2021年全国高校自主招生数学模拟试卷二

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷二
一、填空题（64分）
1.设定一个目标？{A1，A2，A3，A4}，如果由a中所有三元子集的三个元素之和组成的集合是B？{1,3,5,8}，然后设置
2．函数
f（x）？十、1x？12的值范围为
1a?1b?223．设a,b为正实数，4．如果cos?55，(a?b)32?4(ab)3，则logab?．，那么?的取值范围是．
罪7（罪过？）？？[0,2？）35.七名学生现在被安排参加五项运动。

要求学生a和B不能参加同一个项目。

每个项目都有人参加，每个人只参加一个项目。

满足上述要求的不同安排的数量是。

（用数字回答）6.在四面体ABCD中，已知“ADB？？BDC？？CDA四面体ABCD是
7．直线x?2y?1?0与抛物线y2?60?，ad?bd?3，cd?2，则
4X与a相交，BC是抛物线上的一点，两点，？acb？90?，
则点c的坐标为．
8.认识一个？C
n200?36??200?n?1??(n?1,2,?,95)2??n，则数列{an}中整数项的个数为．
二、回答问题（56分）
9．（16分）设函数f(x)?|lg(x?1)|，实数a,b(a?b)满足
f（10a？6b？21）？4lg2，找到a，BF（a）？f（？b？1b？2）
的值．
10.（20分）已知序列{an}满足：A1？2t？3（t？R和t？1），
an?1?(2tn?1?3)an?2(t?1)t?1an?2t?1nn(n?n)*．
（1）求序列{an}的通项公式；（2）如果没有
0，试比较an?1与an的大小．
11.（20点）画一条直线L和一个椭圆C，斜率为：
3p(32,2)在直线l1x236?y24?1交于a,b两点（如图所示），且
左上角的Ypoaxb
（1）证明：△pab的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若?apb?60?，求△pab的面积．
参考答案
1．{?3,0,2,6}.提示：显然，在a的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以
3（a1？a2？a3？a4）？(?1)? 3.5.8.15，
故a1?a2?a3?a4?5，于是集合a的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合a?{?3,0,2,6}．
2．(??,?22]?(1,??). 提示：设定x？棕褐色的1f（x）？1cos棕褐色的1辛？？余弦？12sin（？）1U？2.2，和？？4.那么
4．
)22集你？2英寸（±4），那么？2.U1.你呢？0，那么f（x）？？(??,?]?(1,??)．
3．-1.提示：由
1a？1b？22，找一个？B222ab。

而且
33(a?b)2?4ab?(a?b)?4ab?4(ab)?4?2ab?(ab)?8(ab)2，
即
a?b?22ab．①
因此
a?b?22ab．②
A.1.配合② 为了解决问题B2.1,2? 1.从不平等的中间符号① 保持，AB被获得，所以logab？？1．
4．4,5???4?或ab?2?1,2?1,
小贴士：不平等
cos??sin??7(sin??cos?)5533
相当于
sin??317sin??cos??5317cos?5.，故
而且
f(x)?x?317x5是(??,??)上的增函数，所以sin?2kcos??42k??5?4(k?z)．
因为[0,2]），所以“4,5”和“4”的值范围是
5．15000.提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有c37?5!?c5?5!?36001种方案；
2（2）两个项目各有2名参与者，因此满足设计要求的方案数量为3600个
12(c7?c5)?5!?c5?5!?1140022种方案；
11400 15000．
6．3.提示：设四面体abcd的外接球球心为o，则o在过△abd的外心n且垂直于平面abd的垂线上．由题设知，△abd是正三角形，则点n为△abd的中心．设p,m分别为ab,cd的中点，则n在dp上，且on?dp，om?cd．
因为cda？？国开行？？亚行？60?，设Cd和平面abd之间的角度为？，可获得的
cos??13,sin??2312232332．
在里面△ DMN，DM是由余弦定理导出的
mn2?cd?1,dn??dp3?3．
司仪？1.(3)? 2.1.3.2213? 2.
d
奥娜
bp
那么Mn呢？2.四边形DMON的外接圆直径
mnsin?223od3．
所以球的半径r是o？3.7. （1，±2）或
2(9,?6)．提示：设
A（x1，Y1），B（X2，Y2），C（T，2t）2，由
x2y10,2y4x,得
Y8岁？4.0，然后是Y1？y2？8，y1？y2？？4．
，
再说一遍？2y1？1，x2？2y2？1.那么
x1?x2?2(y1?y2)?2?18x1?x2?4y1?y2?2(y1?y2)?1?1．
因为acb？90?，那你呢？cb？022，即
，
（t？x1）（t？x2）？（2t？y1）（2t？y2）？0是
t?(x1?x2)t?x1?x2?4t?2(y1?y2)t?y1?y2?0，
四百二十二
即
T14吨？16吨？3.042，
即
（t？4t？3）（t？4t？1）？0．
22显然t2?4t?1?0，否则t2?2?2t?1?0，则点c在直线x?2y?1?0上，从而点c与点a 或点b重合．所以t2?4t?3?0，解得t1??1,t2??3．
因此，点C的坐标为（1，±2）或（9，±6）
200?n400?5n8．15.提示：an?c
n200？33? 26．
200?n400?5n,36要使an(1?n?95)为整数，必有
都是整数，所以6 | n？4．
200?n3当n?2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，以an为整数，共有14个．
什么时候？86和
400?5n6均为非负整数，所
什么时候，A86？C
86?320218?2?5，在c
86200? 200! 86!? 114! 中等，200！2中的因子数为
，
86200? 200?? 200?? 200?? 200?? 200?? 200?? 200 2.3.4.5.6.7.1972??? 2.2.2.2.2.2.同样地，它可以计算为86！中因子2的数目是82114！中间因子2的个数是110，所以当n？82? 110? 五分之二
，故a86是整数．
92? 92岁，92岁？C
320216210，在c
8620222200? 200! 92!? 108! 在中，92也可以获得！2中的因子数为
88105488,108!中因数2的个数为105,故c中因数2的个数为197，故a92不是整数．
因此，整数项的数量是14？1.15.9. 因为
f(a)?f(?b?1b?2)，所以
B1b？2.1)|?| lg（？b | lg（a？1）|？|lg（？1b？2）|？|lg（b？2）|
b?2所以a?1?b?2或(a?1)(b?2)?1，又因为a又由f(a)?|lg(a?1)|有意义知0?于是
那是一个？1.
，所以(a?1)(b?2)?1．
A.1，那么0？A.1.B1.B20? A.1.1.B2．
10b?2所以
（10a？6b？21）？1.10（a？1）？6（b？2）？6（b？2）？？1．
从而。