激光束传输与变换第三讲

激光束传输与变换第三讲
本讲内容
1.4 基模Gauss光束 1.5 Hermit-Gauss光束
激光束传输与变换第三讲
§1.4 基模Gauss光束
基模Gauss光束是波动方程的一个基模， 属于一种非均匀波，在许多方面它有点类 似于平面波。但是它的强度分布是不均匀 的，主要集中在传播轴附近，它的等相面 也不是平面，而略有弯曲。
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的发散角定义为：
lim b
z
arctg (z) z 0
(1.4.25)
在波长给定的情况下，基模Gauss光 束的发散角只与腰斑半径有关，因此可通
过改变0达到压缩光束发散角的目的。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
在中心轴上，振幅达到极大值；在轴 外，振幅随离中心距离的平方指数衰减。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的半径的定义方法： 1) 当振幅减小到极大值的e-1时，用=(z)
的来确基模Gauss光束光斑的大小。 2) 取振幅分布函数的拐点到中心轴的距离
A z
kA,
忽略2/z2项,可得:
k 2
A
z 2
z
2 x 2
2 y 2
i2k
z
0
(1.4.3)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
上式属于抛物型微分方程，它具有下 面形式的解
exp i p
k 2q
(x2
y
2
)
(1.4.4)
式中p和q是光束的两个复参数，它们都是 z的函数。p表示复相移，q表示复曲率半 径。
2
z const. 2R(z)
激光束传输与变换第三讲
(1.4.29)
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
对于一个点波源(0,0,a)所发出的球 面波,其相位因子为
exp(ikR) exp{ik[(z a)2 2 ]1/ 2}
(1.4.30)
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
R(z)
z0
z z0
z0 z
No Image (1.4.17)
2
(z)
2 0
1
z z0
2
(1.4.18)
tg1 z
z0
(1.4.19)
式中 z0 02 称为瑞利长度或共焦参数.
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的场分布指的是场在垂直 于光束截面上的横向分布。如果用A表示 基模Gauss光束的振幅，则从(1.4.13)式可 得
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
(1.4.13)式是波动方程（1.4.1）的一个 特解，叫做基模Gauss光束。
R(z)表示等相面的曲率半径 (z)表示光斑半径 (z)表示附加位相 基模Gauss光束的性质主要由这三个参 数决定。
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
(1.4.14)~(1.4.16)式还可以写成如下形式:
当一束平行光经直径为20的小孔衍射 时,其衍射极限角为:
D 1.22 /(20 )
(1.4.26)
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
Gauss光束的等相位面及其曲率半径
由于
k
2
2R(z)
z
(
z)
const.
2
2R(z
)
z
(
z)
/
k
(1.4.27) (1.4.28)
可以略去(z)项,等相位面方程为:
A
A0
0 (z)
exp
x2
y2 2 (z)
该式表明基模Gauss光束振幅的变化对于x
轴和y轴是对称的。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
如采用柱坐标，2=x2+y2，则上式变为
A
A0
0 (z)
exp
2
2
(
z)
在任意一个确定的截面上(z为常数)，振 幅的分布是Gauss型的。如图1.7所示， Gauss光束即由此而得名。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
实际上(1.4.18)式是(z)关于z的双曲 线方程
2(z) z2
2 0
z02 1
(1.4.23)
双曲线的对称轴为z轴。在远场情况 下(z)，双曲线的渐近线为直线，其方 程为:
(z) = z/z0
激光束传输与变换第三讲
(1.4.24)
假设U(x,y,z)是沿z轴方向传播的非均匀光波， 则它可被表示为
U (x, y, z) (x, y, z) exp(ikz) (1.4.2)
式中(x,y,z)可看成是振幅函数，一般是一个沿z
轴缓慢变化的复函数。
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
把上式代入方程(1.4.1)，利用慢变化振 幅近似
激光束传输与变换第三讲
本节内容
1. 波动方程的基模解 2. 基模Gauss光束的场分布与传输特点 3. 基模Gauss光束的有效Fresnel数
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
求解时间简谐电磁波可直接从下列Helmholtz 方程开始：
2U (x, y, z) k 2U (x, y, z) 0 (1.4.1)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
将(1.4.4)式代入方程（1.4.3），可获得
p
i
ln
1
z q0
q z q0
q0
i 02
式中是波长，0是常数。
(1.4.10) (1.4.11) (1.4.12)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
因此，波动方程的解为
U
(x,
y,
z)
Байду номын сангаас
A0(0z)
=(1/2)1/2(z)作为光斑半径。 3) 取半功率（功率或光强为中心值的一
半）点到中心轴的距离0.589(z)为光 斑半径。
激光束传输与变换第三讲
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
从(1.4.15)式可 以看出，最小光斑 (z)=0，位置在 z=0点。最小光斑 所在位置对应光束 最细部分，通常称 这个位置为束腰。
exp
x2 y2
2(z)
exp i
kz
k 2R(z)
(x2
y2)
(z)
(1.4.13)
激光束传输与变换第三讲
1. 波动方程的基模解
式中参数R(z)、(z)和(z)分别为
R(
z)
z
1
02 z
2
2
(
z)
02
1
z 02
2
(z)
arctg
z 02
(1.4.14) (1.4.15) (1.4.16)