∥3套精选试卷∥2019年宜兴市某知名实验中学九年级上学期数学期末学业质量监测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=28º，则∠P 的度数是（ ）
A ．50º
B ．58º
C ．56º
D ．55º
【答案】C 【分析】利用切线长定理可得切线的性质的PA=PB ，CA PA ⊥，则PAB PBA ∠=∠，90CAP ∠=，再利用互余计算出62PAB ∠=，然后在根据三角形内角和计算出P ∠的度数．
【详解】解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，
∴PA=PB ，CA PA ⊥，90CAP ∠=
∴62PAB PBA ∠=∠=
在△ABP 中
180PAB PBA P ∠+∠+∠=
∴56P ∠=
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，熟练掌握切线长定理以及切线性质是解题的关键． 2．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①0ac >；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++>④当1x >时，y 随x 的增大而减小．不．
正确的说法有( )
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．②④
【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系逐个判断即可． 【详解】二次函数的图象的开口向下，与y 轴正半轴相交
0,0a c ∴<>
0ac ∴<，则①不正确
二次函数的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)
∴与x 轴的另一个交点为(1,0)-
∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，则②正确
二次函数的图象上，1x =所对应的点位于第一象限，即0y >
0a b c ∴++>，则③正确
由二次函数的图象可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则④正确
综上，不正确的说法只有①
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系，掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键．
3．如图，⊙O 中，点D ，A 分别在劣弧BC 和优弧BC 上，∠BDC=130°，则∠BOC=( )
A ．120°
B ．110°
C ．105°
D ．100°
【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D ，再利用圆周角定理即可得出．
【详解】解：∵四边形ABDC 为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
4．已知反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过点()2,2M -，则k 的值是（ ）
A ．4-
B ．1-
C ．1
D ．4
【答案】A 【分析】把()2,2M -代入反比例函数的解析式即可求解.
【详解】把()2,2M -代入k y x =得： k=-4 故选：A
【点睛】
本题考查的是求反比例函数的解析式，掌握反比例函数的图象和性质是关键.
5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )
A ．35
B ．43
C ．105
D ．34
【答案】D
【解析】如图，∠ABC 所在的直角三角形的对边AD=3，邻边BD=4，
所以，tan ∠ABC=
34
． 故选D ．
6．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（ ）
A ．1:3
B ．1:4
C ．1:6
D ．1:9
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，
∴它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
7．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝xcm ，宽BC ＝ycm ，把这张纸片沿一组对边AB 和D 的中点连线EF 对折，对折后所得矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似，则x ：y 的值为（ ）
A ．2
B 2
C ．255+
D ．2-12
【答案】B 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，
∴AD=BC=ycm ，
由折叠的性质得：AE=12AB=12
x ， ∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似， ∴AE AD AD AB =，即12x y y x
=， ∴x 2=2y 2，
∴2y ， ∴2x y
=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
8．某商务酒店客房有50间供客户居住．当每间房 每天定价为180元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为10890元?设房价定为x 元，根据题意，所列方程是( )
A ．()18020501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝
⎭ B ．()1805050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭ C ．1805050201089010x x -⎛⎫-
-⨯= ⎪⎝⎭ D ．()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭
【答案】D 【分析】设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】设房价定为x 元，根据题意，得()18020501089010x x -⎛
⎫--= ⎪⎝⎭
故选：D ．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 9．已知反比例函数2y x
=-，则下列结论正确的是（ ） A ．点(1，2)在它的图象上
B ．其图象分别位于第一、三象限
C ．y 随x 的增大而减小
D ．如果点()P m n ,在它的图象上，则点(),Q n m 也在它的图象上
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵20k =-<
∴图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大，选项A 、B 、C 错误；
∵点()P m n ,在函数的图象上，
∴mn 2=-
∵点(),Q n m 横纵坐标的乘积2nm mn ==-
