高中数学苏教版必修三教学案：第3章3.2古典概型含答案

甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们商定：两颗骰子掷出去，假如向上的两个数的和是5，那么甲获胜，假如向上的两个数的和是7，那么乙获胜．
问题 1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？
提示：会出现 (1 ， 4) ， (4 ， 1)(2 ， 3) ， (3 ， 2) 四种可能．
问题 2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又怎样？
提示：会出现 (1 ，6) ，(6 ，1) ，(2 ，5，) ，(5 ，2)，(3 ，4) ，(4 ，3) 六种可能．
问题 3：这样的游戏公正吗？
提示：由问题1、 2 知甲获胜的时机比乙获胜的时机少，不公正．
问题 4：可否求出甲、乙两人获胜的概率？
提示：能够．
1．基本领件与等可能事件
(1)基本领件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．
(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本领件发生的可能性都同样，则称这些基本领件
为等可能基本领件．
2．古典概型
(1)古典概型的特色：①有限性：所有的基本领件
只有有限个；②等可能性：每个基本领件的发生都
是等可能的．
(2)古典概型的定义：将知足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
(3)古典概型概率的计算公式：
1假如一次试验的等可能基本领件共有n 个，那么每一个等可能基本领件发生的概率都是n；
m
假如某个事件A包含了此中m个等可能基本领件，那么事件 A 发生的概率为P( A)＝n．事件 A包含的基本领件数
即P(A)＝.
试验的基本领件总数
1．一个试验能否为古典概型，在于这个试验能否拥有古典概型的两个特色，即有限性和等
可能性，其实不是所有的试验都是古典概型，比如在适合的条件下“种下一粒种子察看它能否发
芽”，这个试验的基本领件有两个：“抽芽”、“不抽芽”，而“抽芽”与“不抽芽”这两种结
果出现的时机一般是不均等的，故此试验不切合古典概型的等可能性．
m m m 2．古典概型的概率公式P( A)＝n与事件 A 发生的频次n有实质的差别，此中P( A)＝n是一个定值，且对同一试验的同一事件m、n 均为定值，而频次中的m、n 均随试验次数的变化而变化，
但跟着试验次数的增添频次总靠近于P(A)．
[ 例 1]将一颗骰子先后扔掷两次，求：
(1)一共有几个基本领件？
(2)“出现点数之和大于 8”包含几个基本领件？
[ 思路点拨 ]求基本领件的个数可用列举法、列表法、树形图法．
[ 精解详析 ]法一：(列举法)：
(1) 用 ( x，y) 表示结果，此中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
(1，1) ， (1，2) ，(1 ，3) ，(1 ，4) ，(1 ，5) ，(1 ，6) ，
(2，1) ， (2，2) ，(2 ，3) ，(2 ，4) ，(2 ，5) ，(2 ，6) ，
(3，1) ， (3，2) ，(3 ，3) ，(3 ，4) ，(3 ，5) ，(3 ，6) ，
(4，1) ， (4，2) ，(4 ，3) ，(4 ，4) ，(4 ，5) ，(4 ，6) ，
(5，1) ， (5，2) ，(5 ，3) ，(5 ，4) ，(5 ，5) ，(5 ，6) ，
(6，1) ， (6，2) ，(6 ，3) ，(6 ，4) ，(6 ，5) ，(6 ，6) ．
共 36 个基本领件．
(2)“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本领件：
(3，6) ， (4，5) ，(4 ，6) ，(5 ，4) ，(5 ，5) ，(5 ，6) ， (6 ，3) ，(6 ，4) ，(6 ，5) ，(6 ，6) ．法二： (列表法 )：
以下图，坐标平面内的数表示相应两次扔掷后出现的点数的和，基本领件与所描点一一对
应．
(1) 由图知，基本领件总数为36.
(2)总数之和大于 8 包含 10 个基本领件 ( 已用虚线圈出 ) ．法
三： ( 树形图法 ) ：
一颗骰子先后扔掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．以下图：
(1)由图知，共 36 个基本领件．
(2)点数之和大于 8 包含 10 个基本领件 ( 已用对勾标出 ) ．
[一点通]
基本领件个数的计算方法有：
(1)列举法：
列举法也称列举法．关于一些情境比较简单，基本领件个数不是好多的概率问题，计算时只
需一一列举，即可得出随机事件所含的基本领件．注意列举时一定按必定次序，做到不重不漏．
(2)列表法：
关于试验结果不是太多的状况，能够采纳列表法．往常把对问题的思虑剖析归纳为“有序实
数对”，以便更直接地找出基本领件个数．列表法的长处是正确、全面、不易遗漏，此中最常用
的方法是坐标系法．
(3)树形图法：
树形图法是进队列举的一种常用方法，合适较复杂问题中基本领件数的求解．
1．本例中条件变成“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不一样结果？
解：画树形图
共8种．
2．一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球．
(1)共有多少种不一样的结果 ( 基本领件 )?
