3.5 直线和圆的位置关系(3)切线长定理--

1、观察下图中哪些线段的长是切线长？ 已知：AB、BC、AC切圆0于点D、E、F
点A到圆的切线长是
点B到圆的切线长是
A
点C到圆的切线长是
2、猜想：AD与
AF；BD与BE；
D
CE与CF的关系？ B
为什么？
F C
E
挑战自我
• 1.已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切
线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?
A 镇 商 业 区D
.M F
CE
B
镇工业区
如图：从⊙O外的定点P作⊙O 的两条切线，分别切⊙O于点A和B，
P
在弧AB上任取一点C，过 点C作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点D、E。
DA
C
O
EB
试证：⑴ △PDE的周长是定值; PA+PB ⑵ ∠DOE的大小是定值. ∠AOB
2
若∠P=40°，你能说出∠DOE的度数吗？
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
定理：圆的外切四边形的两组对边和相等。
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系 圆的外切四边形：边的关系
练习、已知圆外切四边形 ABCD中，AB：BC：CD=4： 3：2，它的周长为24cm。则
AB= 8cm ，BC= 6cm ；
九年级数学(下)第三章 圆
5.直线和圆的位置关系(3)切线长定理
什么叫圆的切线？如何判定一条直线是 圆的切线？
(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线; (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; (3)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
切线有什么性质？
(1)切线和圆只有一个公共点；
作法：连接OP，以OP为直径
A
画圆交⊙O于点A,B.
作直线PA、PB
●O
●P
则直线PA,PB为所求的切线.
B
经过圆外一点可以有两条直线与圆相切
1、什么叫做点到圆的切线长？
在经过圆外一点的圆的切线上，这点
于切点之间的线段的长度，叫做这点 到圆的切线长。
B
注意：切线与
P
切线长的区别
O
是什么？
C
区别：切线是直线，不可以度量；切线长是指 切线上的一条线段的长，可以度量。
2、记住圆外切四边形的性质，并比较圆内接四边形
3、希望同学们在以后的学习中要勇于探索和实践，养成科 学的学习态度。同时还要注意总结作辅助线的方法，和解题 时要注意运用“数形结合”的思想方法。
A
O
p
B
我们学过的切线，常有 七五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
r 4.
B
5
A
D
F
O
●
┓
E
C
2.已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别
为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
r 2S . S 1 ra b c.
abc
2
思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角
地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知 雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC， BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M 离道路三边的距离有多远？
测 3、已知：如图，P为⊙ O外一点，
PA、PB 为⊙ O 的切线，A和B是切 点，BC是直径 求证：AC∥OP
证明：连结AB
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
∴OP⊥AB
P
又∵BC为⊙O的直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP
A O
B
A
C
O
B
4、已知⊙O 的半径是 5cm，P 为⊙O 外一点，
F y By
Zcm
x+y=13
O
E 依题意得方程组 y+z=14 z
x+z=9
Dz
C
X=4
解得:
x+y=13
Y=9
y+z=14
Z=5
x+z=9 AF、BD、CE的长分别是4cm、9cm、5cm。
Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
8
68
如图，四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和 ⊙O分别相切于L，M，N，P。
（1）图中有几对相等的线段？
（2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
D
∵L，AMB，，BNC，，P是CD切，点D，A都与⊙O相切，P
∴AL=AP，LB=MB，
N C
M O
DN=DP，NC=MC
A
∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
。
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
Байду номын сангаас
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理 从圆外一点引圆的 两条切线,它们的切线长相等,圆心 和这点的连线平分两条切线的夹角.