∴则点(),Q n m 也在函数的图象上，选项D 正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键． 10．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∕∕，点,E F 分别是边,AD BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，2,1AE BF ==，则AOE ∆与BOF ∆的面积之比为（ ）
A ．12
B ．14
C ．2
D ．4
【答案】D
【分析】由AD ∥BC ，可得出△AOE ∽△FOB ，再利用相似三角形的性质即可得出△AOE 与△BOF 的面积之比．
【详解】：∵AD ∥BC ，
∴∠OAE=∠OFB ，∠OEA=∠OBF ，
∴~AOE FOB ∆∆， ∴所以相似比为2AE BF
=， ∴224BOF
AOE S S ∆∆==． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 11．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且点B 的坐标为（6，4），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14
，那么点B′的坐标是（ ）
A ．（3，2）
B ．（－2，－3）
C ．（2，3）或（－2，－3）
D ．（3，2）或（－3，－2）
【答案】D 【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的
14
， ∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B 的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
12．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数和常数项依次是( )
A ．-1和1
B ．1和1
C ．2和1
D ．0和1 【答案】A
【分析】找出2x 2-x+1的一次项-x 、和常数项+1，再确定一次项的系数即可．
【详解】2x 2-x+1的一次项是-x ，系数是-1，常数项是1．
故选A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB =∠________．
【答案】70°
【分析】根据CB =CD ，得到30CAB CAD ∠=∠=︒，根据同弧所对的圆周角相等即可得到
50ABD ACD ∠=∠=︒，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】∵CB =CD ，
∴30CAB CAD ∠=∠=︒，
∴60BAD ∠=︒，
∵50ABD ACD ∠=∠=︒，
∴18070ADB BAD ABD ∠=︒-∠-∠=︒．
故答案为70.︒
【点睛】
考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
14．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD 的高度AH 为3.4m.当起重臂AC 长度为9m ，张角∠HAC 为118°时，操作平台C 离地面的高度为_______米.
（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【答案】7.6
【分析】作CE BD ⊥于E ，AF CE ⊥于F ，如图2，易得四边形AHEF 为矩形，则 3.4EF AH m ==，90HAF ∠=︒，再计算出28CAF ∠=︒，在Rt ACF 中利用正弦可计算出CF ，然后计算CE 即可．
【详解】解：作CE BD ⊥于E ，AF CE ⊥于F ，如图2，
∴四边形AHEF 为矩形，
∴ 3.4EF AH m ==，90HAF ∠=︒，
∴1189028CAF CAH HAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴在Rt ACF 中，sin sin 280.479CF CF CAF AC ∠=︒=
=≈， ∴90.47 4.23CF =⨯=，
∴ 4.23 3.47.6CE CF EF m =+=+≈，
∴操作平台C 离地面的高度为7.6m ．
故答案是：7.6．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用三角函数的定义进行几何计算．
15．甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 ．
【答案】23
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况，
∴甲、乙二人相邻的概率是：4263
=. 16．如图，把Rt OAB △置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(3,0)，点P 是Rt OAB △内切圆的圆心．将Rt OAB △沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt OAB △内切圆的圆心2019P 的坐标是________．
【答案】(8077,1)
【分析】由勾股定理得出AB225
+=
OA OB，求出Rt△OAB内切圆的半径＝1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3＋5＋4＋1，1），得出规律：每滚动3次为一个循环，由2019÷3＝673，即可得出结果．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB225
+=
OA OB，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝345
1
2
+-
=，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故答案为：（8077，1）．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标类规律探索等知识；根据题意得出规律是解题的关键．17．已知二次函数y＝ax1+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(1，y1)，则y1_____y1．(填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】>
【分析】根据二次函数y＝ax1+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(1，y1)和二次函数的性质可以判断y1和y1的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝ax1+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵该函数经过点(﹣1，y1)，(1，y1)，|﹣1﹣1|＝1，|1﹣1|＝1，
∴y1＞y1，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x=______.
