2020年高考数学(理)一轮复习讲练测第3章导数及其应用(单元测试)含答案

第三单元 导数及其应用单元测试
【满分：100分 时间：90分钟】
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)
1．（云南省玉溪市第一中学2019届调研）函数2l ()n f x x x =的最小值为（ ）
A ．1e -
B ．1e
C ．12e
-
D ．
e
21 【答案】C
【解析】由题得(0,)x ∈+∞，'()2ln (2ln 1)f x x x x x x =+=+，令2ln 10x +=解得1
2x e -=，则当
12
(0,)x e -∈时f(x)为减函数，当12
(,)x e -
∈+∞时，f(x)为增函数，所以1
2x e -
=点处的函数值为最小值，代入
函数解得12
1
()2f e e
-
=-
，故选C 。

2．（山东省聊城市2019届三模）函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ） A ．10x y ++= B ．10x y -+=
C ．210x y -+=
D ．210x y +-=
【答案】A 【解析】
当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11
()2,(1)211
f x k f x ''=-+
∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1), 即：10x y ++= 故选A 。

3．（广东省揭阳市2019年二模）以下四个数中，最大的是（ ）
A ．
B ．
1
e
C ．
ln π
π
D 【答案】B
【解析】由题意，令()ln x
f x x =
，则()21x f x x
-'=， 所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减， 又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f
f π>>>，
则
1
111
133
15ln ln 3ln ln ln15e e πππ>>>>>
即
1ln ln ln1530
e ππ>>>， 故选B 。

4．（河北省石家庄市2019届模拟）已知当m ，[]
1,1n ∈-时，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，则以下判断正确
的是（ ） A ．m n > B ．m n <
C ．m n <
D ．m 与n 的大小关系不确定
【答案】C
【解析】由题意，设()3
sin
2
x
f x x π=+，则()2
3cos
2
2
x
f x x π
π'=+
，
当[1,1]x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 又由3
3sin
sin
2
2
m
n
m n ππ<++，所以()()f m f n <，即m n <，故选C 。

5．（辽宁省朝阳市重点高中2019届模拟）已知函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数
()2x x g x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（ ）
A ．
1
2e e
-- B ．-2
C ．12e e
-
- D ．2
2
12e e -
- 【答案】B
【解析】因为()2x
x
g x e e -=--，所以)0(x x g x e e -+'>=在R 上恒成立，
即函数()2x
x
g x e e
-=--在R 上单调递增；
又0
0(0)220g e e =--=-<，1
1
(1)20g e e -=--> 所以()g x 在(0,1)上必然存在零点，即0(0,1)x ∈， 因此[]00()0f x x ==， 所以()0(0)2g f x g ==-⎡⎤⎣⎦. 故选B 。

6．（甘肃省兰州市第一中学2019届模拟）定义在∞（0，+）
上的函数f x （）满足2
()10x f x '+>，5
22
f =（），则关于x 的不等式1
2ln f lnx x
>+（
） 的解集为( )
A ．2(,)e +∞
B ．2(0,)e
C ．2(,)e e
D ．2(1,)e
【答案】A
【解析】令1()()(0)g x f x x x =->，则222
1()1
()()x f x g x f x x x
'+''=+=， 因为0x >时，2
()10x f x '+>，
所以222
1()1
()()0x f x g x f x x x
'+''=+=>， 即函数1()()g x f x x
=-在∞（0，+）上单调递增； 又522
f =（
），所以1(2)(2)22g f =-=； 由12ln f lnx x
>+（
）得1
2ln f lnx x ->（）， 所以(ln )(2)g x g >，
因此，ln 2x >，解得2x e >. 故选A 。

7．（湖南省长沙市第一中学2019届模拟）若不等式1ln x m m e x +-≤+对],[11
e
x ∈成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1
[,)2
-+∞ B ．1(,]2
-∞-
C ．1[,1]2
-
D ．[1,)+∞
【答案】A
【解析】设1ln t x x =+，由1,1e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 则22111t x x x x ='-=
-在1,1e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上t 0'≤恒成立， ∴1
ln t x x
=+单调递减，则[1,1]t e ∈-； 当2
e
m ≤
时，max ||1t m e m m e -=--≤+， 解得：1
2
m ≥-；
当2
e
m >
时，max ||1t m m m e -=-≤+，恒成立；
综上知：当m ∈1[,)2-+∞时，不等式1ln x m m e x +-≤+对1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
成立. 故选A 。

