江苏省泰兴市泰兴第一高级中学2016届高三下学期阶段测试五数学试题 含答案

泰兴市第一高级中学2015-2016第二学期高三阶段测试五
数 学 试 卷
2016-4-8
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1． 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2
++=a a B ，
}1{=B A ，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位)，则=z ▲ ． 3． 下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．
4． 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120,试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ▲ 辆．
5． 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8
π个单位,得到函
数)(x f y = 的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ ▲ ． 6． 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为2
1，乙胜的概率为3
1,则甲
胜的概率为 ▲ ．
7． 设偶函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，则不等式)1()12(f x f ≤-的解集为 ▲ ．
8． 正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为23，侧面积为83，则它的
体积为 ▲ ． 9．
不等式组0,
,
290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与
区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
10．已知等差数列}{n
a (n *∈N ）中，11=a ,47a =，则2610410
n a a a a
+++++= ▲ ．
11．若函数
⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2
,log 2
,)2
1()(3
x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞,则实数a 的取值范围是 ▲ ．
12．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点,且14
AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的
内部(不含边界)， 则实数n 的取值范围是 ▲ ．
13．若圆2
2
2
(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(0,)(*)n n N π∈内恰有9个零点，则实数a 的值为 ▲ ．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6
b C a
c π+=+．
⑴求角B 的大小;
⑵若点M 为BC 中点，且AM AC =,求sin BAC ∠．
16．（本小题满分14分）
如图，在四面体ABCD 中，AD BD =，0
90ABC ∠=,点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．求证： ⑴12
EF BC =；
⑵平面EFD ⊥平面ABC ．
某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108ml π．设圆柱的高度为,hcm 底面半径半径为,rcm 且4,h r ≥假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m 元/2
cm ，易拉罐上下底面的制造费用均为n 元/2
cm （,m n 为常数）
⑴写出易拉罐的制造费用y （元）关于()r cm 的函数表达式，并求其定义域；
⑵求易拉罐制造费用最低时()r cm 的值．
18．(本小题满分16分)
已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． ⑴求函数()f x 的单调区间；
⑵当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围； ⑶试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．
x
如图，曲线Γ由两个椭圆1T :
()22
2210x y a b a b
+=>>和椭圆2T ：()
22
2210y x b c b c +=>>组成,当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．若猫眼曲线Γ
过点(0,M ，且,,a b c 的公比为
2
2．
⑴求猫眼曲线Γ的方程;
⑵任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1
T 所
得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N
,求证：ON
OM
K
k 为与k 无
关的定值;
⑶若斜率为l 为椭圆2
T 的切线，且交椭圆1
T 于点,A B ，N 为
椭圆1
T 上的任意一点（点N
20．（本小题满分16分)
已知等差数列}{n a 的通项公式31()n
a n n *
=-∈N ．设数列{}n
b 为等比数列，且n
n
k b a =．
⑴若11=2b a =，且等比数列{}n
b 的公比最小， ①写出数列{}n
b 的前4项； ②求数列{}n
k 的通项公式；
⑵证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n
b 有无数多个．
泰兴市第一高级中学2015—2016第二学期高三阶段测试五
数 学 附 加 题 试 卷
2016—4—8
21．(本小题满分10分）
设曲线2
2221
x xy y ++=在矩阵()001m
m n
⎡⎤
=>⎢⎥⎣⎦
M 对应的变换作用下得到的曲
线为2
21
x
y +=，求矩阵M 的逆矩阵1
-M ．
22．(本小题满分10分）
在平面直角坐标xOy 中，已知圆2
2
1
:4C x y +=，圆2
2
2
:(2)4C x y -+=． ⑴在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆1
2
,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标; ⑵求圆1
2
C C 与的公共弦的参数方程．
23．(本小题满分10分）
已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，90BCD ∠=,PA ABCD ⊥底面， ABM ∆是边长为2的等边三角形，23PA DM ==．
⑴求证：平面PAM PDM ⊥平面；
⑵若点E 为PC 中点，求二面角P M D E --的余弦值．
24．（本题满分10分）
已知抛物线2
2x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． ⑴求抛物线的方程;
⑵设1
1
(,)A x y 和2
2
(,)B x y 为抛物线上的两个动点,其中1
2
y y ≠且1
2
4y y +=,线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ,求ABC ∆面积的最大值．
E
高三第五次阶段测试数学参考答案
1．1- 2．345
5
i + 3．5 4．1700 5．34
π 6．16
7．[0,1] 8．4
9．3(,]4
-∞ 10．(3)(411)n n ++ 11．2]
12．3(0,)4
13．03r << 14．1± 15．解：(1)31
2sin (sin cos )sin sin 2
B C C A C +⋅=+,
3sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C