【答案】1
【分析】根据用频率估计概率即可求出摸到白球的概率，然后利用概率公式列出方程即可求出x的值．【详解】解：∵经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右
∴摸到白球的概率为0.95
∴
3
0.95 13
x
x
+
=
++
解得：x=1
经检验：x=1是原方程的解．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是用频率估计概率和根据概率求数量问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图1，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
求：（1）若鸡场面积150平方米，鸡场的长和宽各为多少米？
（2）鸡场面积可能达到200平方米吗？
（3）如图2，若在鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏，则鸡场最大面积可达多少平方米？
【答案】（1）长为15米，宽为10米；（2）不可能达到200平方米；（3）1225 12
【分析】（1）若鸡场面积150平方米，求鸡场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长或宽，并注意去掉门的宽度；
（2）求二次函数的最值问题，列出面积的关系式化为顶点式，确定函数最大值与200的大小关系，即可得到答案；
（3）此题中首先设出鸡场的面积和宽，列函数式时要注意墙宽有三条道，所以鸡场的长要用篱笆的周长减去3个宽再加上大门的宽2米，再求函数式的最大值． 【详解】（1）设宽为x 米，则：x （33﹣2x+2）＝150， 解得：x 1＝10，x 2＝
15
2
（不合题意舍去）， ∴长为15米，宽为10米；
（2）设面积为w 平方米，则：W ＝x （33﹣2x+2），
变形为： 2351225
2()48
W x =--
+， ∴鸡场面积最大值为1225
8=15318
＜200，即不可能达到200平方米； （3）设此时面积为Q 平方米，宽为x 米，则：Q ＝x （33﹣3x+2），
变形得：Q ＝﹣3（x -356）2+ 122512， ∴此时鸡场面积最大值为1225
12
．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数最大值的确定方法，正确理解题意列得方程及二次函数关系式是解题的关键.
20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，G 是AC 上一动点，AG ，DC 的延长线交于点F ，连接AC ，AD ，GC ，GD ．
（1）求证：∠FGC ＝∠AGD ； （2）若AD ＝1．
①当AC ⊥DG ，CG ＝2时，求sin ∠ADG ； ②当四边形ADCG 面积最大时，求CF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①sin ∠ADG ＝
4
5
；②CF ＝1． 【分析】（1）由垂径定理可得CE ＝DE ，CD ⊥AB ，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC ＝∠ADC ＝∠ACD ＝∠AGD ；
（2）①如图，设AC 与GD 交于点M ，证△GMC ∽△AMD ，设CM ＝x ，则DM ＝3x ，在Rt △AMD 中，通
过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；
②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是AC上一动点，所以当点G在AC的中点时，△ACG的的底边AC 上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝1．
【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，CD⊥AB，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠ADC＝∠FGC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）①如图，设AC与GD交于点M，
∵AG AG
，
∴∠GCM＝∠ADM，
又∵∠GMC＝∠AMD，
∴△GMC∽△AMD，
∴GC
AD
＝
CM
DM
＝
2
6
＝
1
3
，
设CM＝x，则DM＝3x，
由（1）知，AC＝AD，
∴AC＝1，AM＝1﹣x，
在Rt△AMD中，
AM2+DM2＝AD2，
∴（1﹣x）2+（3x）2＝12，
解得，x1＝0（舍去），x2＝6
5
，
∴AM＝1﹣6
5
＝
24
5
，
∴sin∠ADG＝AM
AD
＝
24
5
6
＝
4
5
；
②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，∵点G是AC上一动点，
∴当点G在AC的中点时，△ACG的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，∴GA＝GC，
∴∠GAC＝∠GCA，
∵∠GCD＝∠F+∠FGC，
由（1）知，∠FGC＝∠ACD，且∠GCD＝∠ACD+∠GCA，
∴∠F＝∠GCA，
∴∠F＝∠GAC，
∴FC＝AC＝1．
【点睛】
本题考查的是圆的有关性质、垂径定理、解直角三角形等，熟练掌握圆的有关性质并灵活运用是解题的关键．
21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．
⑴求证：BE是⊙O的切线；
⑵若BC3AC=5，求圆的直径AD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）1
【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；
（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．
【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M
∵BC=BD，
∴∠CAB=∠BAD.