8．（2019年山西省忻州市一中模拟）定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当
3,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( )
A ．4,33ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．4,33ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,33ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【答案】D
【解析】令11()()22g x f x x =-
-，则1
()'()0'2
g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11
(1)(1)022
g f =--=，
1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23
=(2cos )2sin 22
x f x +-，
∴23
(2cos )2sin 022
x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到
2cos 1x >，又Q 3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
故选D 。

9．（湖南省长沙市第一中学2019届模拟）已知函数3
1
()1(,f x x a x e e e
=-++≤≤是自然对数的底数）与
()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3[0,4]e -
B ．3[1,4]e -
C ．3[1,3]e -
D ．3[,3]e e -
【答案】A
【解析】根据题意，若函数3
()1f x x a =-++（1
x e e
≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，
则方程313ln x a x -++=-在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解
，313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-，即方程313ln a x x +=-在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，设函数
3
()3ln h x x x =-，其导数()32313'()3x h x x x x
-=-=，
又3
n
，'()0h x =在1x =有唯一的极值点， 分析可得：当
1
1x e
≤≤时，'()0h x ≤，()h x 为减函数， 当1x e ≤≤时，'()0h x ≥，()h x 为增函数， 故函数3()3ln h x x x =-有最小值(1)1h =， 又由3311h e e ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，3
()3h e e =-，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭
， 故函数3
()3ln h x x x =-有最大值3
()3h e e =-，
故函数3
()3ln h x x x =-在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3[1,3]e -；
若方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上有解，必有3113a e ≤+≤-，则有304a e ≤≤-，即a 的取值范围
是3
[0,4]e -，故选A 。

10．（辽宁省丹东市2019届质量测试）当1x =是函数(
)
22
()233x
f x x ax a a e =+--+的极值点，则a 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．-3或2
【答案】B
【解析】由()()
2
2
233x
f x x ax a a e =+--+，
得()()
2
2
'223x
f x x ax x a a e =++--+，
∵x ＝1是函数f （x ）的极值点，
∴'f （1）＝6﹣2a +a ＝0，解得3a =或-2，
当a =-2时，()(
)
2'210x
f x x x e =-+≥恒成立，即()f x 单增，无极值点，舍去；
当a =3时，()()
2
890x
f x x x e -'=+=时，x ＝1或x=-9，
满足x ＝1为函数f （x ）的极值点， ∴3a =． 故选B 。

11．（山东省淄博市部分学校2019届模拟）已知函数()cos()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象
如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ）
A ．若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为12,x x ，则12x x -的最小值为2
π
B ．函数()g x 的最大值为2
C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行
D ．函数()g x 图象的对称轴方程为5(Z)12
x k k π
π=+∈ 【答案】A
【解析】由图象可知，2A =，
214362
T πππ=-=， 2T π∴=，1ω=，
()2cos()f x x ϕ∴=+，
()2cos()266f ππϕ=+=Q ，且1
||2
ϕπ<，
6π
ϕ∴=-
，()2cos()6
f x x π
=-， ()()()2cos()2sin()22)6612
g x f x f x x x x Q πππ
=+=---=+'，
由()()20h x g x =+=可得2
cos()12
2
x π
+
=-
， 则12||x x -的最小值为
53442
πππ-=，故A 正确； 结合余弦函数的性质可知，()f x 的最大值22B 错误；
根据导数的几何意义可知，过点P 的切线斜率()22)[22,22]12
k f x x π
='=-+
∈-，不存在斜率为
3-的切线方程，故C 错误；
令12
x k π
π+
=可得，12
x k π
π=-
，k z ∈，故D 错误，故选A 。

12．（重庆南开中学2019届模拟）若函数()()2
ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )
A ．[
)1,+∞ B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】()()2'
2211
2111
ax a x f x ax x x +-=+-=
++ ，当210a -≥,即12a ≥ ()0f x '= ,得121,2a x a -=
>- 或0x =，当1212a x a --<< 或0x > ，()'
0;f x >1202a x a
-<< ，()'0;f x <故()f x 在()0,∞+ 单调递增，又(0)0f =，故图象不经过第四象限，符合题意。