+=+=++，
3sin cos sin sin B C B C C =+，
3cos 1
B B =+，所以2sin()16B π-=，得3
B π=． ………7分
(2）解法一:取CM 中点D ,连AD ，则AD CM ⊥,则CD x =,则3BD x =,
由（1）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，
由
正弦定理知,
42
7sin 60
x x
BAC =
∠，得
21sin BAC ∠=
………14分
解法二：由(1）知3B π=，又M 为BC 中点，2
a
BM MC ∴==，
在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：
2
2
2
2
2
()2cos ,2242
a a a ac
AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 2
2
2
2
22cos ,AC a c ac B a
c ac =+-⋅=+-
又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37
,2a c b ∴=∴=， 由正弦定理知，
72sin 60
a a BAC =
∠,得21sin BAC ∠=
．
16．证明：（1）因为平面EFG ∥平面BCD ，
平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD , 所以EG //BD ,………………………………… 4分 又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点, 同理可得，F 为AC 的中点，
所以EF ＝错误!BC ．………………………… 7分
（2）因为AD ＝BD ，由（1）知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ， 又∠ABC ＝90°,即AB ⊥BC ，由（1）知，EF //BC ，所以AB ⊥EF ,
又DE ∩EF ＝E ,DE ，EF 平面EFD ,所以AB ⊥平面EFD ,………………… 12分 又AB 平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ． ………………………14分
17．解：（1）由题意,体积V ＝r 2
h ，得h ＝V
r
2＝错误!．
y ＝2rh ×m ＋2r 2×n ＝2 (错误!＋nr 2)． ……………………… ……4分
因为h ≥4r ,即错误!≥4r ，所以r ≤3，即所求函数定义域为（0，
3]．…………6分
（2）令f (r )＝错误!＋nr 2,则f'(r ）＝－错误!＋2nr ． 由f’（r )＝0，解得r ＝3错误!． ①若错误!＜1，当n ＞2m 时，3错误!∈（0，3］,由
R （0，3错误!) 3错误!
（3错误!，
3]
f'(r ） － 0 ＋
f (r ） 减 增
r 错误!f r 低．…………10分
②若错误!≥1，即n ≤2m 时,由f’（r ）≤0知f (r )在(0，3]上单
调递减，
当r ＝3时，f （r ）有最小值，此时易拉罐制造费用最
低．……………………14分
18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x a f x x
x
+'=+=．
（1）当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．
当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数;
当x a >-时,()0f x '>，函数()f x 为增函数．
综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．
当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为
(+)a -∞，．
……………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ)由（Ⅰ）可知,
（1)当1a -≤时,即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,
所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；
（2)当12a <-<时，即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -，上为减函数,在(],2a - 上为增函数，所以min
()()ln()f x f a a a a =-=-+-．
依题意有min
()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min
()(2)2+ln 2f x f a ==．
依题意有min
()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-,所以22ln 2
a -<≤-．
综上所述，当
2ln 2
a >-
时，函数
()
f x 在区间[]1,2上恒大于
零．………………10分
（Ⅲ)设切点为0
,ln )x x a x +（，则切线斜率0
1a
k x =+，
切线方程为0000
(ln )(1)()a
y x
a x x x x -+=+
-． 因为切线过点(1,3)P ,则0000
3(ln )(1)(1)a
x a x x x -+=+
-． 即00
1
(ln 1)20a x
x +
--=． ………………①
令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >,则 22
11(1)
()()a x g x a x x x -'=-=
．
（1)当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增;
在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<．
故方程()0g x =无解，即不存在0
x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．
（2）当0a >时， 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，
在区间(1,)+∞上,()0g x '>，()g x 单调递增, 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．
取21+
1
e
e a
x =>，则22
1112()(1e
1)2e 0a
a
g x a a a
----=++--=>． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．
取2-1-
2
1e
<e a
x
=,则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--2
12[e 2(1)]a
a a
+=-+． 设2
1(1)t t a
=+>，()e 2t
u t t =-，则()e 2t u t '=-．
当1t >时，()e 2e 20t
u t '=->->恒成立．
所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2
()0g x >． 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．
因此当0a >时,过点P (13)，
存在两条切线． （3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，
的切线． 综上所述，当0a >时，过点P (13)，
存在两条切线； 当0a ≤时，不存在过点P (13)，的
切
线．…………………………………………………16分
19．
b =2,1a
c ∴==， （2分)
221:142x y T ∴+=，2
22:12
y T x ∴+=；
（4分）
(2）设斜率为k 的直线交椭圆1
T 于点()()1
1
2
2
,,,C x y D x y ，线段CD 中点()0
,M x y
1212
00,22
x x y y x y ++∴=
=
由22
112222142
1