∵OA=OB,
∴∠BAD=∠OBA.
∴∠CAB=∠OBA.
∴OB∥AC.
又AD是直径,
∴∠ABD=∠ACD =90°，
又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.
∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.
又OB是半径,
∴BE是⊙O的切线．
⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.
∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD
设⊙O的半径为r，则
在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;
在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=3.
∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).
∴圆的直径AD的长是1．
【点睛】
此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．22．如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC, E为AD的中点,连接BD,BE，∠ABD=90°
（1）求证：四边形BCDE为菱形.
（2）连接AC,若AC⊥BE, BC=2,求BD的长.
【答案】（1）见解析；（2）23
【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）连接AC，可证AB=BC，由勾股定理可求出BD=23．
【详解】（1）证明：∵∠ABD=90°，E是AD的中点，
∴BE=DE=AE，
∵AD=2BC，
∴BC=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，如图，
∵由（1）得BC=BE，AD∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵ AC⊥BE，
∴四边形ABCE为菱形，
∴BC=AB=2，AD=2BC=4，
∵∠ABD=90°，
∴BD=22
4-2=23.
AD-AB=22
【点睛】
本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法
23．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）求证：∠BCD=∠CBD；
（2）若BE=4，AC=6，求DE 的长． 【答案】 (1)详见解析；（1）1.
【分析】（1）根据OD ⊥BC 于E 可知BD CD =，所以BD=CD ，故可得出结论；
（1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再OD ⊥BC 于E 可知OD ∥AC ，由于点O 是AB 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线，故1
2
OE AC =,在Rt △OBE 中根据勾股定理可求出OB 的长，故可得出DE 的长，进而得出结论．
【详解】解：（1）∵OD ⊥BC 于E ， ∴BD CD =， ∴BD=CD ， ∴∠BCD=∠CBD ； （1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OD ⊥BC 于E ， ∴OD ∥AC ，
∵点O 是AB 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线，
11
6322
OE AC ∴=
=⨯= 在Rt △OBE 中， ∵BE=4，OE=3，
5OB ∴===，即OD=OB=5，
∴DE=OD-OE=5-3=1．
24．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）CM=EM ，CM ⊥EM ；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）延长EM 交AD 于H ，证明△FME ≌△AMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM ，CM ⊥EM ．
理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ， ∴BC ∥EF ， ∴∠EFM=∠HBM ， 在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠∠⎧⎪
⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△FME ≌△BMH ， ∴HM=EM ，EF=BH ， ∵CD=BC ，
∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ， ∴CM=ME ，CM ⊥EM ． （2）如图2，连接AE ，
∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B 、E 、D 在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点， ∴CM=
12AF ，EM=1
2
AF ， ∴CM=ME ， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFC=135°， ∵CM=FM=ME ，
∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ， ∴∠MCF+∠MEF=135°， ∴∠CME=360°-135°-135°=90°， ∴CM ⊥ME ．
（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，
在△EDM 和△GDM 中，
DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△EDM ≌△GDM ， ∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ， ∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ， ∴GN=NC ，又MN ⊥CD ， ∴MC=MG ，
∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ， ∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°， ∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立． 【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A 处观测得某建筑物顶点O 时俯角为30°，继续水平前行10米到达B 处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）
【答案】40﹣53
【分析】过O 点作OC ⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C ，设OC =BC =x ，则AC =10+x ，利用正切值的定义列出x 的方程，求出x 的值，进而求出楼的高度． 【详解】过O 点作OC ⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C ，
根据题意可知，∠OAC =30°，∠OBC =45°，AB =10米，AD =45米， 在Rt △BCO 中，∠OBC =45°， ∴BC =OC ，
设OC =BC =x ，则AC =10+x ， 在Rt △ACO 中，
3
tan 3010OC x AC x ︒=
==
+， 解得：x =3，
则这栋楼的高度455354053h AD CO ===﹣﹣﹣米)． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角的问题以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形．
26．某商城某专卖店销售每件成本为40元的商品，从销售情况中随机抽取一些情况制成统计表如下：（假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律）
（1）观察这些数据，找出每天售出件数y 与每件售价x （元）之间的函数关系，并写出该函数关系式； （2）该店原有两名营业员，但当每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业，设营业员每人每天工资为40元，求每件产品定价多少元，才能使纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其他开支不计）．
【答案】（1）y =-6x +600；（2）每件产品定价72元，才能使纯利润最大，纯利润最大为5296元． 【分析】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y 与每件售价x （元）之间的函数关系为一次函数，设y ＝kx ＋b ，解出k 、b 即可求出；
（2）由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y 与每件售价x （元）之间的函数关系为一次函数， 设y ＝kx ＋b ，经过（50，300）、（60，240），
3005024060k b
k b =+⎧⎨
=+⎩
， 解得k ＝−6，b ＝600， 故y ＝−6x ＋600；
（2）①设每件产品应定价x 元，由题意列出函数关系式 W ＝（x−40）×（−6x ＋600）−3×40 ＝−6x 2＋840x−24000−120 ＝−6（x 2−140x ＋4020） ＝−6（x−70）2＋1．
②当y ＝168时x ＝72，这时只需要两名员工， W ＝（72−40）×168−80＝5296＞1．
故当每件产品应定价72元，才能使每天门市部纯利润最大． 【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
27．知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．中国北斗导航已经全球组网，它已经走进了人们的日常生活．如图，某校周末组织学生利用导航到某地(用A 表示)开展社会实
践活动，车辆到达B 地后，发现A 地恰好在B 地的正北方向，且距离B 地8千米．导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至C 地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离才能到达A 地．求A C 、两地间的距离(结果精确到0.1千米)．(参考数据：
2 1.414
3 1.732≈≈，)
【答案】7.2千米
【解析】设AC x =千米，过点C 作CD AB ⊥，可得22AD CD x ==，220.408603
x CD BD x tan ==≈︒根据AB AD BD =+，列方程求解即可．
【详解】解：设AC x =千米，过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D
在Rt CDA ∆中，2450.707CAD AD CD x x ∠=︒==≈， 在Rt CDB ∆中，60CBD ∠=︒ ，220.408603
x CD BD x tan ==≈︒ ∵8AB AD BD =+=
∴0.7070.4088x x +=
∴7.2x ≈
答：A C 、两地间的距离约为7.2千米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形应用和特殊三角函数..熟练掌握特殊三角函数值是解决问题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．对于一个圆柱的三种视图，小明同学求出其中两种视图的面积分别为6和10，则该圆柱第三种视图的面积为（ ）
A ．6
B ．10
C ．4
D ．6或10
【答案】D
【分析】一个圆柱的三视图是圆和长方形,所以另外一种视图也是同样的长方形.
【详解】一个圆柱的三视图是圆和长方形,所以另外一种视图也是同样的长方形,如果视图是长方形的面积是6,另外一种视图的面积也是6,如果视图是长方形的面积是10,另外一种视图的面积也是10.
故选：D
【点睛】
考核知识点：三视图.理解圆柱体三视图特点是关键.
