河南省中英文学校2022-学年高二数学上学期第一次月考试题

中英文学校2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题
第I 卷 选择题 (共60分〕
—、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1.在△ABC 中，BC=10,31sin A ,那么△ABC 的外接圆半径为 A.30 B.3
15 C.20 D.15 2.在△ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，假设 sinA : sinB : sinC=3：4：6,那么有
A. cosA<cosB<cosC B . cosA>cosB>cosC C. cosB>cosA>cosC D. cosC>cosA>cosB
3.设数列{an }，{bn }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么a 37＋b 37等于( )
A ． 0
B ． 37
C ． 100
D ． －37
4.在等差数列{an }中，假设a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，那么a 7－a 8的值为( )
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ． 10
5.根据以下情况，判断三角形解的情况，其中正确的选项是( )
A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解
B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解
C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解
D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解
6..a ，b ，c 为△ABC 的三边长，假设满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，那么C 的大小为( )
A ． 60°
B ． 90°
C ． 120°
D ． 150°
7.在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c.假设0
60=B ，BC 边上的中线AD=b ，那么 a: b: c= A. 1:72 ： B. 2:7:3 C. 2:6:3 D. 1:2:3
8.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200m 以后测得山峰的仰角为4θ，那么该山峰的高度为( )
A ． 200 m
B ． 300 m
C ． 400 m
D ． 100
m 9.在△ABC 中，sin A ＝，那么△ABC 为( )
A ． 等腰三角形
B ． 等边三角形
C ． 直角三角形
D ． 等腰或直角三角形
10.等差数列{}n
a 的首项为2，公差为()Z d d ∈,且{}n a 中有一项为哪一项14，那么d 的取值的个数为( )
A.3
B.4
C.6
D.7
11.数列{n a }，对任意的*∈N a ,n
n n n a a 21⋅=++，那么=10a ( )
A. 3185
B. 3186
C. 3187
D.3188
12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，b 2＝c (b ＋2c )，假设a ＝
，cos A ＝，那么△ABC 的面积等于( ) A ． B ． C ． D ． 3 第二卷 非选择题(共90分〕
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上〕
13.假设等差数列的第1,2,3项依次为
，，，那么这个等差数列的第101项为________
14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比方，他们将石子摆成如下图的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，那么第10个三角形数是________．
15.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b, ,a ，假设，33c 4,b 3,===a
那么BC 边上的高为
16.假设在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ，那么S △ABC 的最大值是________．
三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〕
17.(本小题总分值10分〕
在等差数列{an }中，
(1) a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；
(2) a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.
18.(本小题总分值12分〕
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋cos A
＝2.
(1)求A 的大小；
(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝45°；③c ＝b .
试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积(只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分)．
19.(本小题总分值12分〕 数列{an }中，a 1＝5且an ＝2an －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N*)．
(1)求a 2，a 3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列
为等差数列？假设存在，求出λ的值；假设不存在，请说明理由．
(3)求通项公式a n
20.(本小题总分值12分〕 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，如C A B C A sin sin 1cos cos cos 222-=-+.
(1)求角B 的大小； (2)假设3=b ，求c a +2的最大值.
21.(本小题总分值12分〕数列{an }的通项公式an
＝(n ＋2)·，试求数列{an }的最大项．
22.(本小题总分值12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cos C)，且p∥q.
(1)求sin A的值；
(2)求三角函数式＋1的取值范围．
参考答案
一、选择题：1-5 DBCCD 6-10 CBBCC 11-12 AA
二、填空题：13. 14.55 15．
32
8 16. 2
三、解答题：17、【解析】(1)由题意知解得
(2)∵∴∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a9＝2×9－1＝17.
【解析】(1)由sin A＋cos A＝2，
得sin(A＋60°)＝1.
因为A∈(0,180°)，所以A＋60°∈(60°，240°)，
所以A＋60°＝90°，即A＝30°.
(2)方案一：选①和②.
由正弦定理得，b＝＝＝2，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B
＝×＋×＝，
∴△ABC的面积为S＝ab sin C＝×2×2×＝＋1. 方案二：选①和③.
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
那么22＝b2＋()2－2b b cos 30°，
解得b＝2，于是c＝2，
∴△ABC的面积为
S＝bc sin A＝bc sin 30°＝×2×2×＝.
19、【答案】(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，那么有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋，
即＝＋.
解得λ＝－1.
此时，bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列为首项是2，公差为1的等差数列．
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝(n＋1)2n＋1.
20、【解析】〔1〕因为，故
，…………………………2分
由正弦定理可得，，………………………………4分
由余弦定理得，，又因为，故.……………………………………………………6分
（2）因为，，那么有，………………8分
=，其中，…………10分
故的最大值为…………………………………………12分
21、【解析】假设第n项an为最大项，那么
解得4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
22.解(1)∵p＝(2b－c，cos C)，q＝(2a,1)，且p∥q，
∴2b－c＝2a cos C，
由正弦定理得2sin A cos C＝2sin B－sin C，
又∵sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
∴sin C＝cos A sin C.
∵sin C≠0，∴cos A＝，
又∵0<A<π，∴A＝，
∴sin A＝.
(2)＋1＝1－
＝1－2cos2C＋2sin C cos C＝sin 2C－cos 2C
＝sin(2C－)，
∵0<C<π，∴－<2C－<π，
∴－<sin(2C－)≤1，
∴－1<sin(2C－)≤，
即三角函数式＋1的取值范围为(－1，]．。