(e 2x cos 3x )′ ＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )， 得y ′|x ＝0＝2.
则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.
若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为 2x －y ＋c ＝0，
两平行线间的距离d ＝|c －1|
5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.
故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.
13．设曲线y ＝e －
x (x ≥0)在点M (t ，e －
t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．
(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式．
解 (1)∵y ＝e －
x ，∴y x ′＝(e －
x )′＝－e －
x ，
当x ＝t 时，y x ′＝－e －
t .
故切线方程为y －e －
t ＝－e －
t (x －t )，
即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0，得x ＝t ＋1. 令x ＝0，得y ＝e －
t (t ＋1)．
∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －
t (t ≥0)．
四、探究与拓展
14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1
－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是
________． 答案 2x －y ＝0
解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －
1＋x .
因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －
1＋x ，f ′(x )＝e x －
1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y
－2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.
15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．
解 作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝1
2x －1(2x
－1)′＝2
2x －1.
设切点为P (x 0，y 0)， 所以2
2x 0－1＝2，所以x 0＝1，
所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1,0)．
所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，
最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋12
＝55＝ 5.。