当210a -<，即12
a <
时，()0f x '= ,得12,2a x a -=或0x =，当122a x a -> ，()'
0;f x >1202a x a -<< ，()'0;f x <故()f x 在120,
2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减，在12,2a a -⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递增，又(0)0f =，故图像经过第四象限，
舍去。

故选C 。

13．（江西省上饶市横峰中学2019届模拟）已知函数1
0()ln ,0x x
f x x x x
⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，
则k 的取值范围为( ) A ．(2
1
e -
，0) B ．(1
2e
-
，0) C ．(0，
12e
) D ．(0，
2
1e ) 【答案】C 【解析】
由题意，函数1
0()ln ,0x x
f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，
当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln x
k x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln x
g x x
=有两个交点，
又由()3
12ln x
g x x
-'=，令12ln 0x -=
，可得x =
当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；
当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，
所以当x e =
时，()max 12g x e
=
， 若直线y k =和()2
ln
x g x x =
有两个交点，则
1
(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1
g x x
=有一个交点，则0k >，
综上可得，实数k 的取值范围是1
(0,)2e
，故选C 。

14．（山东省泰安市教科研中心2019届模拟）若函数3
2
3()12
f x ax x =-+存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．(2,0)-
C ．(0,2)
D ．2,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】由函数3
23()12f x ax x =-+存在唯一的零点0x ，且00x >等价于2
331
2x a x
-=有唯一正根，
即函数2
3
31
2()x y g x x -==的图象与直线y a =在y 轴右侧有1个交点，
又()y g x =为奇函数且4
3(2)(2)
()x x g x x -+'=
，
则()y g x =在(,2)-∞-，(2,)+∞为减函数，在()()
2,0,0,2-为增函数，(0,2)为增函数， 则满足题意时()y g x =的图象与直线y a =的位置关系如图所示，
即实数a 的取值范围是2
a <A 。

15．（福建省龙岩市2019届模拟）若直线y =a 分别与直线y =2x -3，曲线y =e x -x （x ≥0）交于点A ，B ，则|AB |的最小值为（ ）
A ．63ln3-
B ．33ln32
-
C ．e
D ．0.5e
【答案】B
【解析】作出两个曲线的图象如图，
设A （x 1，a ），B （x 2，a ），则x 1＞x 2，
则2x 1﹣3＝e 2x -2x ，即x 11
2
=
（e 2x -2x +3）， 则|AB |＝12x x -12=（e 2x -2x +3）2x -1
2=（﹣32x +e 2x +3），
设f （x ）1
2
=（e x ﹣3x +3），x ≥0，
函数的导数f ′（x ）1
2
=（﹣3+e x ），
由f ′（x ）＞0得x ＞ln 3，f （x ）为增函数， 由f ′（x ）＜0得0≤x ＜ln 3，f （x ）为减函数，
即当x ＝ln 3时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln3）12=（3+3﹣3ln3）＝33
2
-ln3， 故选B 。

16．（福建省厦门第一中学2019届模拟）已知函数()x
f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；
②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【答案】D
【解析】对函数求导：当a ≤0时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＞0在x ∈R 上恒成立， ∴f （x ）在R 上单调递增．
当a ＞0时，∵f ′（x ）＝e x ﹣a ＞0，∴e x ﹣a ＞0，解得x ＞lna ， ∴f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）单调递增． ∵函数f （x ）＝e x ﹣ax 有两个零点x 1＜x 2，
∴f （lna ）＜0，a ＞e ，
∴e lna ﹣alna ＜0，∴a ＞e ，①不正确；
102001010,01ln ,ln 1f f e a x x x x -<∴<<<>>（）＝＞，（）＝
函数的极小值点为0ln x a =
要证1202x x x +<，只要证10202x x x x <-<
因为函数f （x ）在（﹣∞，0x ）单调递减，故只需要证()()()21022f x f x f x x =>- 构造函数()()()0200222x x
x
g x f x f x x e e
ax ax -=--=--+()0x x >
求导得到(
)02'220x x x g x e e a a -=+-≥= 所以函数()g x 单调递增，()()00,0g x g x =∴≥恒成立，
()()02f x f x x ∴≥- 即()()2022f x f x x >-，故得到()()()21022f x f x f x x =>-
进而得证：10202x x x x <-<，1202x x x +<.故④正确.
又因为1122
21
1212122
2ln ln x x x x
e ax e a x x x x a x x e ax +⎧=⇒=⇒+=+⎨=⎩ 根据12022ln x x x a +<=，可得到1212ln 001x x x x <⇒<<.③不正确.
因为102001010,01ln ,ln 1f f e a x x x x -<∴<<<>>（
）＝＞，（）＝故②122x x +<不确定.综上正确的只有一个，故答案为D 。