(2)摸出 2 个黑球有多少种不一样结果？
解： (1) 共有 6 种不一样结果，分别为{ 黑 1，黑 2} ，{ 黑 1，黑 3} ，{ 黑 2，黑 3} ，{ 白，黑 1} ，{ 白，黑 2} ，{ 白，黑 3} ．
(2) 从上边所有结果中可看出摸出 2 个黑球的结果有 3 种 .
[ 例 2] (12 分 ) 同时扔掷两个骰子，计算以下事件的概率：(1) 事件A：两个骰子点数相同； (2) 事件B：两个骰子点数之和为8； (3) 事件C：两个骰子点数之和为奇数．
[ 思路点拨 ]先判断这个试验能否为古典概型，而后用列举法求出所有基本领件总数及所求
m
事件包含的基本领件的个数，最后用公式P( A)＝n求结果．
[ 精解详析 ](1) 将两个骰子标上记号，，将，骰子的点数记为 (，) ，则共有36 种
A B A B x y
等可能的结果．以下
(1，1) ， (1，2) ，(1 ，3) ，(1 ，4) ，(1 ，5) ，(1 ，6) ，
(2，1) ， (2，2) ，(2 ，3) ，(2 ，4) ，(2 ，5) ，(2 ，6) ，
(3，1) ， (3，2) ，(3 ，3) ，(3 ，4) ，(3 ，5) ，(3 ，6) ，
(4，1) ， (4，2) ，(4 ，3) ，(4 ，4) ，(4 ，5) ，(4 ，6) ，
(5，1) ， (5，2) ，(5 ，3) ，(5 ，4) ，(5 ，5) ，(5 ，6) ，
(6，1) ， (6，2) ，(6 ，3) ，(6 ，4) ，(6 ，5) ，(6 ，6) ． ?(3 分)
出现点数同样的结果有(1 ， 1)(2 ， 2)(3 ，3)(4 ， 4)(5 ， 5)(6 ， 6) 共 6 种．
6 1
∴P( A)＝36＝6. ?(6分)
(2) 出现点数之和为8 的结果有 (2 ， 6)(3 ， 5)(4 ，4)(5 ， 3)(6 ， 2) 共 5 种，
5
∴P( B)＝36. ?(9分)
(3) 出现点数之和为奇数包含“x 是奇数、 y 是偶数”和“ x 是偶数、 y 是奇数”，共有18种，
18 1
∴P( C)＝36＝2. ?(12分)
[一点通]
求古典概型概率的步骤：
(1)用列举法求出基本领件总个数n.
(2)用列举法求失事件 A 包含的基本领件的个数 m.
事件 A包含的基本领件数m
(3)利用公式 P( A)＝试验的基本领件总数＝n求失事件A的概率．
3．先后从分别标有数字1，2， 3， 4 的 4 个大小、形状完整同样的球中，有放回地随机抽取
2 个球，则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率为 ________．
分析：基本领件共有4×4＝ 16( 个 ) ，此中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的状况有： (1 ，
1) 、(1，2) 、(1 ，3) 、(1， 4)、(2 ，1)、(2 ，2) 、(2 ，3)、 (3，1) 、(3，2) 、(4，1) ，共 10 种，
因此所求概率为10＝5.
16 8
5
答案：8
4．将一颗骰子先后扔掷 2 次，察看向上的点数，问：
(1)两数之积是奇数的概率是多少？
(2)两数之积是 3 的倍数的概率是多少？
解：每次抛出的点数都可能有1， 2，3， 4， 5，6 这 6 种结果，两次点数之积的不一样结果如下表所示共有36种.
123456
1123456 224681012 3369121518 44812162024 551015202530 661218243036
(1) 设事件
A 表示“两数之积是奇数”，则事件
A
包含的不一样结果的个数
为9，因此( ) ＝9
P A36
1
＝.
4
(2) 设事件B表示“两数之积是 3 的倍数”，则事件B包含的不一样结果的个数为20，因此P( B)
20 5
＝36＝9.