2．如图，点O 是△ABC 内一点、分别连接OA 、OB 、OC 并延长到点D 、E 、F ，使AD ＝2OA ，BE ＝2OB ，CF ＝2OC ，连接DE ，EF ，FD ．若△ABC 的面积是3，则阴影部分的面积是（ ）
A ．6
B ．15
C ．24
D ．27
【答案】C 【解析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC ∽△DEF ，再由相似三角形的性质即可得到结果．
【详解】∵AD ＝2OA ，BE ＝2OB ，CF ＝2OC ， ∴OA OD ＝OB OE ＝OC OF ＝13
， ∴△ABC ∽△DEF ， ∴ABC DEF S S ∆∆＝21()3＝19
， ∵△ABC 的面积是3，
∴S △DEF ＝27，
∴S 阴影＝S △DEF ﹣S △ABC ＝1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．如图所示，半径为3的⊙A 经过原点O 和C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上的一点，则tan B =（ ）
A ．2
B ．22
C ．24
D ．223
【答案】C 【分析】根据题意连接CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠D ，根据圆周角定理得到∠B=∠D ，等量代换即可．
【详解】解：连接CD （圆周角定理CD 过圆心A ），
在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，
则OD=2242CD OC -=，
tan ∠D=24
OC OD =， 由圆周角定理得∠B=∠D ，
则tan ∠B=
24
， 故选：C ．
【点睛】
本题考查圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )
A ．()2,3
B ．()3,2
C ．()3,3
D ．()
3,3 【答案】D 【分析】过点E 作EF x ⊥轴于点F ，由直角三角形的性质求出EF 长和OF 长即可．
【详解】解：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，
∵四边形OABC 为菱形，60AOC ∠=，
∴1302
AOE AOC ∠=∠=，OB ⊥AC ，60FAE ∠=， ∵()4,0A ，∴4OA =，
∴114222
AE AO =
=⨯=， ∴112AF AE ==，2222213EF AE AF =-=-=， ∴413OF AO AF =-=-=，
∴()
3,3E ．
故选D ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A=22°，则∠BDC 等于
A ．44°
B ．60°
C ．67°
D ．77°
【答案】C 【解析】分析：△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°－∠A=68°．
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC ，
∴∠ADE=∠CED ﹣∠A=46°．
∴180ADE BDC 672
︒-∠∠==︒．
故选C ．
6．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向下
B ．当x=-1,时，y 有最大值是2
C ．对称轴是x=-1
D ．顶点坐标是（1,2）
【答案】D
【解析】根据二次函数的性质对各选项进行判断.
【详解】A 、由二次函数的解析式y ＝（x ＋1）2＋2，可知系数＞1，故函数图像开口向上.故A 项错误；B 、将x ＝﹣1代入解析式，得到y ＝6，故B 项错误；C 、由二次函数的顶点式y ＝（x ＋1）2＋2可知对称轴为x ＝1，故C 项错误；D 、函数的顶点式y ＝（x ＋1）2＋2可知该函数的顶点坐标是（1,2），故D 项正确.故选D.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，理解二次函数的顶点式是解答此题的关键.
7．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C ．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 8．下列各式运算正确的是（ ）
A ．235a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．()326ab ab =
D ．1055a a a ÷=
【答案】D
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 23,a a 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B. 235a a a ⋅=，故该选项错误；
C. ()3236ab a b =，故该选项错误；
D. 1055a a a ÷=，故该选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握同底数幂的乘除法和积的乘方的运算法则是解题的关键． 9．若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为（ ） A ．直线x=1
B ．直线x=﹣2
C ．直线x=﹣1
D ．直线x=﹣4 【答案】C
【解析】∵一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a ． ∴抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为直线b x 12a
=-=-．故选C ． 10．为了解我县目前九年级学生对中考体育的重视程度，从全县5千多名九年级的学生中抽取200名学生作为样本，对其进行中考体育项目的测试，200名学生的体育平均成绩为40分则我县目前九年级学生中考体育水平大概在（ ）
A ．40分
B ．200分
C ．5000
D ．以上都有可能 【答案】A
【分析】平均数可以反映一组数据的一般情况、和平均水平，样本的平均数即可估算出总体的平均水平．
【详解】∵200名学生的体育平均成绩为40分，
∴我县目前九年级学生中考体育水平大概在40分，
故选：A ．
【点睛】
本题考查用样本平均数估计总体的平均数，平均数是描述数据集中位置的一个统计量，既可以用它来反映一组数据的一般情况、和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别． 11．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．180° 【答案】C
【详解】解:设母线长为R ，底面半径为r ，可得底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=
12lr=πrR ， 根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得3πr 2=πrR ，即R=3r.
根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，设圆心角为n ，有2180
n R r ππ=，。