17．（江西省新八校2019届第二次联考）已知函数()2
2ln m f x mx x x
-=++，要使函数()0f x >恒成立，则正实数m 应满足（ ）
A ．112m
m e m -<- B ．
1
12m m e m -<- C ．
12
m
m e x m --- D ．
1
12
m m e m ->- 【答案】A
【解析】由()2
2ln m f x mx x x
-=+
+，得： ()()()()22222
21212222m m x x mx m x m mx x m m f x m x x x x x -⎛⎫-+ ⎪+-+-++-⎝⎭'=-+===
若
2
0m m
-≤，即02m <≤时，则()0f x '>恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增 又0x +→时，()f x →-∞，与()0f x >恒成立矛盾； 若
2
0m m
->，即2m >时 当20,
m x m -⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0f x '<，当2,m x m -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '> ()()()min 22222ln 212ln m m m f x f m m m m m m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴==-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
若()0f x >恒成立，需()min 0f x >，即：21ln m m m -⎛⎫
-<
⎪⎝⎭
12m
m e
m --∴< 112
m
me m -⇒<-
本题选A 。

18．（河南省洛阳市2019届模拟）已知函数()(2)(0)x
f x kx e x x =-->，若()0f x <的解集为(,)s t ，且(,)
s t 中恰有两个整数,则实数k 的取值范围为（ ） A ．2
1
11,2e
e ⎡⎫
++⎪⎢
⎣⎭
B ．4
31112
,23e e ⎡⎫
++⎪⎢
⎣⎭
C ．21,
1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
D ．32
121,13e e ⎡⎫
++⎪⎢
⎣⎭
【答案】D
【解析】设()x
x g x e =
，则
1()x x
g x e -'= 当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，
所以函数()g x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数，
()0f x <的解集为（s,t)等价于
(2)x
x
kx e >-的解集为（s,t)， 即当且仅当在区间（s,t)上函数()x x
g x e
=的图象在直线2y kx =-的上方， 函数()x x
g x e
=
的图象与直线2y kx =-的位置关系如图所示，
由图可知：(1)2(2)22(3)32g k g k g k >-⎧⎪
>-⎨⎪-⎩
…，
解得：
3221113k e e
+<+…， 故选D 。

二、填空题(本大题共4小题，共16分)
19．（天津市南开区2019届模拟）已知函数21'0x f x ax x e f =+-+（）（）（），则'0f （）的值为___________。

【答案】0
【解析】∵2
1'0x
f x ax x e f =+-+（
）（）（） ∴()2
21x
f x ax a x e ⎡⎤=++⎣⎦'
令x=0，可得0
000f e =⨯='。

20．（广东省2019届高三适应性考试）已知函数()(,)x
f x ae b a b R =+∈在点(0,(0))f 处的切线方程为
21y x =+，则a b -=_______．
【答案】3
【解析】由f （x ）＝ae x +b ，得f '（x ）＝ae x ，
因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，
所以()()
01'02f a b f a ⎧==+⎪⎨==⎪⎩解得a ＝2，b ＝﹣1．
a ﹣
b ＝3。

21．（天津市南开区2019届模拟）已知函数()12cos 2x
x f x e x e π⎛⎫
=-
-- ⎪⎝⎭
，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.
【答案】3
12
a -
<< 【解析】()12cos 2x
x f x e x e π⎛⎫=-
-- ⎪⎝⎭
Q 1
2sin x x e x e
=-
-， ()()1
2sin x x f x e x e --∴-=---
()2sin 1x x x e f x e ⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
-，
()f x ∴是奇函数，且()00f =，
又()1
2'cos x
x
f x e e x -=+
Q ， 2,2c s 1
o 2x x
e x e +
≥≤， ()'0f x ∴≥，
()f x ∴在()+-∞∞，上递增， ()()()22300f a f a f ∴+-+<，
化为(
)()()2
233f a
f a f a <--=-，
∴232312a a a <-⇒-
<<，故答案为3
12
a -<<. 22．（安徽省定远中学2019届模拟）已知函数()22,4215,4
x
x x f x x ⎧--<=⎨
-≥⎩，若存在123,,x x x R ∈，且123x x x <<，
()()()123f x f x f x ==，使得()()123x x f x f a ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____。