1．解决古典概型问题的重点是：分清基本领件总数n 与事件 A所包含基本领件的个数m，注意问题：
(1)试验基本结果能否有等可能性．
(2)本试验的基本领件有多少个．
(3)事件 A 包含哪些基本领件．
只有弄清这三个方面的问题解题才不致于犯错．
2．求基本领件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按必定次序，防备重复和遗
漏；二是可先数一部分，找出规律，推断所有．
课下能力提高( 十六 )
一、填空题
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．
分析：此题中基本领件有( 甲，乙 ) ， ( 甲，丙 ) ，( 乙，丙 ) 共三个，此中甲被选中包含两个基
2
2
答案：
3
2．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在会合A＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正幸亏直线y＝ x 上的概率为________．
分析：由 x， y∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，
2) ， (2 ， 0) ， (2 ， 1) ， (2 ， 2)9 个，此中知足在直线y＝x上的点 ( x，y) 有 (0 ， 0) ，(1 ， 1) ，(2 ，
3 1
2)3 个，因此所求概率为P＝9＝3.
1
答案：
3
3．从 {1 ， 2， 3， 4， 5} 中随机选用一个数为a，从{1，2，3}中随机选用一个数为b，则 b>a 的概率是 ________．
分析：随机选用的 a，b 构成实数对( a， b)，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，
(2 ，3) ， (3 ， 1) ，(3 ，2) ， (3 ， 3) ，(4 ，1) ， (4 ， 2) ，(4 ，3) ， (5 ， 1) ，(5 ，2) ，(5 ， 3) ，共 15
3 1
种．此中 b>a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，因此 b>a 的概率为15＝5.
1
答案：5
4．从长度分别为2， 3，4，5 的四条线段中随意拿出三条，则以这三条线段为边能够构成三角形的概率是________．
分析：从四条线段中任取三条有 4 种取法： (2 ，3，4) ，(2 ，3，5) ，(2 ，4，5) ，(3 ，4，5) ．其
3中能构成三角形的取法有 3 种： (2 ，3， 4) ，(2 ， 4， 5) ， (3 ， 4， 5) ，故所求概率为4.
3
答案：4
5．盒子里共有大小同样的 3 只白球、 1 只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不一样的概率是 ________．
分析：从 3 只白球、 1只黑球中随机摸出两只小球，基本领件有 ( 白，白)，(白，白)，(白
1213
，白 )，(白，黑)，(白，黑)，(白，黑 ) ，此中颜色不一样的有三种，故所求概率
为
1
P＝2.
23123
1
答案：
2
高中数学苏教版必修三教学案：第3章3.2古典概型含答案
二、解答题
6．从 3 台甲型电脑和 2 台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐备的概率．
解： 3 台甲型电脑为 1， 2，3， 2 台乙型电脑为
， ，则所有基本领件为： (1， 2) ，(1，3) ，
A B
(1， )，(1， )，(2，3)，(2， )，(2， )，(3， )，(3， )，( ， )，共 10 个. 记事件
C 为
A
B
A
B
A
B
A B
6
3
“一台为甲型，另一台为乙型”，则切合条件的事件为
6 个，因此 P ( C ) ＝10＝ 5.
7．设会合 ＝ { ，1}， ＝{ c ，1，2}， ? ，若
， ∈ {2 ， 3， 4，5， 6， 7，8， 9} ．
P b
Q P Q b c
(1) 求 b ＝ c 的概率；
(2) 求方程 x 2＋ bx ＋ c ＝ 0 有实根的概率．
解： (1) 由于 P ? Q ，当 b ＝ 2 时， c ＝ 3，4， 5， 6，7， 8， 9；当 b ＞ 2 时，
b ＝
c ＝ 3，4，5， 6，7，8， 9，基本领件总数为 14. 此中 b ＝ c 的事件数为 7 种，因此 b ＝ c 的
7 1
概率为： ＝ .
14 2
(2) 记“方程有实根”为事件 A ，若使方程有实根，则 ＝ b 2－ 4c ≥0，即 b ＝ c ＝4，5，6，7，
6 3
8，9 共 6 种. 因此 P ( A ) ＝14＝7.
8．对某项工程进行竞标，现共有
6 家公司参加竞标，此中
A 公司来自辽宁省，
B ，
C 两家企
业来自江苏省， D ， E ， F 三家公司来自山东省，此项工程需要两家公司结合施工，假定每家公司
中标的概率同样．
(1) 列举所有公司的中标状况；
(2) 在中标的公司中，起码有一家来自江苏省的概率是多少？
解： (1) 从这 6 家公司中选出
2 家的选法有 ( A ， B ) ，( A ，C ) ，( A ，D ) ，( A ，E ) ，( A ，F ) ，( B ，
C ) ，( B ，
D ) ，( B ，
E ) ，( B ，
F ) ，( C ，D )，( C ，E ) ，( C ，F ) ， ( D ，E ) ，( D ，F ) ，(E ，F ) ，共 15 种．
(2) 在中标的公司中，起码有一家来自江苏省的选法有
( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ，
( B ， E ) ， ( B ， F ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ，( C ， F ) ，共 9 种．因此， “在中标的公司中，起码有一家来
9
3
自江苏省”的概率为 15＝ 5.。