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 7、如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段 是直径。
（3）、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等。（ √ ）
（4）、圆外一点和圆心的连线平分从这点引出的圆的 两条切线的夹角（ √ ） （5）、圆的外切四边形的两组对边的和相等。（ √）
（6）、已知⊙o半径4cm,点p和圆心o 的距离8cm,则过p点的⊙o的两条切线 的夹角—60—0 。
（点和7）切—、点—过的圆之外间一的点线—的段—圆的的长切，线叫上做，这这点 到圆的切线的长。

⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半 圆为1：2两部分，求AE、BF的长。 若以BF、BA所在的直线分别为x 轴、y轴，B为原点，请求出EF所 在直线的函数解析式。
y AE
O C
BF
x
达标测试：
1、 （1）、圆的切线长就是切线的长度。（ × ）
（2）、过任一点总可以作圆的两条切线。（ × ）
PA、PB 为⊙O 的切线，A、B 是切点，且
∠APB=900，则 PA=_5__,PO=5___2，AB=5___2。
A
p O
B
通过这节课的学习，你有什么收获或体会？
1、切线长与切线的区别。 2、切线长定理。 3、记住例1中的一些结论。
小结
1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。学习了
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
CD= 4cm ，DA= 6cm 。 A
D C
O
B
如图：AE、BF分别切⊙O于A、 B，且AE∥BF，EF切⊙O于C。
y AE
试证：⑴ AB是⊙O的直径 ⑵ OE⊥OF ⑶ OC是AE、BF的比例中项
O C
BF
x
⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半圆为1：2两 部分，求AE、BF的长。
若以BF、BA所在的直线分别为x轴、y轴， B为原点，请求出EF所在直线的函数解析式。
B
Rt△OAP, Rt△OAP,Rt △ACO
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是Rt△ACP,Rt △BCO, Rt △BCP
等腰三角形有 2 个，分别是 △AOB, △APB
（3）图中全等三角形 3
△OAP≌ △OBP
对，分别是 △OCA≌ △OCB
△ACP≌ △BCP
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为 3 3
B
O.
P
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
2、如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。
探索:由切线长
B
定理可以得出
哪些结论？
O· C
P
A
三、综合练习
A
已知：如图PA、PB是⊙ O的两条切 线，A、B为切点。直线OP交⊙ O
E
OC D
P
于D、E，交AB于C。
（1）图中互相垂直的关系有 3 对， 分别是 OA PA,OB PB,OP AB
读一读P119 10
四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四条边都与一个圆 A 相切,这圆叫做四边形的内切圆. 这个四边形叫做圆的外切四边形.
B
D ●O
C
我们可以证明圆外切四边形的一个重要性质:
若已知圆的四条切线呢？
D
想一想
圆的外切四边形 具有什么性质？
圆的外切四边形的 两组对边的和相等。
例：等腰梯形各边都与 ⊙O相切， ⊙O的直径为 6cm，等腰梯形的腰等于 8cm，则梯形的面积为 _____。
并证明你的结论.
A
同时注意∠1、∠2
之间的关系。
O
1
2
p
B
2.由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论? 如果有,仍请你予以证明.
老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及 其推论.
1. 从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别 是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？ 并证明你所发现的结论。
A D
r abc. 2
O
●┗
F
┓
B
EC
A
c b
r.
r = a+b-c
2
C
B
a
练习：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为______。
斜△的三边长及面积与其内切圆半径间的关系
• 1.已知:如图,△ABC的面积 S=4cm,周长等于10cm.
• 求内切圆⊙O的半径r.
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3) 圆的切线垂直于经过切点的半径； (4) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (5) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
过圆上一点能作几条切线？过圆外一点呢？
做一做P118 6
切线判定定理的应用
已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?
（8）、如图，AB、AC为⊙O两切线， 切点分别为B、C，BC度数为1200， OA=7.5cm,则⊙O的直径长为—7.5—cm。
达
2、填空：已知⊙O的半径为 3cm，点P和圆心O的距离为6cm，
标 检
经过点P有⊙ O的两条切线，
则切线长为______cm。这两条 P 切线的夹角为__6_0__度。
半径OA的长为3cm
对于较复杂的图 形为了解题我们 可以用数形结合
的方法
若已知圆的三条切线呢？
练习、已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若 BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
A 解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则
x x AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=
cm，两切线的夹角等于 60 度
A
（5）如果PA=4cm，PD=2cm，
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
解：设OA= x cm，则PO= PD + OD
= (x+2) cm
B
在RtΔ OAP中，PA= 4cm，由勾股定理得
PA2 OA2 OP2
即：4 2 x 2 x 22
解得： x= 3cm