【答案】[)2log 23,+∞
【解析】作出图象，如图所示，设()()()123f x f x f x t ===，则[)1,2t ∈，1x t =，24x t =-.
令()()123g t x x f x =，则()()2
3244g t t
t t t =-=-+，所以()()2'3883g t t t t t =-+=-，
所以当[)1,2t ∈时，()'0g t >，所以()g t 在[)1,2上单调递增，所以当[)1,2t ∈时，()38g t ≤<， 所以()8f a ≥，所以由函数()f x 图象可知2158a -≥，所以2log 23a ≥。

三、解答题(本大题共2小题，共30分)
23．（四川省名校联盟2019届模拟）已知函数()()2
2
ln 24
a f x a x x a x =-+--
. （Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41=-+y x 平行，求曲线()f x 在()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值，并求当()f x 有极大值且极大值为正数时，实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）84170x y --=；（Ⅱ）()2,e +∞. 【解析】 （Ⅰ）()'22a
f x x a x
=-+-， 由()'323243
a
f a =
-⨯+-=-，得3a =. 当1x =时，()()22
39
1132144
f =-+-⨯-=-，
()3
'1213221
f =-⨯+-=，
曲线()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为()9
214
y x +=-，即84170x y --=. （Ⅱ）()()()21'22x a x a
f x x a x x
--+=
-+-=
. （1）当0a ≤时，()'0f x ≤，所以，()f x 在()0,∞+递减，()f x 无极值.
（2）当0a >时，由()'0f x =得2
a x =
. 随x 的变化()'f x 、()f x 的变化情况如下：
故()f x 有极大值，无极小值；
()()2
2
ln 22224
a a a a f x a a ⎛⎫=-+-⨯-
⎪⎝⎭极大
ln 2a a a =-， 由()ln
02
a
f x a a =->极大，∵0a >，∴2a e >. 所以，当()f x 的极大值为正数时，实数a 的取值范围为()2,e +∞。

24．（山东省淄博市部分学校2019届模拟）已知函数()()2
1ln ,2
f x x x
g x mx ==
． （1）若函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围；
（2）设()()()F x f x g x =-，已知()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：2
122x x e
>（其中e 为自然对数的底数）． 【答案】（1）2
m e
≥-；（2）证明见解析. 【解析】
（1）函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点， 即21
()()2
g x m x --=--的图像与函数()ln f x x x =的图像有交点， 即21
()ln 2m x x x -
-=在(0,)+∞上有解. 即1ln 2x m x
=-在(0,)+∞上有解. 设ln ()x x x ϕ=-，（0x >），则2
ln 1()x x x ϕ'
-=
当(0,)x e ∈时，()x ϕ为减函数；当(,)x e ∈+∞时，()x ϕ为增函数，
所以min 1()()x e e ϕϕ==-
，即2m e
≥-. （2）21()()()ln 2
F x f x g x x x mx =-=-，()ln 1F x x mx '
=-+
()F x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，
所以1122ln 10
ln 10
x mx x mx -+=⎧⎨
-+=⎩
因为1212ln ln 2x x m x x ++=
+且1212ln ln x x m x x -=-，所以1212
1212
ln ln 2ln ln x x x x x x x x ++-=+-，
即11
22
121121
1222
1ln
ln ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭++==
-- 设1
2(0,1)x t x =
∈，则12(1)ln ln ln 21
t t x x t +++=- 要证2
122x x e >，即证12ln ln 22x x ++>，
只需证
(1)ln 21t t t +>-，即证2(1)
ln 01
t t t --<+
设2(1)()ln 1
t h t t t -=-+，22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '
-=-
=>++， 则2(1)
()ln 1t h t t t -=-
+在(0,1)上单调递增，()(1)0h t h <=， 即2(1)
()ln 01
t h t t t -=-
<+ 所以，12ln ln 2x x +>即2
122x x e >。