42x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++= （6分）
k 存在且0k ≠，1
2x x ∴≠，且0x 0≠
∴
0121201
2
y y y x x x -⋅=-- ，即2
1
k k OM -
=⋅ (8分）
同理，
2
k k ON -=⋅
4
1
k k ON OM =∴
得证
（10分)
（3）设直线l
的方程为y m =+
22221
⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x
b
c ，(
)
22222222
20∴+++-=b c x x m c b c
0∆=,2222∴=+m b c
1: =+l y
（12分）
22221
⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m
x y
a
b ， (
)
22222222
20∴+++-=b a x x m a b a 0∆=，2222∴=+m b a
2: =-l y
两平行
线
间
距
离
：
d =
（14分）
∴=
AB
=
=
AB
d =
=
∆ABN
的面积最大值为14255S =⋅=
（16分)
20．解:（Ⅰ）观察数列}{n
a 的前若干项：
2，5，8,11，14，17,20，23，26，29，32，35，…．
因为数列}{n
a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然
最小公比不能是5
2，最小公比是
4．
(ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32,128．
（ⅱ）由(ⅰ）可知1
2b =，公比4q =,所以1
24n n
b -=⋅．
又31n
n
k n b a k ==-,所以13124,n n
k n -*
-=⋅∈N ，
即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N ．
……………………………4分
再证n
k 为正整数．
显然1
1k =为正整数,
2n ≥时，1222111
(2424)24(41)2433
n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅，
即2
124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数．
所以,所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N ． (8)
分
（Ⅱ）设数列{}n
c 是数列}{n
a 中包含的一个无穷等比数列，
且1
1
5k c a ==，2
2
2
31k c a k ==-,
所以公比231
5
k q -=
．因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数． 取2
52k m =+（m *
∈N ），则13+=m q ，故1
5(31)n n
c m -=⋅+．
只要证1
5(31)n n
c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n
k -1
5(31)n m -=⋅+．
只要证11[5(31)1]3
n n
k
m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数． 又2n ≥时，12215
[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+，
即2
1
5(31)n n
n k k m m --=++，又因为1
2k =，2
5(31)n m m -+都是正整数, 故2n ≥时，n
k 也都是正整数．
所以数列{}n c 是数列}{n
a 中包含的无穷等比数列，
其公比13+=m q 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列，
故数列}{n a 所包含的以52
=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个．……16分
高三第五次阶段测试数学附加参考答案
1．解：设曲线2
2221
x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像
是(,)P x y '''，
由
01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得
x mx y nx y '=⎧⎨
'=+⎩
，
， 因为
()
P x y '''，在圆2
2
1x y +=上，所以()()2
2
1mx nx y ++=,化简可得
2
2
2
2
()21m n x nxy y +++=．…………………………3分
依题意可得2
2
222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，．………6分
故1
01
1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,1
1011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
M ． (10)
分
2．解：(1）圆1
C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2
C 的极坐标方程为4cos ρθ=,
由24cos ρρθ=⎧⎨
=⎩
，得π=23
ρθ=±，, 故圆1
2
C C ，交点坐标为圆()()ππ2233
-，，，．…………………5分 （2）由（1）得,圆1
2
C C ，交点直角坐标为(13)(13)
，，，
故圆1
2
C C 与的公共弦的参数方程为
1(33)x y t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
≤≤．
………10分
3．解：（Ⅰ)ABM ∆是边长为2的等边三角形, 底面ABCD 是直角梯形,
3,CD ∴= 又23,3,DM CM =∴=314,AD ∴=+=
222,.AD DM AM DM AM ∴=+∴⊥
又,PA ABCD ⊥底面,DM PA ∴⊥,DM PAM ∴⊥平面 DM PDM ⊂∴平面，平面.PAM PDM ⊥平面 ………4分 （Ⅱ)以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴， 过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 则(3,0,0),C (3,3,0),M (0,4,23),P
设平面PMD 的法向量为1
1
1
1
(,,)n x y z =，
则
111130
,40
y y +=+=⎪⎩
取1
1
3,(3,x n =∴= ………6分
E 为PC
中点，则E
, 设平面MDE 的法向量为2
222(,,)
n x y z =，
则
2222230,+20y x y +=+=
取2
21
3,(3,).
2
x
n =∴=………8分
由1
2
12
13cos 14
n n n n θ⋅==
．∴二面角P M D E --的余弦值为1314
． ………10分
4．解：（Ⅰ)设点2
0(,)
2x P x p
，由2
2x
py
=得
22x y p =
,求导'x y p
=，
因为直线PQ 的斜率为1，所以
1x p
=且
2
0010
2x x p
--=，解得2p =，
所
以抛物线的方程为
2
4x y =． ………4分
（Ⅱ）设线段AB 中点()0
,M x y ，则1
2
1
2
00
,,22
x x y y
x y ++==
()22
2102112212114442
AB
x x x y y k x x x x x x -
-===+=--,
∴直线l 的方程为0
22()y x x x -=--，
即
02(4)0
x x y +-+=,l ∴过定点
(0,4)． ………6分
联立
0022
002:2()228024x AB y x x x xx x x y ⎧
-=-
⎪⇒-+-
=⎨
⎪=⎩
得22
0044(28)0x
x x ∆=--
⇒-＞＜
AB
12x
=-=
设()4,0C 到AB 的距离d
CM ==
12ABC S AB d ∆
∴=
⋅
8=, 当且仅当
22
00
4162x x +=-,即
2
0±=x 时取等号，
ABC
S ∆∴的最大值为
8．………10分。